二阶变系数齐次微分方程

1、 毕业论文 目二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法 院系滨江学院 专业一信息与计算科学 学生姓名XXX XX 学号xxxXX 指导教师XXX 职称 教授 二0 二年五月二十日 目录 摘要3 引言3 1、用常数变易法求解二阶变系数齐次微分方程的解3 1.1已知方程的一个特解求通解3 2、化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的解 5 2.1求满足定理1的恰当方程的通解5 2. 2求满足泄理2的恰当方程的通解6 3、化为RICCAIT方程求二阶变系数齐次线性微分方程的解6 3.1若方程系数满足p(x = q(x)情况8 3. 2若方程系数满足p(x) + q(x) = 一1情况9 3.

2、3若方程系数满足p(x)-qM = l情况10 结束语11 参考文献11 二阶变系数齐次线性微分方程的若干解法 姓名 XX大学XX专业，南京210044 摘要：二阶线性齐次微分方程无论是在微分方程理论上还是在应用上都占有重要位置.现在对于常系数 的线性微分方程的解法研究已经t匕较完备.但对于变系数线性微分方程如何求解,却没有通用的方法，因 此探求二阶变系数微分方程的解法就很有必要。本文主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的解法问 题，通过利用常数变易法，和系数在满足待走条件下，化为恰当方程和riccati方程来求解二阶变系数齐 次微分方程的解法，直接通过具体例题解决具有满足相同条件关浆的二阶变系

3、数齐次微分方程的解.从而 进一步加深对二阶变系数齐次线性微分方程的解法的理解. 关键词：二阶变系数齐次线性微分方程：常数变易法；降阶法；恰当方程；riccati方程；通解； 弓|言:尽管由于计算数学和计算技术的迅猛发展，通过电子il算机可以迅速而且比较准确 地处理有关微分方程的求解问题。但是，在实际学习生活中对于一个常微分方程，不论从 理论研究的角度，或从实际应用的角度看，都具有I分重要的地位。现在我们对于常系数 线性微分方程的解法，已非常完备，但是对于理论比较完整的、有广泛应用的线性变系数 微分方程至今却没有一般的求解方法，因此二阶变系数齐次微分方程的求解问题一直是人 们感兴趣的研究课题。本

4、文对系数满足特左条件的二阶变系数微分方程，通过观察其形 式，巧妙利用常数变易法，化为恰当方程，和化为riccati方程来求解。主要针对不同类型 的二阶变系数方程用不同的方法实现解决部分满足一左条件下的方程的解的目的。诣在通 过具体例题的解法，解决系数满足特定条件下的二阶变系数齐次线性微分方程求解的问 题，从而使我们能更进一步加深对二阶变系数齐次微分方程解法的理解，以便适应在工程 技术的实际领域或学生在学习相关专业中的需要。 本文主要通过把方程转化为我们所熟悉形式，来讨论二阶变系数齐次微分方程 y+p(x)y+g(x)y = O(1) 的解，其中p(x),q(x)是关于X的连续函数。 1、用常数

5、变易法求解二阶变系数齐次微分方程的通解 1.1已知方程一个特解求方程通解 在我们课本上所学的关于求解二阶常系数齐次线性微分方程，我们可以通过特征方程 法求英线性无关的特解，然后再利用微分方程解的相关性质从而求得英通解,对于这个方法 我们已经很熟悉了。那对于二阶变系数齐次线性微分方程求解怎么进行？因为二阶变系数 线性微分方程由于英系数的变化不同，使用特征方程法就没用，为此我们想到通过常数变易 法，来讨论二阶变系数齐次线性微分方程(1)的解，具体思路如下： 若已知？为方程(1)的一个特解，则知GV】(C为任意常数)是方程(1)的一般解， 我们可以通过变易常数，设与方程的解”线性无关的解为y2 =c

6、(x)y.，其中 C(x)是待定的函数，将其代入方程(1)可以得到： (1.1 C x + (2片+ pyjc + c(y+ py + qy) = 0 已知yx为方程(i)的一个特解，化简可以得到： c”x+(2y+pyJcJ0(1.2) 观察此方程是一个可降阶的微分方程，则令M = C可得： 利用变量分离 得：必+比型=。 U -10-/14 (1.3) y；2edxlx 一 2 X e (1.4) (1.5) 例1 若已知X是二阶变系数齐次线性微分方程，一4砂+(4, _2)，= 0的一 个特解，求此二阶变系数齐次微分方程的通解。 解：已知一个特解,利用(1.5)的结论，得另一个线性无关的

