自动控制原理-题库-第四章-线性系统根轨迹-习题

1、4-1将下述特征方程化为适合于用根轨迹法进行分析的形式，写出等价的系统开环传递函 数。 (1) $2+cs + c + l = O,以c为可变参数。 (2) (s + l) + A(7k + l) = 0,分别以A和丁为可变参数。 (3) 1+鱼-G(y) = O,分别以紡、K八T和攸为可变参数。 _S TS + 4-2设单位反馈控制系统的开环传递函数为 亠、K(3s + 1) G(s)= 5(25 + 1) 试用解析法绘出开环增益K从Otp变化时的闭环根轨迹图。 4-2已知开环零极点分布如下图所示，试概略绘出相应的闭环根轨迹图。 4-3设单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭

2、环根轨迹图(要求确定 分离点坐标)。 (1) G(s)= 5(0.25 + 1)(0.55 + 1) (2)注铝 心总將 4-4已知单位反馈控制系统的开环传递函数如下，试概略绘出相应的闭环根轨迹图(要求算 出起始角)。 (1) G(s) = K(s + 2) 5(5 + 1 + J2)G + 1 J2) G (沪 5(5 + 10+ 710)(5 + 10-;10) 4-5设单位反馈控制系统开环传递函数如为 G(s) = K(s + z) 5绘出7；=0, K从Otf变化时系统的根轨迹图。 在(1)的根轨迹图上，求出满足闭环极点阻尼比 = 0.707的K的值。 (5+ 10)(5+ 20) 试

3、确定闭环产生纯虚根)1的z值和K值。 4-6已知系统的开环传递函数为 G(s)HG) = K( + 2) (52 +4s+9)2 试概略绘出闭环根轨迹图。 4-7设反馈控制系统中 GG) = s(s +2)($+ 5) (1) 设H(s) = l,概略绘出系统根轨迹图，判断闭环系统的稳定性 (2) 设77(5) = 1 + 25,试判断H(s)改变后的系统稳定性，研究由于H(s)改变所产生的 影响。 4-8试绘出下列多项式的根轨迹 (1) s固定K等于(2)中得到的数值，绘制7；从Ot+r变化时的根轨迹图。 + 2s2+3s + Ks + 2K=0 (2) Y + 3F + (K + 2)s

4、+ 10K = 0 4-9两控制系统如下图所示，试问： (1) 两系统的根轨迹是否相同如不同，指出不同之处。 (2) 两系统的闭环传递函数是否相同如不同，指出不同之处。 (3) 两系统的阶跃响应是否相同如不同，指出不同之处。 4-10设系统的开环传递函数为 如=2+1)件+1) （4）从（3）的根轨迹中.求出临界阻尼的闭环极点及相应的7；的值。 4-11系统如下图所示，试 （1）绘制0 = 0的根轨迹图。 （2）绘制K、=5, K2=2时，0从Otrd变化时的根轨迹图。 （3）应用根轨迹的幅值条件，求（2）中闭环极点为临界阻尼时的的值。 （1）绘制全根轨迹。 （2）求使闭环系统阻尼比= 0.7

5、07时的K的取值。 4-13对于第二章例的磁悬浮试验模型的例子，静态工作点附近被控对象的传递函数描述为 G(s) = 一44 51 2-1785 K(2-s) $($ + d) （1）设a = 2,绘制K从变化时系统的根轨迹，确定系统无超调时的K的取值， 确定系统临界稳定时的K的取值。 （2）设K = 2,绘制从Otp 变化时系统的根轨迹，确定系统闭环根的阻尼比 歹=0.707时的a的取值。 4-13设单位反馈系统的开环传递函数是 G($) = 10(17) (0.55 + 1)(75 + 1) （1）绘出T从0-+s变化时系统的根轨迹图。 （2）求出系统处于临界稳定和临界阻尼时的T的值。 （

6、3）求7 = 20时系统的单位阶跃响应。 4-14设系统开环传递函数如下，试画出b从零变到无穷时的根轨迹图。 (1) G(s) = 20 (5+ 4)(5 + /?) （2） S 需 4-15设单位反馈控制系统的开环传递函数为 G(s) = 疋(17) s(s + 2) 试绘出其根轨迹图，并求出使系统产生重实根和纯虚根的值。 4-16设控制系统开环传递函数为 G(s)= 心+ 1) 51 2(5+ 2)(5+ 4) 试分别画出正反馈系统和负反馈系统的根轨迹图，并指出它们的稳定情况有何不同 4-17系统如下图所示 G(s) = K $(s + l)(s + 2) （1）绘制K从Ot+s变化时闭环

