【2019年整理】《两角和与差的余弦公式》教学设计

1、两角和与差的余弦公式教学设计 一、教材地位和作用分析： 两角和与差的正弦、余弦、正切是本章的重要内容，是正弦线、余弦线和诱 导公式等知识的延伸， 是后继内容二倍角公式、 和差化积、 积化和差公式的知识 基础，对于三角变换、 三角恒等式的证明和三角函数式的化简、 求值等三角问题 的解决有重要的支撑作用。 本课时主要讲授平面内两点间距离公式、 两角和与差 的余弦公式以及诱导公式。 二、教学目标： 1、知识目标： 、 使学生了解平面内两点间距离公式的推导并熟记公式； 、 使学生理解两角和与差的余弦公式和诱导公式的推导； 、 使学生能够从正反两个方向运用公式解决简单应用问题。 2、能力目标： 、培养学

2、生逆向思维的意识和习惯； 、培养学生的代数意识，特殊值法的应用意识； 、培养学生的观察能力，逻辑推理能力和合作学习能力。 3、情感目标： 、通过观察、对比体会公式的线形美，对称美； 、培养学生不怕困难，勇于探索的求知精神。 三、教学重点和难点： 教学重点： 两角和与差的余弦公式的推导及运用。 教学难点： 两角和与差的余弦公式的灵活运用。 四、教学方法： 创设情境有利于问题自然、流畅地提出，提出问题是为了引发思考，思考的表现 形式是探索尝试，探索尝试是思维活动中最有意义的部分，激发学生积极主动的思维 活动是我们每节课都应追求的目标。给学生的思维以适当的引导并不一定会降低学生 思维的层次，反而能够

3、提高思维的有效性。从而体现教师主导作用和学生主体作用的 和谐统一。 由此我决定采用以下的教学方法：创设情境-提出问题-探索尝试-启发 引导解决问题。 学法指导： 1、要求学生做好正弦线、余弦线、同一坐标轴上两点间距离公式，特别是用角的余弦 和正弦表示终边上特殊点的坐标这些必要的知识准备。（体现学习过程中循序渐进，温 故知新的认知规律。） 2、 让学生注意观察、对比两角和与差的余弦公式中正弦、余弦的顺序；角的顺序关系， 培养学生的观察能力，并通过观察体会公式的对称美。 五、教学过程 教学程序 设计意图 课 题 引 入 0 0 0 0 让学生先讨论cos （ 45 +30）=cos45 +cos3

4、0是否 成立？”。（学生可能通过计算器、量余弦线的长度、 特殊角三角函数值和余弦函数的值域三种途径解 0 0 0 0 决问题）。得出 cos （45 +30 ）工 cos45 +cos30。 进而得出 cos （ a + 3 ）* cos a +COS 3这个结论。 此时再次提出那么 cos （ a + 3 ）又等于什么呢？ 这正是我们今天要研究的内容。 揭示课题：两角和与差的余弦。 通过创设问题情境，自然 流畅地 提出问题，揭示课题，引 发学生 思考。使学生目标明确、 迅速进 入角色。 复 习 提 问 1、画出一个锐角、一个钝角的正弦线、余弦线。 2、如果角a的终边与单位圆相交于点 P,点P

5、的 坐标能否用角 a的三角函数值表示？怎样表示？ 3、写出同一坐标轴上两点间距离公式。 通过复习使学生熟悉基 础知识、特别是用角的 正、余弦表示特殊点的坐 标，为新课的推进做准 备。 引 入 新 课 在解决上面的问题之前，我们先来解决“平面内两 点间距离的求法”这一问题。通过上面的复习，我 们已经熟悉了同一坐标轴上两点间距离公式。那 么，平面内两点间距离与坐标有什么样的关系呢？ （通过特殊的例子让学生体会平面内两点间距离 和同一坐标轴上两点间距离的关系。） 让学生通过特殊值在 转化到一般情况，符 合学生的认知规律。 1、分析：设 P (Xi, yj, P2 (X2, y2)则有：M(Xi, 1