7、特解为: 所以原方程的通解为：y二(C| + C2%)e其中(CC?为任意常数)。 例2 求解(x l)y”A/+y = 0,已知它的一个特解是求其通解。 解:vy, =x,利用常数变易法，得到所求通解为： (lx 一般的若已知二阶齐次线性微分方程的一个特解(对某些方程我们可通过观察法或分 析法快速确定)，然后利用常数变易法设另外一个特解，代入原方程后就可得到一个可降 阶的微分方程，从而很简便的求得二阶变系数齐次微分方程的通解。 2、化为恰当方程通过降阶法求解二阶变系数齐次微分方程的通解 引入概念 如果二阶变系数齐次微分方程满足以下条件1和条件2中的系数p(x),q(x)所 限制的条件时，所能

8、得到的方程就称之为恰当方程。 如何化为化为恰当方程通过降阶法求解方程通解？我们的思路就是观察二阶变系数齐 次线性微分方程的系数，把系数化成满足恰当方程的系数形式，然后将转化后的的系数形 式带入方程，然后利用变量代换，通过降阶法，把方程变为我们所熟悉的一阶方程积分求 得方程的通解。 2.1 求满足条件1的恰当方程的通解 条件1二阶变系数线性常微分方程(1),对于系数pg,q(Q 若满足 9 f p(x)=F(x)+WM q(x)=Fx)W(x)FM (2.1.1) 英中函数F(x), F ,W(x)都是连续函数，则把此类方程为恰当方程。 例1求方程y-4与+ (4x2 - 2)y = 0的通解

9、解：令 F(x) = -2x,W(x) = -2x,则 Fx) + W(x)F(x) = 4x2-2 系数满足定理1的条件则是恰当方程。将英带入方程(1)就可以得到 y+ (F(x) 一 W(x)y9+ (Fx)+W(x)F(x)y = 0 (2.1.2) 将上式通过变形得： y+ F(x)刃+ W(x)y + F(X)y = 0 基于换元法，令 w = y+F(x)y u+W(x)u =0 解上面的方程(2. 1. 5)就得到： -w(x)dxC w(x)dx _, u = e | r Jx + qJ (2. 1.6) 把式(2. 1. 6)代入式(2.1.4)得 y+ F(x)y = eJ

10、dx + cj 解得： F(x)dx t f -flV(x)rf.rr f w(x)dx f n fF(.r)dv f、 y = e J I e J Idx + ce ax + c2) 即得方程的通解为： y =只皿 J皿划丿妆+ cM + c2(2.1.8) (其中Ge?是任意的常数。) 所以原方程的解为： J【F +CW+C2 即： y = -e2x +-c.exlx2 +c.exx(2.1.9) 42- (2.1.3) (2.1.4)则有: (2. 1. 5) 2. 2求满足条件2的恰当方程的通解 (2.2.1) 条件2二阶变系数线性常微分方程(1)，对于系数pxqx)若满足 其中FxW

11、(x)为一阶导数连续的函数，则把此类方程称为恰当方程。 2 ? 例2求方程yj(l + _)y4_y = 0的通解 X X 解：令 F(x) = xW(x) = x2,则可知： ,、Fx) + W(x) 2x + x2 2 ,/、 W x) 2x 2 p(x) =,=一 + 1, q(x) = 一 =- F(x)x2 xF(x) x2 x 系数p(x),q(x)满足条件(2.2.1)，将苴代入方程(1)便得： F(x)y+ (F9(x) + W(x)y9+ W x)y = 0 将上式两端减掉0整理便得到： (2. 2. 2) (F(x)V+W(x)y Q) = 0 于是进一步便得到：F(x)y

12、+ +W(x)y-Q = JQ+q (2.2.3) 解得: (其中CC?为任意常数。) 若方程满足条件2中的条件，且Q(x) = 0, F(x) = W(x) 则方程(1)有通解为： exdx + c2其中0, C?为任意常。 (2.2.4) 其中C, C?为任意常数。 根据通解公式得出所求原方程的解为: (225) 将二阶变系数齐次线性微分方程化为恰当方程，通过观察系数之间的关系代入方程，利 用变量代换法将方程降阶来求解通解问题，使得问题变得简单可行，这个方法对于满足条 件的二阶变系数齐次方程适用性强，但是不具普遍性，而且对于相对复杂的系数我们也难 一眼看出它们之间的关系，这对我们解决问题具

