C语言中超大整数乘法运算

1、C 语言中超大整数乘法运算在计算机中，长整型 (long int) 变量的范围是 -2147483648 至 2147483647 ，因此若用长整型 变量做乘法运算，乘积最多不能超过 10 位数。即便用双精度型 (double) 变量，也仅能保证 16 位有效数字的精度。在某些需要更高精度的乘法运算的场合，需要用别的办法来实现乘法运算。 比较容易想到的是做多位数乘法时列竖式进行计算的方法，只要写出模拟这一过程的程序，就能 实现任意大整数的乘法运算。经过查阅资料，找到一种更易于编程的方法，即“列表法”。下面先介绍“列表法”：例如当计算 8765 x 234 时，把乘数与被乘数照如下列出，见表 1

2、 ：把表 1 中的数按图示斜线分组(横纵坐标和相等的数分为一组)，把每组数的累加起来所得的 和记在表格下方，见表 2 ：从最低位的 20 开始，保留个位数字“ 0 ”，把个位以外的数“2 ”进到前一位； 把39次 低位的加上低位进上来的 2 得 41 ，保留个位数字“1”，把“ 4”进到前一位；以此类推，直至最高位的 16，16 加上低位进上来的 4 得 20 ，保留“ 0”，把2 进到最高位，得乘积答数 2051010 。根据以上思路就可以编写 C 程序了，再经分析可得：1、一个 m 位的整数与一个 n 位的整数相乘，乘积为 m+n-1 位或 m+n 位。2、程序中，用三个字符数组分别存储乘

3、数、被乘数与乘积。由第1 点分析知，存放乘积的字符数组的长度应不小于存放乘数与被乘数的两个数组的长度之和。3、可以把第二步“计算填表”与第三四步“累加进位”放在一起完成，可以节省存储表格2 所需的空间。4、程序关键部分是两层循环，内层循环累计一组数的和，外层循环处理保留的数字与进位。编写的程序如下：#define MAXLENGTH 1000#include #include void compute(char *a, char *b, char *c);void main(void)char aMAXLENGTH, bMAXLENGTH, cMAXLENGTH * 2;puts(Input

4、multiplier :);gets(a);puts(Input multiplicand :);gets(b);compute(a, b, c);puts(Answer :);puts(c);getchar();void compute(char *a, char *b, char *c) int i, j, m, n;long sum, carry;m = strlen(a) - 1;n = strlen(b) - 1;for (i =m; i = 0; i-)ai -= 0;for (i =n; i = 0; i-)bi -= 0;cm +n + 2 = 0;carry =0;for (

5、i =m + n; i = 0; i-) /* i为坐标和 */sum =carry;if (j = i- m) 0)j = 0;for ( ; j=i & j=n; j+) /* j为纵坐标 */sum += ai-j * bj; /*累计一组数的和 */ci + 1= sum % 10 + 0; /*算出保留的数字 */carry =sum / 10; /* 算出进位 */if (c0 = carry+0) = 0) /* if no carry, */ c0 = 040; /* c0 equals to space */ 效率分析：用以上算法计算 m 位整数乘以 n 位整数，需要先进行

6、m x n 次乘法运算，再进行约 m + n 次加法运算和 m + n 次取模运算 ( 实为整数除法 )。把这个程序稍加修改，让它自己产生 乘数与被乘数，然后计算随机的 7200 位整数互乘，在 Cyrix 6x86 pr166 机器的纯 DOS 方式 下耗时 7 秒(用 Borland C3.1 编译 )。经过改进，此算法效率可以提高约 9 倍。注意到以下事实： 8216547 x 96785 将两数从个位起，每 3 位分为节，列出乘法表，将斜线间 的数字相加；8 216 54796 785将表中最后一行进行如下处理：从个位数开始，每一个方格里只保留三位数字，超出 1000 的部 分进位到前

7、一个方格里；所以 8216547 x 96785 = 795238501395也就是说我们在计算生成这个二维表时，不必一位一位地乘，而可以三位三位地乘；在累加时也 是满 1000 进位。这样，我们在计算 m 位整数乘以 n 位整数，只需要进行 m x n / 9 次乘法运 算，再进行约 (m + n) / 3 次加法运算和 (m + n) /3 次取模运算。总体看来，效率约是前一种算 法的 9 倍。有人可能会想：既然能够三位三位地乘，为什么不 4 位 4 位甚至 5 位 5 位地乘呢？那不是可以 提高 16 乃至 25 倍效率吗？听我解来：本算法在累加表中斜线间的数字时，如果用无符号长整 数(

8、范围 0 至4294967295) 作为累加变量，在最不利的情况下 (两个乘数的所有数字均是 9) ，能 够累加约 4294967295/(999*999)=4300 次，也就是能够准确计算任意两个均不超过 12900( 每次累加的结果 值 三位，故 4300*3=12900) 位的整数相乘。如果 4 位 4 位地乘，在 最不利的情况下，能够累加约 4294967295/(9999*9999)=43 次，仅能够确保任意两个不超过 172 位的整数相乘，没有什么实用价值，更不要说 5 位了。请看改进后的算法的实例程序：该程序随机产生两个 72xx 位的整数，把乘数与积保存在 result.txt

9、 中。在 Borland C+ 3.1 中 用BCC -3 -O2 -G -mh -Z -f287 -pr -T- dashu.cpp编译生成的 exe 文件在 Cyrix 6x86 pr166 的机器上运行耗时 0.82 秒。程序 2 清单：#include#include#include #include #include #define N 7200 / 作 72xx 位的整数乘法 int max(int,int,int);int initarray(int a);void write(int a,int l);FILE *fp;void main()int a5000=0,b5000=

10、0,k10001=0; / 声明存放乘数、被乘数与积的数组clock_t start, end; / 声明用于计时的变量unsigned long c,d,e; / 声明作累加用的无符号长整数变量int i,j,la,lb,ma,mi,p,q,t; / 声明其它变量randomize(); / 初始化随机数la=initarray(a); / 产生被乘数，并返回其长度lb=initarray(b); / 产生乘数，并返回其长度if(lala)?lb:la;for (q=0;q=0;i-) /累加斜线间的数， i 为横纵坐标之和c=d; / 将前一位的进位标志存入累加变量 c ma=max(0,

11、i-la+1,i-lb+1); /求累加的下限mi=(ila-1)?(la-1):i; / 求累加的上限 for(j=ma;j999)c%=1000; / 取 c 的末三位ki=c; / 保存至表示乘积的数组 ke=k0+1000*d; / 求出乘积的最高位end = clock();/ 停止计时fp = fopen(result.txt, w+); /保存结果到 result.txtprintf(nThe elapsed time was: %3.4fn, (end - start) / CLK_TCK); / 打印消耗的时间fprintf(fp,%d,a0); / 打印被乘数最高位 wri

12、te(a,la); / 打印被乘数其他位 fprintf(fp,%d,b0); / 打印乘数最高位 write(b,lb); / 打印乘数其他位 fprintf(fp,%ld,e); / 打印乘积最高位 write(k,la+lb-1); / 打印乘积其他位 fclose(fp);max(int a,int b,int c)int d;d=(ab)?a:b;return (dc)?d:c;int initarray(int a)int q,p,i;q=N+random(100); if(q%3=0) p=q/3;elsep=q/3+1;for(i=0;ip;i+) ai=random(1000);if(q%3=0) a0=100+random(900);if(q%3=2)a0=10+random(90);if(q%3=1) a0=1+random(9);return p;void write(int a,int l)int i;char s