利用概率的方法证明等式与不等式

1、 用概率论的方法证明等式与不等式摘 要：对于不同的数学领域，有着许许多多的证明等式与不等式的方法，但其中很多的的方法却非常的复杂繁琐，在这篇文章中，用概率论的方法来解决了不同的等式与不等式的问题，用概率论的方法来解决许多等式与不等式问题非常的简单有效，给我们带来了很多的便捷关键词：概率论方法；不等式；恒等式 the use of probability in improving inequality and indentityabstract:to different mathematic space,there is various of ways to improve identity a

2、nd inequality,but most method are very complicate.in this paper,we use probability method to give a solution to several identities and inequalities.using probability to sovle the identity and inequality is simple and effective.its take us a great convesnience. keywords:probability method;inequality;

3、identity. 19目录1 利用概率的方法证明恒等式11.1 利用概率模型的构造证明恒等式11.2利用常见的概率分布及其规范性证明恒等式41.3 通过计算距的方法来证明恒等式71.4 用概率的方法证明数学分析中的等式81.5 小结92 利用概率的方法证明不等式102.1 利用概率模型的构造证明不等式102.2 一些概率中的基础理论与性质112.3 用一维随机变量证明的不等式122.4 用二维随机变量证明的不等式152.5 小结17谢 辞19引言： 20世纪以来，起源于机会游戏的概率论飞速发展，已经成为一门理论严谨的数学科学，其内容丰富，结论深刻，有独特的思想和方法概率论是对随机现象统计规律

4、演绎的研究，随机现象的普遍性使得概率论具有极其广泛的应用，其中，运用概率论的思想方法来解决其他数学领域中的问题已成为概率论的一个很新颖的方向等式与不等式的证明是数学中常见的问题，也是数学中的难点，本文主要探讨用概率论方法证明数学中的一些等式与不等式的问题，从而使得证明过程大大的简化利用概率方法的关键，是根据不同的数学问题巧妙建立随机模型，然后利用概率论中的相关知识来解决该数学问题1 利用概率的方法证明恒等式1.1 利用概率模型的构造证明恒等式 恒等式的证明思路较多，一般的可以从等式的左边到右边，从右边到左边，或从两边到中间在这里利用概率的思想通过构建一个概率问题来对恒等式加以证明先看以下例题：

5、 例1.1.1 证：该等式的构造复杂，我们建立如下概率模型：一个口袋中装有白球、黑球各1个，有放回地两次从中取球，每次取一球，将以上抽取过程记为一轮，如果第一轮两次取到的都是白球，则成功，否则失败；如果失败，则在口袋中加一个黑球，接着再进行第二轮抽球，如果两次取到的都是白球，则成功，否则失败；如果失败，则在口袋中加再一个黑球，进行第三轮抽球，如此不断继续下去，问成功的概率是多少?则有：第一轮成功的概率： ；第一轮失败，第二轮成功的概率：；第一轮，第二轮失败，第三轮成功的概率： ； . 所以成功的概率为： 又有模型中每轮都失败的概率为： 于是成功的概率为，综上可知成功的概率为： 则原式得证 由上

6、例可看出，巧妙地构造、利用概率模型来求解等式可以大大的减少用一般方法证明等式的运算量根据等式的特点，巧妙地构造适当的概率模型，是用概率方法证明恒等式的关键所在 例1.1.2 证：我们构造概率模型：从含有n个次品的n件产品中，设逐个不放回抽检件,则，设，则 互不相容且，于是我们有： 即：则原式可证 例1.1.3 证明： 证：原式两边同时除以，得 由上式左端分母可构造模型如下袋中有个不同的球，其中有个黑球和一个白球，从中任取个，记:，与构成样本空间的一个划分，由即，可得式，因此由以上两例可看出，在用概率的方法解等式时，不仅要巧妙地构造概率模型，而且要善于观察和运用等式中的”1“，也就是利用样本空间

7、不同的划分且的性质来解决一些等式的证明 例1.1.4 证：构建一个概率问题设袋中装有个球，其中个白球、其余的为黑球将球随机地无返回地取出，求第次才取到白球的概率 由设可知，袋中有个白球、个黑球，第次才取到白球的话就意味着前次取得的都是黑球从而第次才取到白球的概率为，这里作为概率是求出来了，但是为了得到恒等式，可以把上面的问题延伸一下，就是看看可以取哪些值因为袋中只有个黑球，若从开始总是取得黑球，直到把黑球取完为止，则最迟到第次一定会取得白球也就是说上面的可以取从这些值由上面已经得到的的结果依次可得： ， 显然第一次就取到白球、第二次才取到白球、第次才取到白球是必然事件，其概率为1，所以 即 那

