三角形证明题练习及答案

1、三角形证明题练习及答案2 三角形证明题练习2 1 已知如图， ABC ADE , / B=30 / E=20 / BAE=105 求/ BAC 的度数./ BAC= ABCD 中，AB / CD , AD / BC .求证: ABD CDB . 4 / 29 3. 如图，点E在厶ABC外部，点D在边BC上，DE交AC于F.若/仁/ 2= / 3, AC=AE，请说明 ABC ADE 的道理. 4. 如图， ABC的两条高AD , BE相交于H，且AD=BD .试说明下列结论成立的理由. (1) / DBH= / DAC ; (2) BDHADC . D是BC边的中点, DE 丄 AB , DF

2、 丄 AC，垂足分别为 E、F, 且 DE=DF，贝U AB=AC，并 5.如图，在 ABC中, 6. 如图，AE是/ BAC的平分线，AB=AC , D是AE反向延长线的一点，则 ABD与厶ACD全等吗？为什么? 7. 如图所示， A、D、F、B 在同一直线上， AF=BD , AE=BC，且 AE / BC . 求证: ABC DEC . AD=AE , BE与CD相交于 O, ABE与厶ACD全等吗？说明你的理由. 9.如图，在 ABC中，AB=AC , D是BC的中点，点E在AD上，找出图中全等的三角形，并说明它们为什么是 全等的. 11.已知AC=FE , BC=DE，点A、D、B、

3、F在一条直线上，要使 ABC FDE，应增加什么条件？并根据你所 增加的条件证明： ABC FDE . 12 .如图，已知 AB=AC , BD=CE，请说明 ABE ACD . 13.如图， ABC中，/ ACB=90 AC=BC，将 ABC绕点C逆时针旋转角 a （0 aV 90 得到 AiBiC,连 接BB1.设CB1交AB于D , A1B1分别交AB , AC于E, F,在图中不再添加其他任何线段的情况下，请你找出一 对全等的三角形，并加以证明.（ ABC与厶A1B1C1全等除外） 14.如图，AB / DE , AC / DF , BE=CF .求证： ABC DEF . M , A

4、C , BE 相交于点 N, / DAB= / EAC .求证: ADM 也 AEN . 16. 将两个大小不同的含 45角的直角三角板如图1所示放置在同一平面内.从图1中抽象出一个几何图形（如图 2） , B、C、E三点在同一条直线上，连接 DC . 求证： ABE ACD . 17. 如图，已知 ABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD=CE ,连接DE并延长至点F,使EF=AE , 连接AF、BE和CF.请在图中找出所有全等的三角形，用符号么”表示，并选择一对加以证明. 18. 如图，已知 / 仁/2, / 3=/4, EC=AD . (1) 求证： ABD EBC . (

5、2) 你可以从中得出哪些结论？请写出两个. C 19. 等边 ABC边长为8, D为AB边上一动点，过点 D作DE丄BC于点E,过点E作EF丄AC于点F. (1) 若AD=2，求AF的长； (2) 求当AD取何值时，DE=EF . 20. 巳知：如图， AB=AC , D、E分别是AB、AC上的点，AD=AE , BE与CD相交于 G. (I )问图中有多少对全等三角形？并将它们写出来. (n)请你选出一对三角形，说明它们全等的理由(根据所选三角形说理难易不同给分，即难的说对给分高，易的 说对给分低) 三角形证明题练习及答案2 21. 已知：如图， AB=DC , AC=BD , AC、BD相

6、交于点 E,过E点作EF/ BC ,交CD于F, (1) 根据给出的条件，可以直接证明哪两个三角形全等？并加以证明. (2) EF平分/ DEC吗？为什么？ 22. 如图，己知 /仁/2, / ABC= / DCB，那么 ABC与厶DCB全等吗？为什么? 23. 如图，B , F, E, D 在一条直线上， AB=CD , / B= / D, BF=DE .试证明: (1) DFC BEA ; (2) AFE CEF . 24. 如图，AC=AE , / BAF= / BGD= / EAC，图中是否存在与 ABE全等的三角形？并证明. 25. 如图，D是厶ABC的边BC的中点，CE / AB

