因式分解知识点总结

1、时需Sr彳时磊5说-从中考中因式分解题型看因式分解所谓因式分解是把一个整式分成几个因式乘积的形式，由于这种变形蕴含着变换 的数学思想和方法，并且对于代数式的求值、化简具有重要的意义，所以中考中 除考察学生对因式分解的方法的选用外， 还考察了学生恒等变形的能力。因式分 解的思路和方法始终贯穿在代数变换中，它除了在代数的恒等变形中作用巨大， 其他如分式的通分和约分，以及解方程中都起着重要作用，在根式的化简计算， 三角函数式子的恒等变形等方面也经常用。因此在历届中考中因式分解总是以直 接和间接的方式出题，且在分值上占有一定的比例，总之因式分解的归类分解学 好对进一步研究其他数学问题起到至关紧要的作用

2、知识梳理1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解即：多项式 几个整式的积例: 3ax 3bx3X（a b）因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2. 因式分解的方法：（1）提公因式法： 定义：如果多项式的各项有 公因式，可以把这个公因式提到括号外面， 将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。 公因式可以是一个数字或字 母，也可以是一个单项式或多项式。系数一一取各项系数的最大公约数字母一一取各项都含有的字母指数取相同字母的最低次幕例：12ab3c 8ab2c3 6a4b2c2 的公因

3、式是.解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、6,它们的最大公约数为2;字母部分a3b3c,a3b2c3,a4b2c2都含有因式a3b2c，故多 项式的公因式是2a3b2c. 提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式中第一项有负号的，要先提取符号。例 1:把 12a2b 18ab2 24ab3分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幕是ab，故公因式为6ab。解：12a2b

4、 18ab2 24ab36ab(2a 3b 4a2b2)例2:把多项式3(x 4)x(4 x)分解因式解析：由于4 x (x 4)，多项式3(x 4) x(4 x)可以变形为3(x 4) x(x 4), 我们可以发现多项式各项都含有公因式(x 4),所以我们可以提取公因 式(x 4)后,再将多项式写成积的形式.解：3(x 4)x(4 x)= 3(x 4) x(x 4)=(3 x)(x 4)例3:把多项式x2 2x分解因式解： x2 2x = (x22x) x(x 2)(2) 运用公式法定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分 解因式的方法叫做运用公式法。a. 逆用平方差

5、公式：a2 b2 (a b)(a b)b. 逆用完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2c. 逆用立方和公式：a3b3(a b)(a2abb2)(拓展)d. 逆用立方差公式：a3b3(a b)(a2abb2)(拓展)注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方 差公式；若多项式是三项式，可考虑完全平方公式。例1:因式分解a2 14a 49解：a 14a 49=(a 7)例2:因式分解a2 2a(b c) (b c)2解：a2 2a(b c) (b c)2 =(a b c)2(3) 分组分解法(拓展) 将多项式分组后

6、能提公因式进行因式分解； 例：把多项式ab a b 1分解因式解：ab a b 1 =(ab a) (b 1)=a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1) 将多项式分组后能运用公式进行因式分解.例：将多项式a2 2ab 1 b2因式分解解：a2 2ab 1 b2= (a2 2ab b2) 1 (a b)2 1 (a b 1)(a b 1)2(4) 十字相乘法(形如x (P q)x pq (x p)(x q)形式的多项式，可以考 虑运用此种方法)方法：常数项拆成两个因数 p和q，这两数的和p q为一次项系数x2 (p q)x pq时需Sr彳fq2X (P q)x pq (x p)(x q)例

7、：分解因式X2 x 30补充点详解我们可以将-30分解成px q的形式，x q的形式，使 p+q=-1, p x q=-30,我们就有 p=-6,们就有p=2,q=5 或 q=-6,p=5。q=50所以将多项式x2 (p q)x pq可以分 x2(p q)x pq可以分分解因式x2 52x 100补充点详解我们可以将100分解成p使 p+q=52, p x q=100,我或 q=2,p=50。所以将多项式解为(x p)(x q)2x x 30 (x 6)(x 5)3. 因式分解的一般步骤：2x 52x 100 (x 50)( x 2)解为(x p)(x q)如果多项式有公因式就先提公因式，没有

8、公因式的多项式就考虑运用公 式法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为：“- 提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解， 应该是指在有理 数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个 整式的积的形式C 二、例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数一一取多项式各项系数的最大公约数；字母（或多项式因式）一一取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幕. 【例

9、1】分解因式：15a a b亦1 I0ab b a （ n为正整数）4a2n 1bm 6an2bm1（m、n为大于1的自然数）【巩固】分解因式：（x y）2n 1 （x z）（xy）2n2（y x）2n（y z）， n为正整数.【例2】先化简再求值，yxy x y x y x2，其中x 2， y -2【巩固】求代数式的值：(3x 2)2(2x 1) (3x 2)(2x 1)2 x(2x 1)(2 3x)，其中2x .3【例 3】已知：b c a 2，求 2a(ab c) b(-c a- b)- c(2b2c 2a)的值.33333时磊忖呎【巩固】分解因式：x3(x y z)(y z a) x2z(z x y) x2y(z x y)(x z a).公式法平方差公式：a2 b2 (a b)(a b) 公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； 每一项都可以化成某个数或式的平方形式； 右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.完全平方公式：a2 2ab b2 (a b)2a2 2ab b2 (a b)2 左边相当于一个二次三项式； 左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方