机械振动基础经典例题

1、例1：如图所示是一个倒置的摆， 摆球质量 m，刚杆质量忽略不计， 每个弹簧的刚度是k/2， 求：倒摆作微幅振动时的 固有频率 可以有几种解法？ l m a k/2k/2 解法1： 广义坐标，零平衡位置1 动能 势能 222 1 11 2sin 22 kamgl 22222 11 () () 22 kamglkamgl maxmax tu maxmaxn 2 2 n kamgl ml l m a k/2k/2 零平衡位置零平衡位置1 1 21 1 21 cos 2 2 ukamgl 222 11 22 tjml 解法2： 广义坐标，零平衡位置2 动能 势能 222 1 1 2sin 22 kam

2、gl 222 11 22 kamglmgl 22 1 () 2 kamglmgl 0 d tu dt 22 22 ()0mlkamgl 22 22()0mlkamgl 2 2 n kamgl ml l m a k/2k/2 零平衡位置零平衡位置2 2 21 1 2cos 2 2 ukamgl 222 11 22 tjml 例题：如图，两弹簧的刚度分别是k1和k2，摆球的 质量为m。若杆的质量忽略不计，用能量法求系统 的固有频率。 解：取摆球偏离平衡位置 的角位移为广义坐标， 作简谐振动，有 系统最大动能 b k1 k2 c a m sin() n atmax a 2222 max 11 ()

3、22 n tm cmac cos() nn at maxn a 最大弹性势能 最大重力势能 由 得 整理得 22 11max2max 11 ()() 22 ukakb 22 2maxmax 11 (1 cos) 22 umgcmgcmgca maxmax tu 22222222 12 1111 2222 n mack a ak a bmgca 22 12 2 n k ak bmgc mc b k1 k2 c a m 例：在图示系统中，弹簧长l，其质量ms ，质量块m， 求弹簧的等效质量及系统的固有频率。 解：令 x 表示弹簧右端的位移， 也是质量 m 的位移。假设 弹簧各点在振动中任一瞬时 的

4、位移和一根直杆在一端固 定另一端受轴向载荷作用时各截面的静变形一样， 左端距离为 的截面的位移为 ， 则d 弹簧的动能为 2 s 1 dd 2 s m tx ll x l l d 例：阻尼缓冲器 静载荷 p 去除后质量块 越过平衡位置得最大位移 为初始位移的 10 求： 缓冲器的相对阻尼系数 k c x 0 x0 p mm 平衡位置平衡位置 解：由题知 ，设 求导 设在时刻 t1质量越过平衡位置到达最大位移，这时 速度为： 即经过半个周期后出现第一个振幅 x1 (0)0 x 0 (0)xx 00 0 ( )(cossin) nt n dd d xx x textt 2 0 ( )sin nt

5、n d d x x tet 1 2 0 11 ( )sin0 nt n d d x x tet d t 1 2 1 1 1100 ( ) nt xx tx ex e k c x 0 x0 p mm 平衡位置平衡位置 由题设质量块最大位移为初始位移的 10，可知 解得： 2 1 1 1100 ( ) nt xx tx ex e 2 1 1 0 10% x e x 0.59 例： 小球质量 m ， 刚杆质量不计 求： （1）写出运动微分方程 （2）阻尼固有频率，临界阻尼系数 l a k cm b 解：广义坐标，受力分析 力矩平衡： 无阻尼固有频率： 0m l lc a ak b b 222 0ml

6、cakb 2 2 n kbbk mllm 2 2 2 n ca ml 22 2 22 n cacam mlmlbk l a k cm b m ac bk lm 2 20 nn xxx 阻尼固有频率： 临界阻尼系数： 22 224 2 1 14 2 dn kmb lc a ml 2 2 cr bl cmk a 2 1 2 cam mlbk 例题：一个质量为1.95kg的物体在粘性阻尼介质中 作强迫振动，激励力为 n， (1)测得系统共振时的振幅为1.27cm，周期为0.20s， 求系统的阻尼比及阻尼系数；(2)如果 f = 4hz，无 阻尼时振幅是有阻尼时振幅的多少倍 解： (1)系统的固有频率