8、么， 从而, 证毕1.2利用常见的概率分布及其规范性证明恒等式在概率论中，每个随机变量都有一个分布，不同的随机变量有不同的分布，也有相同的分布随机变量有千千万万个，但常用分布并不多常用分布亦分为两类：离散分布和连续分布，而在用概率的方法证明一般恒等式中，主要用到的概率模型是离散分布在用概率的方法证明积分恒等式中，主要用到的概率模型是连续分布，常用的离散分布有：二项分布、泊松分布、超几何分布、几何分布等，常用的连续分布有：正态分布，均匀分布，指数分布等 例1.2.1 证：在这里先介绍著名的巴拿赫问题：某数学家有两盒火柴，每一盒都装有根火柴每次使用时，他在任一盒中任取一根问他发现一盒为空而另一盒还

9、有根火柴的概率是多少？用表示事件“一盒为空而另一盒还有根火柴”仔细分析一下该问题：当一盒为空而另一盒还有k根火柴时，意味着一盒中的根已用完而另一盒用去了根火柴，即他共用去了根火柴由于每次抽到各盒的概率都是，总共进行了次贝努里实验，所以根据二项概率公式得事件的概率为： 巴拿赫问题的答案已经得出在这里同样考虑一下该问题中的的取值，就可以得到题目中的等式 显然巴拿赫问题中的可以取从、，直到0这些非负整数，所以对应的有事件,.这些事件为必然事件，概率应为1.即： 由得： 这样等式就变为： 将上式两边同乘以并利用组合数的性质得： ，所以原式得证 在以上例题中，除了运用概率模型的构造外，还运用了二项分布及

10、其规范性来证明等式 例1.2.2 证明等式： 证：建立概率模型：在件产品中有件次品，任取件，设为其中的次品数，则服从超几何分布，即，其概率分布为:,n,因为概率分布的规范性，所以，即：，原式得证在上例中,运用了超几何分布及其规范性来证明等式1.3 通过计算距的方法来证明恒等式 在随机变量中，期望即一阶原点矩、方差即一阶中心矩是最基本最常用的性质，因此在用概率模型证明等式时，也可以利用期望、方差的性质来辅助证明等式不仅如此，还可以用二阶、三阶矩，等更高阶的矩来帮助证明等式 例1.3.1 证明： 证：构造随机变量服从二项分布，即，取，则， 又 ，所以 即，即： ，原式得证 以上例题中，除了运用了二

11、项分布外，还运用了二项分布的期望，即一阶原点矩，从而证明了等式 例1.3.2 证明： 证：构造随机变量服从二项分布，即，取，则， ，而 ，则，即 ，所以 ，原式得证 以上例题中，除了运用了二项分布外，还运用了方差即二阶中心矩和二阶原点矩，从而证明了等式1.4 用概率的方法证明数学分析中的等式 随机变量中，除了常用的基本性质之外，还有一些重要的定理，如：大数定理、中心极限定理等，利用这些定理可以辅助证明数学分析中的一些恒等式 例1.4.1 求证： 证：建立随机模型，设为独立同分布随机变量且，即.根据泊松分布的可加性所以，则，而，有中心极限定理得， 在上例中，运用了泊松分布、泊松分布的可加性、以及

12、独立同分布下的中心极限定理，从而证明了等式 例1.4.2 证明：对有， 成立 证：设这一列相互独立的，同服从上均匀分布的随机变量，则独立同分布，独立同分布，且 由柯尔莫哥洛夫强大数定理可得 ， 即 ， 即 又因，故 ，所以 ，据此依控制收敛定理及式即可得到 = 在以上例题中，运用了均匀分布、大数定理、控制收敛定理，从而证明了等式1.5 小结 在以上4部分中，对从最基本的运用概率模型的构造证明恒等式到运用一些概率中的性质来证明恒等式进行了阶梯式清晰的讲解以及很多实例的演示，可以清楚的看到，利用概率模型及其性质证明一些恒等式非常的便捷有效，但同时也要注意，证明恒等式时，选取适当的概率模型是解题的关

