初二有关三角形证明的中考题

1、第一章三角形的证明测试卷（源于中考的试题）参考答案与试题解析一. 选择题（共9小题）1.（2013?郴州）如图，在 Rt ACB中，/ ACB=90 , / A=25 , D是 AB上一点.将Rt ABC沿 CD折叠，使B点落在AC边上的B处，则/ ADB等于（）A. 25B . 30C. 35D . 40解答：解：在 Rt ACB中，/ ACB=90，Z A=25 ， / B=90 - 25 =65 ， CDB由厶 CDB反折而成，/ CB D=Z B=65 ，/ CBD是厶ABD的外角，/ ADB =Z CB D-Z A=65 - 25 =40 . 故选D .2. （2012?潍坊）轮船从

2、 B处以每小时50海里的速度沿南偏东30方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60方向上，则C处与灯塔A的距离是（ ）海里.A.2503B. 25也C. 50D. 25解答:解：根据题意，Z 仁 Z 2=30 ，vZ ACD=60， Z ACB=30 +60 =90 ， Z CBA=75 - 30 =45 ， ABC为等腰直角三角形，/ BC=50 X 0.5=25 ， AC=BC=25 （海里）. 故选D .3. （2011?贵阳）如图， ABC 中，/ C=90 , AC=3 / B=30，点 P是 BC边上的动点，则AP长不

3、可能是（）A. 3.5B. 4.2C. 5.8解解：根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3;答：/ ABC 中，/ C=90 , AC=3，/ B=30 ， AB=6， AP的长不能大于6. 故选D .4. （2012?铜仁地区）如图，在AA BC中，/ABC和/ACB的平分线交于点 E，过点E作MN/ BC交AB于M,交AC于N,若BM+CN=9则线段 MN的长为（）A. 6B. 7C. 8D . 9考 等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.占：八、分 由/ ABC / ACB的平分线相交于点 E，/ MBE=/ EBC, / ECN=/ ECB,利用两直线平行， 析：内错角相等，利用等量代

4、换可/MBE=/ MEB / NEC=/ ECN,然后即可求得结论.解 解：/ ABC / ACB的平分线相交于点 E，答：MBE=/ EBC,/ ECN=/ ECB,/ MN/ BC, / EBC=/ MEB / NEC=/ ECB, / MBE=/ MEB / NEC=/ ECN, BM=ME EN=CN ， MN=ME+EN即 MN=BM+CN ./ BM+CN=9 MN=9,故选 D .5. （2011?恩施州）如图， 人。是厶ABC的角平分线，DF丄AB 垂足为 F，DE=DG ADGfHA AED的面积分别为 50和39，则 EDF的面积为（ ）A.11B. 5.5C. 7D. 3

5、.5考占：八、角平分线的性质；全等三角形的判定与性质.专题：计算题；压轴题.分析:作DM=DE交AC于M，作DN丄AC，利用角平分线的性质得到DN=DF，将三角形EDF的面积转化为三角形 DNM的面积来求.解答:解：作 DM=DE 交 AC 于 M，作 DN丄 AC，/ DE=DQ DM=DE， DM=DG/ AD是厶ABC的角平分线， DF丄AB, DF=DN,在 Rt DEF 和 Rt DMN 中，Tn二 df,IDM二DE Rt DEFB Rt DMN( HL ), ADG和厶AED的面积分别为 50和39,S mdg =S adg - Sa adm =50 - 39=11 ,SA DN

6、M =S DEF=二氐 MDG1=5.5故选B.占八、评:本题考查了角平分线的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是正确地作出辅助线, 将所求的三角形的面积转化为另外的三角形的面积来求.6. (2012?广州)在 Rt ABC中，/ C=90 , AC=9 BC=12 贝卩点 C到 AB的距离是（ ）A.B.C.D.解答:解：根据题意画出相应的图形，如图所示： 在 Rt ABC中，AC=9 , BC=12 ,根据勾股定理得：AB= AC S BC匹15 ,过C作CD丄AB ,交AB于点D ,又 abc= 1ac?bclab?cd ,2 2 cd_AC 壮一 AB =155，则点C到AB的距

7、离是蚩.故选A57. （2007?芜湖）如图，在厶ABC中A丄BC CELAB 垂足分别为 D、E, AD CE交于点H ,已知EH=EB=3 AE=4,贝U CH的长是（）A.1B. 2C. 3D. 4解答:解：在 ABC中 , ADL BC, CEL AB, / AEH=Z ADB=90 ;/ EAH+Z AHE=90,Z DHC+Z BCH=90,/ EHA=/ DHC（对顶角相等），/ EAH=Z DCH （等量代换） ;在 BCE和 HAE 中rZBEC=ZHEA-ZBCE=ZHAE ,lBE=HE=3 AEHA CEB （ AAS）; AE=CE;/ EH=EB=3, AE=4 ,