13、有一宦的局限性。 3、将二阶变系数微分方程化为riccati方程求解 将二阶变系数齐次线形微分方程化为riccati方程，主要是利用原有的riccati方程方 程的通解结论，将方程通过换元法化为riccati方程，然后得出相关的结论，进而再求出 通解，思路比较简单。 引入以下几个结论： 法国数学家刘维尔在(1841年)证明了著名的riccati方程 y= PMy2+q(x)y + r(x) 一般来说不可积，文4-5均给出待立函数满足泄理条件时方程的通积分。 引理!若系数满足（舄，贝Ti方程可积且其通积分为 g(x) c-j p(x)e 若系数满足卩（X） 3.1若方程系数满足p x） = q（

14、x）的情况 例1 求方程= 0的通解 X JT 解：基于换元法 令y =-“（x）y,则）=一（x）y-r心）y将y和）代入原方程（其中 uM是新的未知函数） 即： -m x)y + ir(x)y - u(x)y - y = 0 xx 经过化简可得:v(-w(X)+ u2(x)一-u(x)一丄)=0(3.1.1) XJT y = 0很显然是方程(1.1)的解。 . 1 1 所以可知:-(x) + (x)w(x)=0 Xf . 1 1 , 则：u (x) = ir(x)w(x)- 是关于m (兀)的riccati方程。(31. 2) x对 可知p(x) = - , q(x)= 一丄因为p(x)

15、= q(x),即(一p(x) = -q(x)满足上而的引理 XX （X）的条件。 所以关于()的riccati方程的通积分为: (C为任意常数)。 (3 1. 3) 数。 解得: (3. 1.5) 寸丄tZr |ef丄厶 + dx)y =-(片+ p(x)dv 妝% 4 q -e x dx (3.1.4) y = c2 exp(-j (lx)= qc2 c2x x r (苴中CC?为任意常 e-dx 尸字(一+ q - e x dx (其中c C2为任意常数。)o 当C2=0时，y = 0o所以原方程的通解为: (其中C, c?为任意 常数)。 (3. 1.6) 3. 2 若方程系数满足p(x

16、) + q(x) = -1的情况 例2求方程(丄+ 2)才一(丄+ 3)y = 0的通解 xx 解：基于换元法 y = -exux)y,则 y = -exu *(x)y-exu(x)y-exu(x)y 将 y 和 y 代 入原方程(其中“(x)是新的未知函数), 化简可得： y -exu(x) + e2xu2(x)一(ex +e + 2)w(x) + (+ 3) =0 xx (3.2.1) 很显然y = 0方程（2.1）的解。 -exu (x)+e2xu2(x)(ex +e + 2)m(x) + ( + 3) = 0 xx 1(丄+ 3) u(x) = exu2 (x)-(1 + (- + 2

17、)w(x) + 丄=0 xex (3.2.2) 是一个关于（兀）的riccati方程。 因为p(x) + g(x) = l,所以方程(3. 2. 2)可化为 i(丄+ 3) U (X)= “2(x) (_ + 3)“(x)+ xex (323) 因为 QM =e即上述方程满足引理2的条件, 所以关于“（X）的riccati方程的通积分 为: （3 由此可得: 1 exdx 其中q为任意常数。 ） %_1 “ dx J Qdx X exerdx -hi )y (3.2.5) 解得: 丄+ 1 X dx 1 c、- f 冷 ex 1 dx )dx y = c2 expjv( (3.2.6) 当q=

18、0时，y = 0,所以原方程的通解为 (3.2.7) 4 -+1 X dx 1 S-J 任 意 )dx = c2(c -(x-2x) 常 y = c? expj_，( 3.3若方程系数满足p(x)-g(x) = l情况 例3 求方程yu+ (3一-)yf+ (2一 -)y = 0的通解 xx 解：基于换元法，令 y = exu(x)y,则 y =exii(x)y-exu(x)y + exu(x)y 将 y 和y代入原方程（其中讥X）是新的未知函数）， 化简可得： y 不 （x）一厂叫2（力一（八一严（3-丄）“（x） + （2-丄）=0 XX (3.3.1) 显然y = 0方程（1.1.1）的

