抛物线两条切线的统一解法

1、 抛物线两条切线的统一解法 开口向上(或者向下)的抛物线可以看成是二次函数，所 以可以利用导数这个工具求出其切线方程。 有好多题目甚至要求 二条切线，下面把这类问题的解法归类一下。 定理：设 A(x1, y1)、B(x2, y2)是抛物线 x2=2py (pH0) 上的不同两点，过 A、 B 分别作抛物线的切线 l1 ， l2 ，则 l1 ， l2 相交于点P,且点P的坐标为 。 证明如下：t y=, 二y= l1 ： y-y1= ( x-x1 )， l2 ： y-y2= ( x-x2 )作差，得 y2-y仁(x-x1 ) - (x-x2 )即-二(x-x1 ) - (x-x2 ) 得x=,代

2、入11就可以得。 由于这个交点是固定的，又类同于韦达定理，所以称P为抛 物线的两切线的韦达交点。 这类问题的解法是统一的， 应该先求出韦达交点。 下面就应 用方面简单作几点说明。 一、与韦达定理有关的 抛物线的两切线的韦达交点从形式上看， 与韦达定理有密切 联系，所以结合韦达定理使用，不仅丰富了韦达定理的应用，同 时，也加强了学生对韦达定理的理解， 对学习解析几何是有很大 帮助的。 1. 已知抛物线x2=2py (p0),过焦点F的动直线I交抛物 线于A, B两点，抛物线在A, B两点处的切线相交于点 Q求证点 Q在定直线上。 分析：过焦点 F0， 的动直线I交抛物线于A,B两点，二设直线I的

3、方程为y=kx+ 联立 y=kx+ x2=2py 可得 x2-2pkx-p2=0. 设 A( x1 , y1 )、 B( x2, y2), 则 x1+x2=2pk, x1x2=-p2. 抛物线在A, B两点处的切线相交于点 Q联立I1 : y-y1 = ( x-x1 )， I2 ： y-y2= ( x-x2 ) 得点Q的坐标为 ,yQ=-。所以，点Q在定直线=-上。 2. 如图，与抛物线 C1： y=x2 相切于点的直线 I 与抛物线 C2： y=-x2相交于A, B两点.抛物线C2在A, B处的切线相交于点 Q. (I)求证：点Q在抛物线C1上； ()若/ QAB是直角，求实数a的值. 分析

4、：( 1)设直线 I 的方程为： y-a2=2ax-a2 ； 又 y=2ax-a2+ x2=-y 得 x2+2ax-a2=0 点 A (xlyl )、B (x2y2)，点 Q为抛 物线的两切线的韦达交点，所以点 Q的坐标为 =（-a , a2）,显然在抛物线 C1上。 （2） KQA?2a=-1， ?2a=-1 ，再结合韦达定理 x1+x2=-2a， x1x2=-a2 利用方程思想求出 a。 二、与几何位置有关的 经过以上例题的分析， 抛物线的两切线的韦达交点从位置上 看有以下性质： （ 1 ）抛物线的两切线的韦达交点在定直线上时，与之对应 的直线必过对称的定点。 3.过点M（ 2, -2p

5、）作抛物线x2=2py （p0）的两条切线， 切点分别为A、B,若线段AB中点的纵坐标为6,求抛物线的方 程。 分析：由于韦达交点 M（ 2， -2p ）在直线上，所以易证直线 AB过定点（0, 2p） 所以设直线的方程为：y=kx+2p，联立y=kx+2p x2=2py 得 x2-2pkx-4p2=0 设 A（ x1，y1）、B（x2，y2 ）所 以 x1 +x2=2pk，x1 x2=-4p2 ；又由于韦达交点 M（ 2，-2p ） = =（ pk, -2p ）所以 pk=2 y1+y2=12. p2 -3p+2=0 二 p=1 或 p=2 二所求抛物线的方程为x2=2y或x2=4y 2）抛物线的两切线的韦达交点为 ，与之对应的直线AB的中点为 ，故这两点的连线与抛物线的对称轴平行。 抛物线的两切线的韦达交点的性质的挖掘，如果运用得好， 能使我们很快找到问题的答