2三角形辅助线总结及口诀

1、三角形作辅助性方法大全 口诀: 总则：3标注等线和等角，对顶角不要忘，相等边角要避开。 31、等腰三线合；过腰上一点做另腰平行或底平行线。 等腰顶角是腰高和底夹角二倍，等腰三角形一腰延长线和另一腰构建 新等腰三角形，原顶角是新底角的二倍，新底边垂直原底边。 42、求角大小，需构造出有数值的角；两角做比较，连点延边构三 角，大外小内找中介；相等角，等腰、对顶、平行、同余和 同补；给出二倍角，构等腰二倍角变外角，分大扩小也可以。 33、两线做比较，截长补短可求证。特殊角求三边，带平方都要用 直角三角形。三角形内构四边，四边周长小于三角形周长；。 34、角分线，到边距离相等经常用，也可两边截等段；三

2、角形相邻 外交角角分线交点到两边距离相等，三角形内角平分线交予 一点，且到三边距离相等。平行线间角分线的交点一定是中 点（见后） 25、中线，倍长中线、或倍长以中点为端点线利用对顶和相等线段； 16垂分线上点连线段端点有帮助； 3 7、多边变身三角形，延两边、连对角、连顶点； 线， 是be 一、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性 质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 1三线合一例：已知，如图， ABC中，AB = AC , D为BC中点，DE丄AB于E, DF丄AC于F, 求证：DE = DF 证明：连结AD. D为BC中点， BD = CD 又 AB =AC AD 平分

3、/ BAC / DE 丄 AB，DF 丄 AC DE = DF 例：已知，如图， =AF，求证： ABC中，AB = AC，在BA延长线和 AC上各取一点 E、F，使AE EF 丄 BC 2、常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线和底平行线 例：已知，如图，在 ABC中，AB = AC , D在AB上，E在AC延长线上，且 BD = CE , 连结DE交BC于F 求证：DF = EF 证明：（证法一）过 D 作 DN / AE，交 BC 于 N，则/ DNB = / ACB，/ NDE = Z E, / AB = AC , Z B = Z ACB EE Z B = Z DNB BD = DN

4、又 BD = CE DN = EC 在厶DNF和厶ECF中 Z 1 = Z 2 Z NDF = Z E DN = EC DNF ECF DF = EF （证法二）过 E作EM / AB交BC延长线于 M,则Z EMB = Z B （过程略） 引入：如图是一个等边三角形木框 甲虫在边框上爬行（，端点除外）,设甲虫 到另外两边的距离之和为，等边三角形的高为，则与的大小关系是（） A、d h B、d v h C、d = h 9 D、无法确定 三种方法 1.过点P做底边的平行线利用等边三角形三条高相等 2连接B、P,将大三角形转换为两个小三角形，并利用三角形面积公式。 3.考试中规范画图量出答案注意取

5、整值 3、常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形 等边三角形 例：已知，如图， ABC中，AB = AC , / BAC = 80 ,P为形内一点，若/ PBC 10 / PCB = 30 求/ PAB 的度数. 解法一：以AB为一边作等边三角形，连结 CE 则/ BAE = / ABE = 60 AE = AB = BE / AB = AC AE = AC / ABC = / ACB / AEC = / ACE / EAC = / BAC / BAE =80 60 = 20 1 / ACE =(180/ EAC)= 80 2 1 / ACB= 一 (180/ BAC)= 50 2 / BCE

6、= / ACE 上 ACB =80 50 = 30 BC = BC / PCB = / BCE PBC也厶 EBC BP = BE 在厶PBC和厶EBC中 / PBC = / EBC / AB = BE AB = BP / BAP = / BPA / ABP = / ABC -Z PBC = 50。一 10。= 40。 1 Z PAB =(180。/ ABP)= 70。 2 解法二：以AC为一边作等边三角形，证法同一。 解法三：以BC为一边作等边三角形 BCE，连结AE,则 EB = EC = BC，/ BEC = / EBC = 60。 / EB = EC E E在BC的中垂线上 同理A在B

7、C的中垂线上 EA所在的直线是BC的中垂线 EA 丄 BC 1 / AEB = - / BEC = 30 0 = / PCB 2 由解法一知：Z ABC = 50 0 ABE = Z EBC-Z ABC = 10。= Z PBC Z ABE = Z PBC,BE = BC, Z AEB = Z PCB ABE PBC AB = BP Z BAP = Z BPA vZ ABP = Z ABC -Z PBC = 50o- 10o = 40。 11 Z PAB = (180o-Z ABP) = - (180o-40。)= 70。 22 二、角比较 1、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角