19、解。而 exu(x) 一 e2xu2(x) 一 (严 一 eTx (3 一 丄”心)+(2-丄)=0 xx (3.3.2) 1(2-丄) Il (x) = -eu2(x) + (1-(3-)w(x) + 丄=0 xe -X (3.33) 是一个关于（兀）的riccati方程。 因为p（x）-q（x） = ,所以方程（333）可化为: .1(2-丄) u (x) = -exir (x) _ (2 _ )h(x) + xex (3.3.4) 因为 严，即上述方程满足引理2的条件，所以关于（Q的riccati方程的 通积分为: ej2-q(x)dx 一於（其中C|为任 dx 意常数。 （3. 3.5

20、） 由此得解得: 宀*当一。时, 所以原方程的通解为: y = c2 exp(J ex)dx) = c2( 屮（“叶宀）（其中 (3. 3.6) 这种方法要求系数在满足特定条件下，采用换元法进行运算，要求我们对系数关系有很 好的把握，主要是利用已有结论求通解，方法简单明了，但是对于如何化为riccati方程 是解决此类题目的关键，这并不适用于每一个方程的求通解问题，但是这种方法能使我们 对于二阶变系数齐次线性微分的解法有了更深刻的理解。 四、结束语 本文主要讨论二阶变系数齐次线性微分方程的若I解法，求解在方程满足特定条件 下，巧妙地求解二阶变系数齐次微分方程的通解。主要是通过常数变易法，化为恰

21、当方程 通过降阶法，以及把二阶变系数齐次线性微分方程转为riccati方程求解，使得变系数齐次 微分方程的解法变得有效可行。这几种方法的使用，需要我们能够准确把握题目中暗含的 条件，从而对应的找到相应解决办法，然后转化为我们熟悉的方程形式来求解方程的解， 使得二阶变系数齐次微分方程解法变得更容易理解。本文提供的及几种方法虽然可以解决 不少二阶变系数齐次微分方程，但却不具普适性，对于很多的二阶变系数方程的解法仍具 有一定的局限性，仍需要大家今后不断在这一课题上努力研究。在本文实际解题过程中也 利用了解决方程问题常用的一些方法，常数变易法、换元法、降阶法等让我们对于这些方 法的研究有了更广泛运用和

22、更深刻的理解，但还有很多的方法如初等函数法、枳分法、向 量法等，在此就不逐一讨论了。 【参考文献】 1 曹友娣，刘玉彬。一类二阶变系数微分方程的解A.惠州学院学报（自然科学版） 2010 :6-30 2 杨万顺二阶变系数线性常微分方程的求解M .潍坊学院学报,2011:10-61. 3 刘琼一类二阶变系数微分方程的解J.广西右江民族师专学报,2002( 6): 18- 20 . 4 冯录祥.类型R i ccati方程的积分J.石河子大学学报:自然科学版，1997( 4): 316-318. 5 庞建华R iccati方程的一些新的可积条件J.广西工学院学报,2008( 2) : 89- 92

23、. 6 顾建吾，张亭.二阶变系数线性微分方程求解的几点硏究A.南通职业大学学报, 2010( 2): 60- 07 . 7 李姝菲，赵明二阶线性微分方程解的讨论J.吉林师范学院学报,1998( 1): 21- 24 . 8 王玮.二阶变系数线性微分方程的解J.焦作大学学报:综合版,1996( 6): 27- 29 . 9 李永利桑改莲一类二阶变系数齐次微分方程通解的求法卩卜高等数学研究2006,9 10 袁相碗，徐洪义,包雪松,常微分方程M.南京：南京大学出版社.1994. 11 王高雄常微分方程M.北京:高等教育出版社 several solutions for the Second ord

24、er variable coefficient and homogeneous linear of differential equation FengXin Nanjing information engineering university institute of binjiang information and computer science major, nanjing 210044 Abstract； the second order and homogeneous linear differential equation whether in theory or in the

25、application of differential equation are ail important place. Now for a linear differential equation with constant coetTicients of studies have relatively complete solutions. But for variable coefficient linear differential equation how to solve, but there is no universal way, so to search for second order variable coefficient of the differential -10-/14 equation solution is very necessary. This paper mainly discusses the second order