7、, E在AD的延长线上. 试证明： ABD ECD . 26. 如图，已知 AB=CD , / B= / C, AC和BD相交于点 O, E是AD的中点，连接 0E. (1) 求证： A0B D0C ; (2) 求/ AE0的度数. 27. 如图，已知 AB / DE , AB=DE , AF=DC . (1) 求证： ABF DEC ; (2) 请你找出图中还有的其他几对全等三角形. (只要直接写出结果，不要证明) 6 / 29 28 .如图：在厶ABC中，BE、CF分别是 AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取 CG=AB , 连接AD、AG . (1) 求证：

8、 ABD GCA ; (2) 请你确定 ADG的形状，并证明你的结论. 29.如图，点 D、F、E分别在 ABC的三边上, / 1= / 2=7 3, DE=DF，请你说明 ADE CFD 的理由. 30. 如图，在 ABC中，7 ABC=90 BE丄AC于点E,点F在线段 BE上，7 1= 7 2,点D在线段EC上，给出 两个条件：DF / BC ;BF=DF 请你从中选择一个作为条件，证明： AFD AFB . 三角形证明题练习及答案2 求证： BEA BDC . 31. 如图，在 ABC 中，点 D 在 AB 上，点 E 在 BC 上，AB=BC , BD=BE , EA=DC , 32

9、 阅读并填空: 如图，在 ABC中，/ ACB=90 AC=BC , BE丄CE于点E, AD丄CE于点D .请说明 解：/ BE丄CE于点E （已知）， Z E=90, 同理 Z ADC=90 Z E= Z ADC （等量代换）. 在厶ADC中， / Z 1 + Z 2+Z ADC=180 ADC CEB 的理由. Z 1 + Z 2=90 Z ACB=90 （已知）, Z 3+ Z 2=90 ZADC=ZE AC=CB 在厶ADC和 CEB中, S） 33. 已知：如图所示， AB / DE, AB=DE , AF=DC . (1)写出图中你认为全等的三角形(不再添加辅助线) (2)选择你

10、在(1)中写出的全等三角形中的任意一对进行证明. E 7 / 29 三角形证明题练习及答案2 34. 如图，点 E在厶ABC外部，点 D在BC边上，DE交AC于点F,若/仁/ 2= / 3, AC=AE .试说明下列结论 正确的理由： (1) / C= / E; 12 / 29 35 .如图，在 Rt ABC中，/ ACB=90 AC=BC , D是斜边 AB上的一点，AE丄CD于E, BF丄CD交CD的延长 36.如图，在 ABC中，D是BC的中点，DE / CA交AB于E,点P是线段AC上的一动点，连接 PE. 探究：当动点 P运动到AC边上什么位置时， APEEDB ?请你画出图形并证明

11、 APE EDB . 37.已知：如图， AD / BC , AD=BC , E 为 BC 上一点，且 AE=AB . 求证：(1) Z DAE= / B ; (2) ABCEAD . 38 .如图，D为AB边上一点， ABC和厶ECD都是等腰直角三角形, Z ACB= Z DCE=90 CA=CB , CD=CE, 图中有全等三角形吗？指出来并说明理由. 40.如图，已知 D是厶ABC的边BC的中点，过D作两条互相垂直的射线，分别交 AB于E,交AC于F,求证: 41 .如图所示，在 MNP中，H是高MQ与NE的交点，且QN=QM，猜想PM与HN有什么关系？试说明理由. Q 42. 如图，在

12、 ABC中，D是BC的中点，过 D点的直线 GF交AC于F，交AC的平行线 BG于G点，DE丄GF, 交AB于点E,连接EG. (1) 求证：BG=CF ; (2) 请你判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论. 43. 如图，在 ABC 中，/ ACB=90 AC=BC , BE 丄 CE 于 E, AD 丄 CE 于 D , AD=2.5cm , DE=1.7cm，求 BE 的 长. 44. 如图，小明在完成数学作业时，遇到了这样一个问题，AB=CD , BC=AD，请说明：/ A= / C的道理，小明动 手测量了一下，发现 /A确实与/ C相等，但他不能说明其中的道理，你能帮助他说

