单级倒立摆LQR控制

1、精选文档单级倒立摆LQR控制1、建模在忽略了空气阻力，各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如下图所示。其中：M小车质量m摆杆质量b小车摩擦系数l摆杆转动轴心到杆质心的长度I摆杆惯量F加在小车上的力x小车位置摆杆与垂直向上方向的夹角0摆杆与垂直向下方向的夹角(考虑到摆杆初始位置为竖直向下) 采用牛顿动力学方法可建立单级倒立摆系统的微分方程如下：(M m)X& b& ml&cos ml &sin F (I ml2)叔 mglsin mlXcos倒立摆的平衡是使倒立摆的摆杆垂直于水平方向倒立，所以假设2为足够小的角度，即可近似处理得：cos 1, sin ，了 0。用u

2、来代表被控对象的输入力F,线性化后两个方程如下：(I ml X1 l(M m) Mml2) mglmlX&(M m)X& b& ml u取状态变量：x1X2&XX3XX42即摆杆的角度和角速度以及小车的位移和速度四个状态变量。则系统的状态 方程为:& X2可编辑mgl (M m)mlI (M m) Mml 2 UX4X1I(M m) MmlI ml2I (M m) Mml 2 U将上式写成向量和矩阵的形式，就成为线性系统的状态方程:& Ax BuyCxX这里设：M 1.32Kgm 0.07Kgb 0.1N/m/sl 0.20m2I 0.0009Kgm将参数带入，有:010 038.182500

3、0A00010.384700002.8037B00.74771 0 00C0 0 102、LQR控制线性二次型是指系统的状态方程是线性的，指标函数是状态变量和控制变量 的二次型。考虑线性系统的状态方程为：X(t) Ax(t) Bu(t)y(t) Cx(t) Du(t)找一状态反馈控制律：u(t) Kx(t)，使得二次型性能指标最小化：J 1xT(tf)Sx(tf) 1 :xT(t)Q(t)x(t) utR(t)u(t)dt2 2 t0其中，x(t)为系统的状态变量；tf、to为起始时间与终止时间；S为终态约 束矩阵；Q(t)为运动约束矩阵；R(t)为约束控制矩阵。其中Q(t)、R(t)决定了

4、系统误差与控制能量消耗之间的相对重要性。为使J最小，由最小值原理得到最优控制为：u (t) R 1BTP(t)x(t)式中，矩阵 P(t)为微分 Riccatti 方程：P(t) P(t)A ATP(t) P(t)BR 1BTP(t) Q 的解。如果令终止时间tf, P(t)为一个常数矩阵，且P(t) 0,因此以上的Riccatti方程简化为 P(t)A AT P(t) P(t)BR 1BTP(t) Q 0。对于最优反馈系数矩阵K R 1BTP(t)，使用Matlab中专门的求解工具lqr() 来求取K。将LQR控制方法用于倒立摆控制的原理如下图所示。刮油父=Ai+auJ LT = C*HuConrtsntSuter占 me用Matlab求解lqr(A, B, Q, R)可以求出最优反馈系数矩阵 K的值。lqr函数需要选择两个参数R和Q，这两个参数是用来平衡输入量和状态量的权重。其中，Ql,1代表摆杆角度的权重，而Q3,3是小车位置的权重。这里选择：2500000000Q001000000R 0.1通过 matlab 求得：K = -82.4246 -10.7034 -10.0000 -11.8512。3、仿真仿真，LQR控制倒立摆摆角和小车位移仿真结果如下图所示通过matlab倒立摆摆角:小车位移:4、心得体会通过对最优控制这门课阶段性的学习，对控制