7、系统的根轨迹。 （2）确定使闭环系统稳定的K的取值范围。 （3）为使闭环系统的调节时间rv = 10秒（按误差带 = 5%计算），求K的取值。 解：（1）根轨迹方程为 S(S + 1)(5 + 2) 1、有三条分支，起始于开环极点“1=0, p2 =-1, 3=-2，终止于无穷远处; 2、实轴上的根轨迹区段为：（-CO-2, 0,-1； (2) 求闭环系统出现重根时的K值； (3) 求使得闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态的K的取值范围。 解：(1)开环零点石=一5,开环极点“I =0, “2 =卩3 =一2 , m = 1 7? = 3 o系统有三条 根轨迹分支，起始于极点/人、“2和“3，条终

8、止于零点Z,两条趋于无穷远零点。 % 实轴上根轨迹区域为(-5,0) o 渐进线与实轴的交点为 b -(Pi + “2 + 必)一石= + (-2) + (-2)-(-5) =05 n- m3 -1 夹角为 夠= (2衍)=砒2,3兀/2 n 一 m 在Pi与P?间的实轴上存在一个分离点，分离点的坐标满足 1111 11 一Z 一门 d - p2 d_3 即 2小+15 + 10 = 0 得 6/12 =-0.74,-6.76 (舍去)。 系统的特征方程为s(s + 2)2 + K($ + 5) = 0,根轨迹与虚轴的交点满足 jco(jco+2- + K(je + 5) = 0 即 5K -

9、4iy2 +(Ke-e +4力)j = 0 分别令实部和虚部等于篆有5K 4q2 =o和Kco-ct/= 解得K = 16, 67=4.47 . 根轨迹如下图。 (2)根轨迹的分离点处出现重根，根据模值条件有 |-0.815-0|-0.815 + 2|2 |-0.815 + 5| =0.274 (3)当K取值为(0.274, 16)时，闭环系统稳定且工作在欠阻尼状态。 4-20设单位反馈系统的开环传递函数为 、K G(s)= 5(r5 + l)(7 + l) 式中K = 2, T = , r0为变化参数。 (1) 试绘制参数丁变化时，闭环系统的根轨迹图，给出系统为稳定时z的取值范围。 (2)

10、求使一3成为一个闭环极点时旷的取值。 (3) r取(2)中给出的值时，求系统其余的两个闭环极点，并据此计算系统的调节时间(按 5%误差计算)和超调量。 解：(1)系统的待征方程为 S(TS + 1)(75 + 1) + K = S(TS + 1)(5 + 1) + 2 = F53 + T52 + 52 + 5 + 2 = 0 等效的开环传递函数为 5=晋时訣F 绘制根轨迹如下图。 /1.32 -1-0.5 -厶.32 图中根轨迹与虚轴的交点可从系统为临界稳定的条件 r+1 = 2r 得到r = lo t = 1时系统的特征方程为 s3 + 2s2 +s + 2 = (s + 2)(52 +1)

11、 = 0 得与虚轴交点的坐标为jco = j.从根轨迹得到系统稳定的旷的取值范围为0 vrvl。 (2) 一3成为一个闭环极点时，从根轨迹的模值条件有 十件3 + 1| |(-3)2+(-3) + 2| 4 得 t = - = 0.444 o 9 (3) t = 0.444时，系统的另外两个闭环根从特征方程 r +52 +-52 +-5 + - = 53 +52 +-52 +-5 + - =(5 + 3)(52 +-5 + -) = 0 t t T44244 求出为-025;1.218,显然它是系统的主导极点。系统的调节时间和超调量分别为 t. = 28$ 0.125 -警F YxO25 b% = gkxlOO% = 0河 xl00% = a 妬 x 100% = e x 100% = 72.5% 4-21系统如下图所示。试绘制系统的根轨迹，并写求出当闭环共馳复数极点的阻尼比 =0.707时，系统的单位阶跃响应的表达式。 K 5(0.255 + 1)(0.55 + 1) 0.55 + 1 （1）试确定