13、明这个道理吗？试试看. CE丄AD于E, BF丄AD，交AD的延长线于 F.求证：CE=BF . 46.如图，已知 AB / CD , AD / BC , F在DC的延长线上，AM=CF , FM交DA的延长线上于 E.交BC于N,试 说明：AE=CN . 47.已知：如图， ABC中，/ C=90 CM丄AB于M , AT平分/ BAC交CM于D,交BC于T,过D作DE / AB 交BC于E,求证：CT=BE . AC=AE , / BAE= / DAC . / B与/ D相等吗？请你说明理由. 49. D 是 AB 上一点，DF 交 AC 于点 E, DE=EF , AE=CE，求证：AB

14、 / CF. 50. 如图，M是厶ABC的边BC上一点，BE / CF,且BE=CF，求证：AM是厶ABC的中线. 51. 如图，在 ABC中，AC丄BC , AC=BC , D为AB上一点，AF丄CD交于CD的延长线于点 F, BE丄CD于点 E,求证：EF=CF - AF . 52. 如图，在 ABC中，/ BAC=90 AB=AC，若 MN是经过点 A的直线，BD丄MN于D, EC丄MN于E. (1)求证：BD=AE ; (2)若将MN绕点A旋转，使MN与BC相交于点O,其他条件都不变，BD与AE边相等吗？为什么? (3) BD、CE与DE有何关系? ABC 中，AB=AC , BD 和

15、 CE ABC 的高, BD和CE相交于点O.求证: OB=OC . 53.已知：如图, 54.在 ABC中，/ ACB=90 D是AB边的中点，点 F在AC边上，DE与CF平行且相等.试说明 AE=DF的理 55.如图，在 ABC中，D是边BC上一点，AD平分/ BAC，在AB上截取 AE=AC，连接 DE,已知 DE=2cm , BD=3cm，求线段BC的长. 57. 如图 ABC 中，点 D 在 AC 上，E 在 AB 上，且 AB=AC , BC=CD , AD=DE=BE . (1)求证 BCE DCE ; (2)求/ EDC 的度数. BD=2CE . 58. 已知：/ A=90

16、AB=AC , BD 平分/ ABC , CE丄 BD，垂足为 E.求证: 59. 如图，已知： AB=CD , AD=BC，过BD上一点 0的直线分别交 DA、BC的延长线于 E、F. (1) 求证：/ E=Z F; (2) 0E与OF相等吗？若相等请证明，若不相等，需添加什么条件就能证得它们相等？请写出并证明你的想法. 60 .如下图，AD是/ BAC的平分线, DE垂直AB于点E, DF垂直 AC于点F，且BD=DC .求证：BE=CF . 13 / 29 三角形证明题练习及答案2 参考答案: 1. / ABC ADE 且/B 我 E, / C= / E, / B= / D; / BAC

17、=180B - / C=180- 30- 20130 2. / AB / CD , AD / BC, / ABD= / CDB、/ ADB= / CBD . 又 BD=DB , ABD CDB (ASA ). 3. ADF 与厶AEF 中， / / 2= / 3, / AFE= / CFD , / E= / C . / / 1 = / 2, / BAC= / DAE . -AC=AE , ABC ADE . 4. (1) / Z BHD= / AHE , / BDH= / AEH=90 Z DBH+ Z BHD= Z HAE+ Z AHE=90 Z DBH= Z HAE / Z HAE= Z

18、DAC Z DBH= Z DAC ; (2) / AD 丄 BC Z ADB= Z ADC 在厶BDH与厶ADC中, C ZADB=ZADC dBD Zdbh=Zdac BDH ADC . 5. / DE 丄 AB , DF丄 AC , DBE * DCF是直角三角形, / BD=CD , DE=DF , Rt DBE 也 Rt DCF ( HL ), Z B= Z C, AB=AC . 6. / AE是Z BAC的平分线， Z BAE= Z CAE ; 180- Z BAE=180。- Z CAE , 即 Z DAB= Z DAC ; 又 AB=AC , AD=AD , 在 ABD和厶ACD

19、中， AB=AC ZDABZDAC AD=AD ABD ACD (SAS) 7. / AE / BC, / B= / C . / AF=BD , AE=BC , AEF BCD (SAS). 8 ABE与厶ACD全等. 理由：/ AB=AC , / A= / A (公共角)，AE=AD , ABEACD . 9. 图中的全等三角形有： ABD ACD , ABE ACE , BDE CDE . 理由： / D是BC的中点， BD=DC , AB=AC , AD=AD ABD ACD (SSS); / AE=AE , / BAE= / CAE , AB=AC , ABE ACE (SAS); /