8、 CH=CE- EH=AE - EH=4 - 3=1 . 故选 A .8. （2011?泰安）如图，点0是矩形ABCD勺中心，E是AB上的点，沿CE折叠后,A.B.C.D .6点B恰好与点0重合，若BC=3贝浙痕CE的长为（）解答：解： CEA CEB翻折而成， BC=OC BE=OE，/ B=Z COE=90 E0丄 AC,VO是矩形ABCD的中心， OE是AC的垂直平分线，AC=2BC=2 X 3=6， AE=CE，在 Rt ABC中，AC2=AB2+BC2，即卩 62=AB2+32，解得 AB=3血，在 Rt AOE 中，设 OE=x，贝U AE=35 - x，AE2=AO 2+OE2，

9、即（3嵌-x） 2=32+x2，解得 x=V， AE=EC=3 两-V3=2. 故选A.9. （2012?深圳）如图，已知：/ MON=3，点 A、A、A在射线 ON上，点B、B、B在射线OM,AA 1B1A、AA2BA3、AA 3BA均为等边三角形，若 OA=1,则厶A6BA的边长为（）A . 6B . 12C . 32D . 64解答:解：A 1B1A2是等边三角形， A 1B1=A2B1，Z 3= / 4= / 12=60 ， / 2=120 ， / MON=30，/ 仁 180 - 120 - 30 =30 , 又/ 3=60 ,/ 5=180 - 60 - 30 =90 , / MO

10、NK 1=30 ,-OA1=AB=1 ,A 2 B=1 ,A 2B2A3、AA 3B3A4是等边三角形，/ 11= / 10=60 ，/ 13=60 , / 4= / 12=60 , A 1B1 /A 2B2 A 3B3, B1A2 /B 2A3,.Z 1= Z 6= Z 7=30 ,Z 5= Z 8=90 A 2B2=2B 1A2, BsA3=2B2A3,A 3B3=4B 1人2=4 ,A4B4=8B 茯2=8 ,A5B5=16BA2=16,以此类推：A6B6=32BA2=32 .故选：C.二. 填空题（共8小题）10. （2011?怀化）如图，在 ABC中，AB=AC Z BAC的角平分线

11、交 BC边于点D,AB=5 BC=6 贝9 AD= 4.考点：勾股定理；等腰三角形的性质.分析：首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，求出DB=DC-丄CB , AD丄BC,再利2用勾股定理求出 AD的长.解答：解： AB=AC, AD是Z BAC的角平分线， DB=DC=丄CB=3 , AD丄 BC,2在 Rt ABD 中，2 2 2 AD +BD =AB , AD=&2 -溝=4 ,故答案为：4.点评：此题主要考查了等腰三角形的性质与勾股定理的应用， 证出 ADB是直角三角形.做题的关键是根据等腰三角形的性质11. （2011?衡阳）如图所示，在 ABC 中，/ B=90 , A

12、B=3, AC=5 将厶ABC折叠，使点C与点A重合，折痕为DE贝仏ABE的周长为 7.考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理.专题：压轴题；探究型.分析：先根据勾股定理求出 BC的长，再根据图形翻折变换的性质得出AE=CE，进而求出 ABE的周长.解答：解：在 ABC中, Z B=90 , AB=3，AC=5， BCFaC，一- 32=4， ADE是厶CDE翻折而成， AE=CE， AE+BE=BC=4， ABE 的周长=AB+BC=3+4=7.故答案为：7.点评：本题考查的是图形翻折变换的性质，即折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.1

13、2. （2010?滨州）如图，等边 ABC的边长为6, AD是BC边上的中线，M是AD 上的动点，E是AC边上一点，若 AE=2 EM+C啲最小值为匸考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理.专题：压轴题；动点型.分析：要求EM+CM的最小值，需考虑通过作辅助线转化 EM，CM的值，从而找出其最小值求解.解答：解：连接BE，与AD交于点M 则BE就是EM+CM的最小值.取CE中点F，连接DF .等边 ABC勺边长为6，AE=2， CE=AC- AE=6 - 2=4， CF=EF=AE=2，又 AD是BC边上的中线， DF BCE的中位线， BE=2DF，BE/ DF，又TE为AF的中点， M为AD

14、的中点， ME是厶ADF的中位线， DF=2ME, BE=2DF=4ME， BM=BE- ME=4ME - ME=3ME， BEBM .在直角 BDM中，BD=_BC=3 , DM= _AD=2 2 2 BM=- =： 7 BE二/ EM+CM=BE EM+CM的最小值为一.点评：考查等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识的综合应用.13. （2013?泰安）如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 , AB的垂直平分线 DE交AC于 E,交BC的延长线于F,若/ F=30, DE=1,则BE的长是 2考点：含30度角的直角三角形；线段垂直平分线的性质.专题：压轴题.分析：根据同角的余角相