13、键，在运用一些概率中的性质证明恒等式时，要能熟练地掌握这些性质的特点、算法及意义，这样才能有效地利用其对恒等式进行证明。2 利用概率的方法证明不等式2.1 利用概率模型的构造证明不等式 利用概率的方法证明不等式的基本做法是构造概率模型把不等式中的量设为若干个相互独立的事件的概率，这些事件的和事件仅是样本空间的一个子集，这样便有概率小于或等于1，从而得到一个不等式 例2.1.1 已知试证： 证：先把恒等式变形，两边同除以，得： ， ， 构造概率模型如下：设有三个口袋，1号口袋中有个球，2号口袋中有个球，三号口袋中有个球，其中各袋中都有一个红球现从每袋中各取一球，记，则，且相互独立，则 由于, 则

14、式得证，原不等式得证 上例中通过构造相互独立的三个事件的概率模型，利用 的性质，从而证明了不等式2.2 一些概率中的基础理论与性质 用概率论的方法证明不等式，除了适当的构造概率模型外，充分的利用各种性质，如：概率分布函数、密度函数、凸函数、不等式，可以方便的解决一些不等式的证明问题基础的理论与性质： 定义2.2.1 若连接内任意两点与的任意线段都含于，则称为内的凸区域 定义2.2.2 设实值函数定义于的凸区域内，若对任意的 ，及，恒有： 则称为内的凸函数；反之，若将中的“”换为“”，则称为内的凸函数 引理2.2.1 设函数 在某区域内的二阶导数，则 在此区间是下凸的；若，则函数在此区间是上凸的

15、 引理2.2.2 设为随机变量，若 为连续下凸的函数，则有；若为连续上凸的函数，则 引理2.2.3 不等式 若，是一个二维随机变量，又，则有 引理2.2.4 若是连续型随机变量，为一元随机变量，其概率密度为，则；若是离散型随机变量，其分布为，则2.3 用一维随机变量证明的不等式在2.2中一些基础理论的运用下，我们来证明一些不等式 例2.3.1 求证：设：，则 证：建立随机模型，设随机变量的分布为，对于至少有一个的情况，式显然成立；对于所有的情形，定义函数，显然为上凸函数，故由引理2.2.2，有,两边同时取为底的指数，即可得式，则原不等式得证 例2.3.2 求证：若与在上连续，则 证：设随机变量

16、的概率分布为及其概率密度函数分别为 ， 则： 由引理2.2.3 将三式带入上式，得 即有 原不等式得证 例2.3.3 设与为上的正值连续函数，则 证：设随机变量的概率分布及其概率密度函数，如式 则 由于，是上的正值连续函数，所以，又由引理2.2.3知， 从而 则 原不等式得证 例2.3.4 求证：若为区间上的下凸函数，则对任意一组值有 证：对任意给定的实数构造一离散型随机变量，其分布为 由引理2.2.4得 由于引理2.2.2得 原式得证 例2.3.5 证：若，均在上可积，且，则当为上的下凸函数时， 证：构造一连续型随机变量，其密度函数为 令，由引理2.2.4知 再由引理2.2.2知，当为上的下

17、凸函数时，有 原式得证2.4 用二维随机变量证明的不等式例2.4.1 设，则且等号成立的充要条件是 证：设二维离散型随机变量、的联合概率分布为 则、的边际概率分布分别为 令 , 有 由引理2.2.3有且等号成立当且仅当 即且等号成立当且仅当，不等式得证例2.4.2 设 ， 为任意实数，则且等式成立当且仅当或存在常数使 证：若均为，则等式显然成立 若不全为时，设二维离散型随机变量、的联合概率分布为： 则、的边际概率分布分别为 令 有 由引理2.2.3知且等号成立当且仅当，即且等号成立当且仅当，总之，所证的不等式等号成立的充要条件是或存在常数使 2.5小结 在以上用概率的方法证明不等式的4部分中，

18、讲述到了用概率模型以及概率中的一些理论性质对不等式进行证明，在这些基础之上，除了运用一维随机变量对不等式进行证明外，还可以运用二维随机变量对一些不等式进行证明。依此可知，还可以运用更高维的随机变量对更复杂的不等式进行证明。运用多维随进变量证明不等式的关键是构造适当的概率模型并且合理的利用多维随机变量的性质，其构造和使用都具有相当的难度。 参考文献1魏宗舒.概率论与数理统计m.北京：等教育出版社，1994.2周概容.概率论与数理统计m.北京：高等教育出版社，1984.3史威斯尼珂夫等.概率论解题指南m.上海：上海科技大学出版社，1983.4李贤平，等.概率论与数理统计m.上海：复旦大学出版社，2003.5陈希孺.概率论与数理统计m.北京：科学出版社，2002.6赵选民