20、 BE=CE , BD=DC , DE=DE , BDE 也厶 CDE (SSS). 10. :/ / 仁/2, / ACB= / DCE , 在厶ABC和厶DEC中, C CA=CD ZACBZDCE, BC=EC ABC 也厶 DEC ( SAS) Qfe (SSS). 11增加 AB=DF .在 ABC 和厶 FDE 中，氏二DE ABC FDE bAB=DF (SAS). 12. / AB=AC , BD=CE , AD=AE .又 t / A= / A , ABE ACD 13. CBD也厶CA1F证明如下: / AC=BC , / A= / ABC . - ABC绕点C逆时针旋转角

21、 a ( 0ZCBE I.EL 二 AD ABD EBC (AAS ); (2)从中还可得到 AB=BC , / BAD= / BEC 19. (1) /AB=8 , AD=2 BD=AB - AD=6 在Rt BDE中 / BDE=90。- / B=30 BE=BD=3 2 CE=BC - BE=5 在Rt CFE中 / CEF=90 - / C=30 =5 AF=AC - FC= =; 2 (2)在 BDE和厶EFC中 r ZBED=ZCFE=90 ZBZC, DE=EP BDE CFE ( AAS ) BE=CF BE=CF=EC 2 BEBC=1 BD=2BE= 3 AD=AB - B

22、D= 3 AD= 时，DE=EF 20. (1)图中全等的三角形有四对，分别为： DBG EGC , ADG AEG , ABG ACG , ABE 也 ACD ; (4 分) (II ) / AB=AC , AD=AE , / A 是公共角， ABE ACD ( SAS); / AB=AC , AD=AE , AB - AD=AC - AE，即 BD=CE ; 由得/ B= / C, 又/ / DGB= / EGC (对顶角相等)，BD=CE (已证)， DBG EGC (AAS )； 由得BG=CG，由得/ B= / C, 又 AB=AC , ABG ACG (SAS); 由得BG=CG，

23、且AD=AE , AG为公共边， ADG AEG (SSS); 21 . (1) ABC DCB . 证明：/ AB=CD , AC=BD , BC=CB , ABC DCB . (SSS) (2) EF 平分 / DEC . 理由：/ EF/ BC , / DEF= / EBC, / FEC= / ECB ; 由(1)知：/ EBC= / ECB ; / DEF= / FEC; FE 平分 / DEC 22. ABC DCB . 理由如下：/ Z ABC= / DCB , / 1 = / 2, Z DBC= Z ACB . / BC=CB , ABC 也厶 DCB 23. (1) / BF=

24、DE , BF+EF=DE+EF . 即 BE=DF . 在厶DFC和厶BEA中， rBE=DF (已证) NbZd (已知), AB=CD (已知) DFCBEA (SAS). (2) / DFC也厶 BEA , CF=AE , Z CFD= Z AEB . 在 AFE与厶CEF中， fCFW ZCFD 二 IFB=EF AFE 也厶 CEF ( SAS) 24. ABF 与厶 DFG 中，Z BAF= Z BGD , Z BFA= Z DFG , Z B= Z D , / Z BAF= Z EAC , Z BAE= Z DAC , / AC=AE , / BAE= / DAC , / B=

25、 / D, :, BAE DAC . 答案：有. BAE DAC 25. / CE/ AB , / ABD= / ECD . rZABD=ZECD (已证) 在厶ABD和厶ECD中，BD=CE中点定义) XB=ZBDC (对顶角) ABD ECD (ASA ) 26. ( 1 )证明：在 AOB和厶COD中 rzB=zc / ZA0B=ZD0C amt AOBCOD (AAS ) (2)解：/ AOBCOD , AO=DO / E是AD的中点 OE 丄 AD / AEO=90 27. 1)证明：/ AB / DE , / A= / D . / AB=DE , AF=DC , ABF DEC .

