浙江省精选数学中考复习专题五以特殊三角形为背景的计算与证明训练

1、 .微专题五 以特殊三角形为背景的计算与证明姓名：_ 班级：_ 用时：_分钟1如图，在 rtabc 中，acb90，bac30，e 为 ab 边的中点，以 be 为边作等边bde，连结ad，cd.(1)求证：adecdb；(2)若 bc 3，在 ac 边上找一点 h，使得 bheh 最小，并求出这个最小值2如图，在等边abc 中，点 d，e，f 分别同时从点 a，b，c 出发，以相同的速度在 ab，bc，ca 上运动，连结 de，ef，df.(1)证明：def 是等边三角形；s(2)在运动过程中，当cef 是直角三角形时，试求 def的值sabc. .3从三角形(不是等腰三角形)一个顶点引出一

2、条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线(1)如图 1，在abc 中，cd 为角平分线，a40，b60，求证：cd 为abc 的完美分割线；(2)在abc 中，a48，cd 是abc 的完美分割线，且acd 为等腰三角形，求acb 的度数；(3)如图 2，在abc 中，ac2，bc 2，cd 是abc 的完美分割线，且acd 是以 cd 为底边的等腰三角形，求完美分割线 cd 的长. .4如图，abc 和ade 是有公共顶点的等腰直角三角形，bacdae90，点

3、 p 为射线 bd，ce 的交点(1)求证：bdce；(2)若 ab2，ad1，把ade 绕点 a 旋转，当eac90时，求 pb 的长. .5如图，直角abc 中，a 为直角，ab6，ac8.点 p，q，r 分别在 ab，bc，ca 边上同时开始作匀速运动，2 秒后三个点同时停止运动，点 p 由点 a 出发以每秒 3 个单位的速度向点 b 运动，点 q 由点 b 出发以每秒 5 个单位的速度向点 c 运动，点 r 由点 c 出发以每秒 4 个单位的速度向点 a 运动，在运动过程中：(1)求证：apr，bpq，cqr 的面积相等；(2)求pqr 面积的最小值；(3)用 t(秒)(0t2)表示运

4、动时间，是否存在t，使pqr90？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由. .6问题：(1)如图 1，在 rtabc 中，abac，d 为 bc 边上一点(不与点 b，c 重合)，将线段 ad 绕点 a 逆时针旋转 90得到 ae，连结 ec，则线段 bc，dc，ec 之间满足的等量关系式为_；探索：(2)如图 2，在 rtabc 与 rtade 中，abac，adae，将ade 绕点 a 旋转，使点 d 落在 bc 边上，试探索线段 ad，bd，cd 之间满足的等量关系，并证明你的结论；应用：(3)如图 3，在四边形 abcd 中，abcacbadc45.若 bd9，cd3，求 a

5、d 的长. .参考答案1(1)证明：在 rtabc 中，bac30，e 为 ab 边的中点，bcea，abc60.deb 为等边三角形，dbde，debdbe60，dea120，dbc120，deadbc，adecdb.(2)解：如图，作点 e 关于直线 ac 对称点 e，连结 be交 ac 于点 h，连结 eh，ae，则点 h 即为符合条件的点由作图可知，ehhe，aeae，eacbac30，eae60，eae为等边三角形，1eeea ab，aeb90.2在 rtabc 中，bac30，bc 3，ab2 3，aeae 3，be ab ae （2 3） （ 3） 3，2222bheh 的最小值

6、为 3.2(1)证明：abc 是等边三角形，abc60，abbcca.adbecf，bdceaf.在adf，bed 和cfe 中，adbecf， abc，afbdce，adfbedcfe，fddeef，def 是等边三角形(2)解：abc 和def 是等边三角形，defabc. .当 debc 时(efbc 时，同理)，bde30，11be bd，即be bc，232ce bc.3233efecsin 60 bc bc，323sef3 ( )( ) .1def22sbc33abc3(1)证明：a40，b60，acb80，abc 不是等腰三角形1cd 平分acb，acdbcd acb40，2ac

7、da40，acd 为等腰三角形dcba40，cbdabc，bcdbac，cd 是abc 的完美分割线(2)解：当adcd时，如图，则acda48.bdcbca，bcda48，acbacdbcd96.当adac时，如图，18048则acdadc66.2bdcbca，bcda48，acbacdbcd114.当accd时，如图，则adca48. .bdcbca，bcda48.adcbcd48与adcbcd 矛盾，accd 不成立综上所述，acb96或 114.(3)解：由已知得 adac2.bc bd cdbcdbac， .ba bc ac设 bdx(x0)，则( 2) x(x2)，2解得 x 31

8、(负值舍去)，cd bd ac bc31，2312 6 2.cd24(1)证明：abc 和ade 是等腰直角三角形，bacdae90，abac，adae，dabeac，adbaec，bdce.(2)解：如图，当点 e 在 ab 上时，beabae1.eac90，ce ae ac 5.22同(1)可证adbaec，dbaeca.pebaec，pebaec，pb be ， ，pbac cepb 12 5.255如图，当点 e 在 ba 延长线上时，be3.eac90，ce ae ac 5.22同(1)可证adbaec，dbaeca. .bepcea，pebaec，pb be ， ，pbac cep

9、b 36 5.2552 5 6 5综上所述，pb 的长为 或.555(1)证明：在 rtabc 中，ab6，ac8，ac 8 4 3bc10，sinb ，sinc .bc 10 55如图，过点 q 作 qeab 于点 e，作 qdac 于点 d.在 rtbqe 中，bq5t，qe 4sinb ，qe4t.bq 5在 rtcdq 中，cqbcbq105t，3qdcqsinc (105t)3(2t)，54qebqsinb5t 4t.5由运动知 ap3t，cr4t，bpabap63t3(2t)，araccr84t4(2t)，11s apar 3t4(2t)6t(2t)，22apr11s bpqe 3

10、(2t)4t6t(2t)，22bpq11s crqd 4t3(2t)6t(2t)，22cqrs s s ，cqraprbpqapr，bpq，cqr 的面积相等(2)解：由(1)知，s s s 6t(2t)cqraprbpqab6，ac8，s s (s s s )bpqpqrabcaprcqr1 6836t(2t)2418(2tt )2218(t1) 6.20t2，当 t1 时，s 6.pqr 最小. .(3)解：存在由(1)知 qe4t，qd3(2t)，ap3t，cr4t，ar4(2t)，bpabap63t3(2t)，araccr84t4(2t)a90，四边形 aeqd是矩形，aedq3(2t

11、)，adqe4t，dr|adar|4t4(2t)|4(2t2)|，pe|apae|3t3(2t)|3(2t2)|.dqe90，pqr90，dqreqp，tandqrtaneqp.在 rtdqr 中，dr 4|2t2|tandqr ，dq 3（2t）在 rteqp 中，pe 3|2t2|taneqp qe 4t，4|2t2| 3|2t2|，3（2t） 4t18t 或 1.256解：(1) bcdcec(2)bdcd2ad，理由如下：222如图，连结 ce.bacbaddac90，daecaedac90，badcae.在bad 与cae 中，abac， badcae，adae，badcae，bdce，aceb，dce90，ce cded.222. .在 rtade 中，ad ae ed ，adae，222bd cd