7、 共振时 有 25sin(2)fft 1 210 0.20 n 2 25 62.66 1.27 1010 f c x 1 2/ x f k 62.66 0.51 22 1.95 10 n c m (2)振动频率为 f = 4hz ， 频率比 无阻尼时系统振幅 有阻尼时系统振幅 无阻尼与有阻尼系统振幅比为 4 0.8 1/20 nn f r f 222 1 (1)(2) f x k rr 2 1 1 f x kr 22 22 22 0.51 0.8 1 ()1 ()2.48 11 0.8 xr xr 例题：偏心质量系统，共振时 测得最大振幅为0.1m，由自由 衰减振动测得阻尼系数为 ，假定 求：

8、 （1）偏心距 e， （2）若要使系统共振时振幅为 0.01m，系统的总质量需要增加多少？ 0.0510% m m m x c 2 k 2 k t e mm k c tmesin 2 x 解：（1）共振时最大振幅 （2）若要使系统共振时振幅为0.01 m 1 0.1 ( ) 2 me m m 0.1 ( )em 1 0.01 ( ) 2 me m mm 10.1 0.01 ( ) 2 0.05 m m mm 9 m m 9mm 0.1 m m 例题1： 汽车的拖车在波形道路 上行驶，已知拖车的质 量满载时为 m1 =1000kg， 空载时为 m2 =250kg， 悬挂弹簧的刚度为 k =350

9、kn/m，阻尼比在 满载时为 ， 车速为 v = 100 km/h， 路面呈正弦波形，可表示为 求： 拖车在满载和空载时的振幅比 1 0.5 2 sin f z xa l l =5 ml =5 m mm k/2 c x 0 k/2 x f a l x f z 解：汽车行驶的路程可表示为： 因此： 路面的激励频率： 有 c、k 为常数，因此 与 成反比 因此得到空载时的阻尼比为： 满载和空载时的频率比： l =5 ml =5 m mm k/2 c x 0 k/2 x f a l x f z zvt 2 sin f v xat l 2 34.9/ v rad s l 1 21 2 1.0 m m

10、1 1 1 2 2 2 1.87 0.93 n n m r k m r k m2ckm 满载时阻尼比 空载时阻尼比 满载时频率比 空载时频率比 记：满载时振幅 x1，空载时振幅 x2 有： 因此满载和空载时的振幅比： 1 0.5 2 1.0 1 1.87r 2 0.93r 2 11 1 222 11 1 1 (2) 0.68 (1)(2) xr arr 2 22 2 222 22 2 1 (2) 1.13 (1)(2) xr arr 1 2 0.6 x x l =5 ml =5 m mm k/2 c x 0 k/2 x f a l x f z 例题2：已知梁截面惯性矩i， 弹性模量e，梁质量不

11、计， 支座a产生微小竖直振动 ，支座b不动 求：质量m的稳态振动振幅 解：在质量m作用下，由材料力学可求出静挠度 固有频率： xf 是因 ya 的运动而产生的质量m处的运动 动力学方程 振幅： / n g ( / )(/ )sin fa xb a ybd at ()0 f mxk xx(/ )sinmxkxkbd at 22 /11 11 kbd abd x krar a mm b ab a y sin a ydt 例题：机器安装在弹性支承上 ，已测得固有频率 fn=12.5hz ，阻尼比 =0.15 ，参与振动的质量是 880kg ，机器转速 n=2400r/min ，不平衡力的幅值 147