26、 (2)解：全等三角形有： ABC和厶DEF ; CBF和厶FEC 28. 证明：(1) / BE、CF分别是AC、AB两边上的高, / AFC= / AEB=90 (垂直定义), / ACG= / DBA (同角的余角相等)， 又/ BD=CA , AB=GC , ABDGCA ; (2)连接DG,则 ADG是等腰三角形. 证明如下： / ABDGCA , AG=AD , ADG是等腰三角形. 占 29. 解：/ 4+/6=180。-/ 3, / 5+/6=180。-/ 2, / 3= / 2, / 4+ / 6=/ 5+ / 6, / 4= / 5, 在 ADE和厶CFD中， :Z1=Z3

27、 彳 Z4=Z5, ED=FD ADE CFD (AAS ). 30. DF / BC. 证明：/ BE丄AC, / BEC=90 / C+/ CBE=90 / / ABC=90 / ABF+ / CBE=90 / C=/ ABF , / DF / BC , / C=/ ADF , / ABF= / ADF , 在厶AFD和厶AFB中 :Z1=Z2 4 ZABf=ZADF ;AF=AF AFD 也厶 AFB (AAS ). ( AB=CB BE二BD ,故 BEA 也 BDC ( SSS). AE=CD 32. 如图，在 ABC中，/ ACB=90 , AC=BC , BE丄CE于点E , A

28、D丄CE于点D .请说明 ADC CEB的理 由. 解：/ BE丄CE于点E （已知）， / E=90 （垂直的意义）, 同理 / ADC=90 / E= / ADC （等量代换）. 在厶ADC中， / / 1 + / 2+Z ADC=180 （三角形的内角和等于 180, Z 1 + Z 2=90 （等式的性质）. / ACB=90 （已知）, / 3+ / 2=90 /仁/ 3 （同角的余角相等） . ZADC=ZE AC=CB 33. （1） ABF DEC , ABC DEF , BCF EFC; （2分） （2） ABF DEC , 证明：/ AB / DE, Z A= / D ,

29、（3 分） rAB=DE 在厶ABF和厶DEC中ZA=ZD , （ 4分） laf=dc ABF 也厶 DEC . （5 分） 34. （1） ADF 与厶 AEF 中, / Z 2= Z 3, Z AFE= Z CFD , Z C=Z E; （2） / Z 仁Z 2, Z BAC= Z DAE . / AC=AE , 又 Z C=Z E, ABC ADE . 35. / AE 丄 CD, Z AEC=90 Z ACE+ Z CAE=90 （直角三角形两个锐角互余） / Z ACE+ Z BCF=90 Z CAE= Z BCF ,（等角的余角相等） / AE 丄 CD , BF 丄 CD ,

30、Z AEC= Z BFC=90 在厶 ACE 与厶 CBF 中，Z CAE= Z BCF , Z AEC= Z BFC, AC=BC , ACE 也厶 CBF （ AAS ）. 36. 当动点P运动到AC边上中点位置时， APE S EDB , DE / CA , BED s BAC , 竺LL 二， / D是BC的中点， E是AB中点， DE=AC , BE=AE , / DE / AC , / A= / BED , 要使 APE S EDB , 还缺少一个条件 DE=AP，又有DE=2aC , P必须是AC中点. A B D C 37. (1) / AE=AB , / B= / AEB ,

31、 又/ AD / BC, / AEB= / DAE , / DAE= / B ; (2) / / DAE= / B, AD=BC , AE=AB , ABC S EAD . 38. ACE S BCD . ABC和 ECD都是等腰直角三角形， / ECD= / ACB=90 / ACE= / BCD (都是 / ACD 的余角)， 在 ACE和 BCD中， CE=CD ZACE=ZBCD CA=CB ACE S BCD . 39. / Z BAC= / DAE , / BAC+ Z CAD= Z DAE+ Z CAD , 即 / BAD= / EAC , 在厶ABD和 ACE中 Cab=ac

32、ZBAD=ZEAC , I.AE 二 AD ABD ACE . 40. 证明：延长 FD至U M使MD=DF，连接BM , EM . / D为BC中点， BD=DC . / / FDC= / BDM , BDM CDF . BM=FC . / ED 丄 DF , EM=EF. / BE+BM EM , BE+FC EF. 41 . PM=HN . 理由：在 MNP中，H是高 MQ与NE的交点, / MEH= / NQH=90 / MQP= / NQH=90 / MHE= / NHQ (对顶角相等)， / EMH= / QNH (等角的余角相等) 在厶MPQ和 NHQ中， r ZMQP=ZHQH QH=QN , Zphq=Zhnq MPQ NHQ (ASA ), MP=NH . 42. (1) / BG /