三角形“垂心”定理的7种证法

1、文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编借，有帮助欢迎下载支持. 1 文档来源为:从网络收集整理word版本可编借. 三角形“垂心”定理的7种证法 李小飞 摘要：用赛瓦定理、作辅助线、三角形外接圆、向量法证明三角形 垂心定理，形成典型的一题多解，到达异曲同工之妙，体现数学的 内在联系。 关键词:三角形、垂心、垂线、圆、向量 目录： 三角形“垂心”定理的证法 1.1定理2 1.2预备定理2 1.3定理的证法 引注和参考资料 三角形“垂心”定理的证法 1.1定理： A 三角形三条高相交于一点，这点叫做三角形的垂心(该定理俗称三角形垂心”定理). 已知,如图(1) AABC中,AD,BE,

2、CF 分别是边BC.CA.AB上的髙. 求证:AD.BE.CF相交于一点 1.2预备定理： 1.塞瓦(Ceva)定理:设D、E、F分别是AABC三边BC、 CA、AB上的点，若 FB DC EAD 2三角形“外心”定理:三角形三边的中垂线相交于一点，此点与三 閏(1) 顶点等距，这点叫做三角形的外心. 3.三角形“内心”定理:三角形三内角平分线交于一点，此点与三边等距，这点叫做三 角形的内心. 1.3定理的证法 巻| J = 1，则 AD,BE,CF 交于一点.b 如图(1), BD AB AT 由已知可得，C4FsMAE= =一gBDsCBFn AE AB AACD s ABCE =一三式相

3、乘得 CD AC AF BD CE AC AB BC t RrI AF BD CE t 、弄片宀诃“曰 AE BF CD AB CB AC BF CD AE BE, CF相交于一点. 如图(2)分别过A、B、C做它们所在高的垂线，使之相交成AABC*. 则 AB/ABBC/BC 同理，四边形ABAC为平行四边形， AB = AC,:. AC = CB 可见，CF为边4B的中垂线。同理可得，BE为边CA的中垂线，AD为边3C 的中垂.AD.BECF为ABC三边上的中垂线由“外心”左理可知.AD、 BE. CF相交于一点. 如图(3)连结DE, EF, FD, E F (C 则A、B、D、E四点共

4、圆， /. Zl = Z2.在 RtMBE 和 RtMCF 中, 易知 Z2 = Z3, /. Zl = Z3. 又A、F、D、C四点共圆， /. Z3 = Z4, Zl = Z4 .可见,AD 平 分ZEDF.同理可得，BE 平分ZDEF，CF平分 ZEFD在 ADEF 中, 由“内心”泄理可得，AD, BE, CF相交于一点.b 如图(4)设AB边上的高CF与BC 边上的髙AD相交于H,连结BH并延 长交AC于E. 连结DF,因A、F、D、C四点共圆， /. Zl = Z2又B、D、H、F四点共圆， /. Z2 = Z3 , /. Zl = Z3 在 ABAE和中C4F 中， 可知 ZAE

5、B=ZAFC=90 /. BE丄 AC, BE为边AC上的高. 由此可见，高AD、BE、CF 相交于一点. 如图(5)设边BC, AC上的高AD, BE相交于H. 连结DE,作HF丄A3于F。 连结CH, 则A、B、D、E四点共圆， /. Zl = Z2又Z1与Z3互余，Z2与Z4互余. /. Z3 = Z4XC. E、H、D 四点共圆， /. Z4 = Z5 , /. Z3 = Z5 o 又 Z5 + ZBHC =180, Z3 + ZBHC=180, .c. H、F三点共线。 即AB边上的髙CF经过H点。因而三条髙AD、BE、CF相交于一点. 如图(6)设BC边上的髙AD与AB边上的高CF

6、相交于H,连结BH并延长交 AC于E.建立如图所示的直角坐标系，并设A、B、C三点的坐标分别为： A (0, a), B (b.0), C (c.0) M 即BE为AC边上的髙。可见高AD、BE、CF相交于一点. 如图(7),设边BC上的髙AD与AB边上的髙CF相交于H,连结BH并延长交 D 圏(7) 设HA=a9 HB=b, HC=c 则方=&一7。-CF 丄 A3. 而氏=0 即(b-a) ：；&： = ：又说=：Ahad丄bc,岚页 =o. 即 c-ba = 0 :wc = ab :.bc = ab :.bca)=0,9c-a = AC 文档收集于互联网，已重新整理排版.word版本可编借，有帮助欢迎下载支持. /. HBAC = 0可见，BE丄AC,即BE是AC边上的AABC三边上的 髙AD、BE、CF相交于一点. 引注和参考资料： 上述7种证法中，其中证法2是由高斯最早发现的，所以此证法