12、0n ； 求：1）机器振幅 2）主动隔振系数 3）传到地基 上的力幅 解：1）频率比： 弹性支承的刚度： 机器振动的振幅 ： 21 3.2 602 nn n r f 226 880 (212.5)5.43 10 n kmn 222 1 0.0291() (1)(2) f xmm k rr 2）主动隔振系数 ： 3）传到地基上的力幅 ： 2 222 1 (2) 0.149 (1)(2) f r t rr 0.149 1470219 tf ft fn 例：弹簧质量系统受到周期为t 的方波激励， 系统固有频率为n 求系统响应 tt t f t tf tf 2 , 2 0, )( 0 0 )(tf 0

13、 f 0 f 0 t2/tt 解： a0在一个周期内总面积为0 ； 区间0,t内，f(t)关于t/2为反 对称，而cosnt关于t/2对称。 )(tf 0 f 0 f 0 t2/tt =0=0 =0=0 0 1 ( )(cossin) 2 nn n a f tan tbn t 1 sin n n bn t 0 0 0 0 2 ( ) 2 ( )cos 2 ( )sin t t n t n af t dt t af tn tdt t bf tn tdt t 区间 内，f(t)关于 对称， 而 n 取偶数时， 关于 反对称； 区间 内，f(t) 关于 对称， 而 n 取偶数时， 关于 反对称； 因

14、此 bn=0, n=2,4,6 1 ( )sin n n f tbn t 0, 2 t 0 2 ( )sin t n bf tn tdt t sinn t , 2 t t 3 4 t sinn t 4 t 3 4 t )(tf 0 f 0 f 0 t2/tt 4 t 当 n 取奇数时 于是，周期性激励f(t)可写为： 系统运动方程 则有 5 , 3 , 1n 0 11,3,5 41 ( )sinsin n nn f f tbn tn t n 0 411 (sinsin3sin5) 35 f ttt ( )mxcxkxf t 0 1,3,5 4 ( )sin() nn n f x tn t k

15、0 2 ( )sin t n bf tn tdt t 4 0 0 8 sin t fn tdt t 0 4f n 其中： 当不计阻尼时： 2222 1 (1)(2) n nn rnr 1 22 2 1 n n r tg n r n r 0 22 1,3,5 41 ( )sin (1) n f x tn t knn r 例：无阻尼弹簧质量系统 在（0，t0）时间间隔内受到突加的矩形脉冲力作用 求： 系统响应 00 0 ,0 ( ) 0, qtt f t tt )(tf 0 q 0 0 t t 解法一： （1）当 时 00 0 ,0 ( ) 0, qtt f t tt )(tf 0 q 0 0 t

16、 t 0 0tt 0 1 ( )( )sin() t n n x tftd m 0 0 sin() t n n q td m 0 2 (1 cos) n n q t m 0 (1 cos) n q t k t n n n n n dtf m t x txtx 0 0 0 )(sin)( 1 )sincos()( （2）当 时， 0 tt 0 1 ( )( )sin() t n n x tftd m 00 0 ,0 ( ) 0, qtt f t tt )(tf 0 q 0 0 t t 0 0 0 0 1 sin()0 sin() tt nn t n qtdtd m 0 0 1 cos()cos

17、nn nn q ttt m 0 cos()cos nnn q ttt k （1）当 时， （2）当 时， 因此，系统响应： 0 0tt 0 tt 00 0 ,0 ( ) 0, qtt f t tt )(tf 0 q 0 0 t t 0 ( )(1 cos) n q x tt k 0 0 ( )cos()cos nn q x tttt k 0 0 0 00 (1 cos), 0 ( ) cos()cos, n nn q ttt k x t q ttttt k 解法二： 当t t0 时激振力已经去除，此时系统将以时刻 t =t0 时的位移和速度为初始条件做自由振动， 称为残余振动。 t t0 时的

18、响应可以求解如下 先求得t =t0 时刻的位移和速度： 0 00 ( )(1 cos) n q x tt k 0 00 ( )sin n n q x tt k )(tf 0 q 0 0 t t t t0 时的响应： 于是系统响应为 0 000 ( ) ( )( )cos()sin() nn n x t x tx ttttt 00 0000 (1 cos) cos()sin sin() nnnn qq tttttt kk 0 0 cos()cos nn q ttt k 0 0 0 00 (1 cos), 0 ( ) cos()cos, n nn q ttt k x t q ttttt k 例题：