6、、通过几何画板动态演 0), M (X2, 0) ,Ni (0, yi), N2 (0, y2)o 示，给学生以直观感受， 通过演示课件提出问题：RE 让他们认识到：平面内两 的长度与什么有关？ 点间距离和同一坐标轴 根据图写出MM和NN2。 上两点间距离总能构成 RQ= MM= 1 x 2-x 1 | 一个直角三角形，利用勾 QP= NN= | y 2-y 1 | 股定理即可解决。 根据勾股定理写出 2、两角和余弦公式的证 2 2 2 2 2 P1P2 =RQ+QP=(X2-Xi)+(y2-y 1) 明中存在困难：三角函数 由此得平面内R (Xi, yj、P2 (X2, y2)两点间的距 表

7、示单位圆上点的坐标， 离公式： 它虽然算理简单，但学生 / 22 P iP2=(X 2-X1) +(y 2-y 1) 由于陌生而很不习惯，通 2、在直角坐标系内做单位圆，并做出任意角 过前面习环节应该有所 a , a +3和-B 它们的终边分别交单位圆于卩2、 熟悉。3、两角和的余弦 P3和P4点，单位圆与X轴交于R。则： P 1(1,0)、 学完之后，要强调其中两 P2 ( COS a , s in a ) F3 ( COS ( a + 3 ) , sin (a + 3 ) 角均为任意角，这样一 P4(cos3，-sin3 ) 来，两角差的余弦只是两 根据丨P1 P4 1 = | P2 P3

8、 |即可得到 角和的余弦的特殊形式。 cos ( a +3 ) = cos a cos3 - sin a sin 3 教 用-3代替3得cos (a - 3 )的公式。 注意公式的结构特征。 学 例1的作用一方面让学 例 1、求 cos15及 cos105 的值. 生熟练两角和与差的余 分析：本题关键是将 15。角分成45。与30的差或者 弦公式，另一方面也向学 过 分解成60与45的差，再利用两角差的余弦公式即 可求解.对于cos105,可进行类似地处理，cos105 生展示了公式的一种实 =cos (60 + 45). 际应用价值，即:将非特 程 殊角转化为特殊角的和 匕K 与差。 例2利

9、用两角和与差的余弦公式证明下列诱导公 式： n (1) C0S(2 - a )=Sin a . n (2) sin(2 - a )=C0S a 4匹5 例 3 已知 sin a= 5 , a( 2 , n) , cos 3= IX , 且B是第三象限的角，求cos ( a+ 3)的值. 分析：观察公式Ca+ 3与本题已知条件应先计算 出 cos a, cos 3 再代入公式求值.求 cos a cos 3的 值可借助于冋角三角函数的平方关系，并注意a 3 的取值范围来求解. 课堂练习： 1. (1 )求 sin75 的值. (2)求 cos75os105 + sin75 sin 105 的值.

10、 2. ( 1 )求证：cos ( 2 a) = sin a 15 (2) 已知sin 4 17 ,且B为第二象限角，求 cos n (B 3 )的值. 3_ (3) 已知 sin (30+ a) = 5 , 60 aV 150 求 cos a 例2 的目 的在 于熟 悉公 式， 同时 对同 角三 角函 数关 系有 复习 的作 用， 其难 度不 是很 大， 在提 供了 公式 之 后， 学生 应当 能够 宀 完 成 小 结 本节课我们学习了下面两组公式，在公式的 记忆上，我们应注意函数和符号的变化。 两角和与差的余弦： 小节以十四字口诀概括 两角和与差的三角函数 关系式，既体现了公式的 本质特征，又朗朗上口， 便于记忆。有助于学生对 （同名之积相加减，运算符号左右反。） cos （ a + 3 ） = cos a cos 3 - sin a sin 3 cos （ a- 3 = cos a cos sjh a sin 3 本节课的内容更好地掌 握。 练 习 巩 固 1、课堂练习(P38) 、第 2 题(3)、( 4)。 、第 3 题(2)、( 3)。 2、课后作业P40 习题 4.6 第 2、3、(2)、(3) 3、思考题： 试运用今天所学知识和方法证明： sin ( a + 3 ) = sin a cos 3 +cos a sin 3 sin ( a - 3 ) = sin