15、等、等腰AB性质推知/DBE=30。，则在直角DBE由“ 30度角所对的直角边是斜边的一半”即可求得线段BE的长度.解答：解：/ ACB=90 ， FD 丄 AB， / ACB=/ FDB=90 ，/ F=30 ，/ A=/ F=30 （同角的余角相等）. 又AB的垂直平分线DE交AC于E， / EBA=/ A=30 ，直角 DBE中, BE=2DE=2 .故答案是：2.点评：本题考查了线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形解题的难点是推知/ EBA=30 .14. （2013?黔西南州）如图，已知 ABC是等边三角形，点 B、C D E在同一直线上，且 CG=CD DF=DE贝y/ E

16、= 15 度.考点：等边三角形的性质；三角形的外角性质；等腰三角形的性质.专题：压轴题.分析：根据等边三角形三个角相等，可知/ 度数.ACB=60 ，根据等腰三角形底角相等即可得出/E的解答：解： ABC是等边三角形， / ACB=60 ，/ ACD=120 , / CG=CD / CDG=30,Z FDE=150 , / DF=DE, / E=15 .故答案为：15.点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180。以及等腰三角形的性质，难度适中.15. （2005?帛阳）如图，在 ABC 中，BC=5cm BP CP分别是/ ABC和/ACB的角平分线，且 PD/ AB PE/ AC则

17、厶PDE的周长是 5 cm.解答：解： BP、CP分别是/ ABC和/ ACB的角平分线，/ ABP=Z PBD,Z ACP=Z PCE,/ PD/ AB，PE/ AC,/ ABP=Z BPD, / ACP=Z CPE,/ PBD=/ BPD, / PCE=/ CPE, BD=PD, CE=PE , PDE 的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm.答: PDE的周长是 5cm.点评：此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点.本题的关键是将 PDE的周长就转化为3C边的长.考点：等腰三角形的判定与性质；平行线的性质.专题：压轴题.分析：分别利用角平分

18、线的性质和平行线的判定，求得和DBFECP为等腰三角形，由等腰三角形的性质得 BD=PD，CE=PE，那么 PDE的周长就转化为 BC边的长，即为5cm.n个三角形的17. （2005?十堰）如图中的螺旋由一系列直角三角形组成，贝悌面积为L考点：勾股定理.专题：规律型.分析：根据勾股定理，逐一进行计算，从中寻求规律，进行解答.解答:解：根据勾股定理:第一个三角形中:2OA1 =1+1，0=1 X 1 十 2;第二个三角形中:OA22=OA j+1=1+1+1 ，S2=OA 1X 1 十 2=：；：疋 X 1 十 2;第三个三角形中:OA32=OA22+1=1+1+1 + 1，S3=OA 2X

19、1 十 2=. X 1 + 2;第n个三角形中:Sn=1+ 2= ：J点评：本题主要考查了勾股定理的应用，要注意图中三角形的面积的变化规律.三. 解答题（共5小题）18. （2013?温州）如图，在 ABC 中，/ C=90，AD平分/ CAB 交 CB于点 D, 过点D作DEL AB于点E.(1)求证： ACDA AED(2)若/ B=30 , CD=1 求 BD的长.考点：:全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；含30度角的直角三角形.分析：(1) 根据角平分线性质求出CD=DE，根据HL定理求出另三角形全等即可；(2) 求出/ DEB=90 , DE=1 ,根据含30度角的直角三角形性

20、质求出即可.解答：(1) 证明：T AD平分/ CAB, DE丄 AB,Z CD=ED, / DEA=Z C=90 ,在 Rt ACD和 Rt AED 中 Rt ACD Rt AED ( HL );(2) 解：T DC=DE=1, DE! AB,/ DEB=90 ,/ B=30 , BD=2DE=2.C=90 ,点评：:本题考查了全等三角形的判定，角平分线性质，含30度角的直角三角形性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.19. (2013?沈阳)如图， ABC 中，AB=BC BE!AC于点 E, ADLBC于点 D, / BAD=45 , AD与BE交于点F,连接CF.(1)

21、求证:BF=2AE(2) 若 CD=, 求 AD的长.考点：全等三角形的判定与性质；勾股定理.专题：证明题；压轴题.分析：(1) 先判定出厶 ABD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AD-BD，再根据冋角的余角相等求出/CAD-Z CBE,然后利用“角边角”证明禾ADCBDF全等，根据全等三角形对应边相等可得BF-AC ,再根据等腰三角形三线合一的性质可得AC-2AF ,从而得证；(2) 根据全等三角形对应边相等可得 DF-CD，然后利用勾股定理列式求出 CF，再根据线 段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF-CF，然后根据AD-AF+DF代入数 据即可得解.解答：(1)证明：T AD丄 BC,Z BAD-45 , ABD