19、图示系统，有 试确定系统的固有频率和主振型 m1m2 k3k1k2 x1x2 f1(t) f2(t) 1212 ,2 ,mm mm kkk 3 2kk 由已知条件得 特征方程为 特征值为 固有频率为 1112 2kkkk 2223 3kkkk 1221 kkk 2422 2750 nn mmkk 1n k m 2 5 2 n k m 2 2 1,2 323 22 222 n kkkk kk mmmm mm 把 n1 、 n2 分别代入得 系统的振型向量为 2(1) 11112 1 (1) 112 1 n kmu r uk 2 212 2 22 2222 1 0.5 n uk r kmu 1 2

20、 1 1 1 0.5 u u 1 1n k m 1u 0 1 节点 0.5 0 1 2u 2 5 2 n k m mm k3 k1 k2 f1(t) f2(t) y y( (t t) ) x x( (t t) )1 2 3 在某时刻，质量m移动到一新位 置，用矢量表示为： j yi xr 第n个弹簧的方向矢量为： jil nnn sincos 0 第n个弹簧的变形量为： nnnn yxlrlsincos),( 0 第n个弹簧所受的力为： 微分方程为： 3 1 1 )(cos n nn tffxm 3 1 2 )(sin n nn tffym r ( cossin) nnnnnn fl kkxy

21、 现分析求出图所示的三自由度系统的刚度矩阵。 x11xx 23 0 kkk 112131 、 0 312212111 kkkkkk， 画出各物块的受力图根据平衡条件，有 首先令 在此条件下系统保持平衡，按定义需加于三物块的力 画出受力图，则有 xxx 123 010， kkkkkkk 1222223323 ， 同理，令 画出受力图，有 xxx 123 01， kkkkk 13233333 0 ， 最后令 因此刚度矩阵为 k kkk kkkk kk 122 2133 33 0 0 刚度矩阵一般是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。 即 kk ijji kk t 现分析求出图所示的

22、三自由度系统的柔度影响系数。 当受到f1作用后，第一个弹簧的变形为 ，第二 和第三个弹簧的变形为零。 1 1 k 1 31 1 21 1 11 1 , 1 , 1 k d k d k d 01 321 fff，首先施加单位力 这时三物块所产生的静位移分别是d11, d21, d31 所以三物块的位移相同，有 f f1 第三个弹簧不受力，故其变形为零。因此有 11 12 kk , 21 32 21 22 1 12 11 , 11 , 1 kk d kk d k d 01 312 fff，令 f f2 第一和第二弹簧均受单位拉力，其变形分别为 f f3 再令1, 0 321 fff 321 33

23、21 23 1 13 111 , 11 , 1 kkk d kk d k d 可得到 321211 21211 111 333231 232221 131211 111111 11111 111 kkkkkk kkkkk kkk ddd ddd ddd d 系统的柔度矩阵为 柔度矩阵一般也是对称的。 实际上任何多自由度线性系统都具有这个性质。即 321211 21211 111 333231 232221 131211 111111 11111 111 kkkkkk kkkkk kkk ddd ddd ddd d i jj i dd t dd 系统的柔度矩阵为 例 试求图示悬臂梁的柔度影响 系数，并建立其位移方程。(梁 的弯曲刚度为ei，其质量不计) 解：取y1、y2为广义坐标，根据柔度影响系数的定义， d11表示在m1处施加单位力(沿y1方向)并在m1处产生的 位移。 ei l ei l d 243 ) 2 (3 3 11 d22表示在m2处施加单位力(沿y2方向)并在m2处产生的 位移。有 ei l d 3 3 22 按材料力学的挠度公式，则有 1 m 1 y 1 f 2 m 2 y 2 f