8、的不等关系时，如果直接 证不出来，可连结两点或延长某边， 构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上, 小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知 DABC内任一点，求证：Z BDC Z BAC 证法（一）：延长BD交AC于E, vZ BDC EDC 的外角， Z BDC Z DEC 同理：Z DEC Z BAC Z BDC Z BAC 证法（二）：连结AD，并延长交BC于F vZ BDF是厶ABD的外角， Z BDF Z BAD 同理Z CDF Z CAD Z BDF +Z CDFZ BAD +Z CAD 即：Z BDC Z BAC 1有二倍角时常用的辅助线 构造等腰三角形使

9、二倍角是等腰三角形的顶角的外角 例：已知，如图，在 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2 / C, 求证：AB + BD = AC 证明：延长AB至U E，使 BE = BD，连结DE 则/ BED = / BDE / ABD = / E+Z BDE / ABC =2 / E / ABC = 2 / C Z E=/C 在厶AED和厶ACD中 / E = / C / 1 = / 2 AD = AD AED ACD AC = AE / AE = AB + BE AC = AB + BE 即 AB + BD = AC 平分二倍角 例：已知，如图，在 ABC中，BD丄AC于D , / B

10、AC = 2 / DBC 求证：Z ABC = / ACB 证明：作Z BAC的平分线 AE交BC于E,则Z BAE = Z CAE = Z DBC / BD 丄 AC Z CBD +Z C = 90 Z CAE +Z C= 90 vZ AEC= 180 Z CAE-Z C= 90 AE 丄 BC Z ABC +Z BAE = 90 vZ CAE +Z C= 90 Z BAE = Z CAE Z ABC = Z ACB 例：已知，如图，AB = AC , BD丄AC于D, 求证：Z BAC = 2 Z DBC 1 证明：（方法一）作Z BAC的平分线 AE，交BC于E,则Z 1 = Z 2 =

11、 Z BAC 2 又 v AB = AC AE 丄 BC Z 2 +Z ACB = 90 BD 丄 AC Z DBC + Z ACB = 90 Z 2 = Z DBC Z BAC = 2 Z DBC （方法二）过 A作AE丄BC于E （过程略） （方法三）取 BC中点E,连结AE （过程略） 加倍小角 例：已知，如图，在 ABC中，BD丄AC于D，/ BAC = 2 / DBC 求证：/ ABC = / ACB 证明：作/ FBD = / DBC,BF交AC于F （过程略） 三、两线做比较 1截长补短作辅助线的方法 截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段； 补短法：延长较短线段和较长线

12、段相等 这两种方法统称截长补短法 当已知或求证中涉及到线段 a、b、c、d有下列情况之一时用此种方法: a b a d = c a d = c 例：已知，如图，在 ABC中，AB AC，/ 1 = / 2, P为AD上任一点, 求证：AB AC PB PC 证明：截长法： 在AB上截取AN = AC，连结PN 在厶APN和厶APC中， AN = AC / 1 = / 2 AP = AP APN APC PC = PN / BPN 中有 PB PCv BN PB PCv AB AC 补短法： 延长AC至M，使AM = AB，连结PM 在厶ABP和厶AMP中 M AB = AM / 1 = / 2

13、 AP = AP ABP AMP PB = PM 又在 PCM 中有 CM PM PC AB AC PB PC 2、利用三角形三边关系。n 已知，如圏氛 0、E为A ABC內两点*求证：AB+AOBD+DE+CE. 3、当涉及到线段平方的关系式时常构造直角三角形，利用勾股定理证题 例：已知，如图，在 ABC中，/ A = 90。，DE为BC的垂直平分线 求证：BE2AE2 = AC2 证明：连结 CE,贝U BE = CE / A = 90o AE2+ AC2 = EC2 AE2+ AC2= BE2 BE2 AE2 = AC2 练习：已知，如图，在 ABC中，/ BAC = 90 o, AB

14、= AC , P为BC上一点 求证：PB2+ PC2= 2PA2 10 4条件中出现特殊角时常作高把特殊角放在直角三角形中 例：已知，如图，在 ABC 中，/ B = 45。，/ C = 30, AB = .2，求 AC 的长. 解：过A作AD丄BC于D / B + / BAD = 90 , / B = 45,/ B = / BAD = 45 , AD = BD AB2 = AD2+ BD2, AB = .2 AD = 1 / C = 30, AD 丄 BC AC = 2AD = 2 四、角平分线 1、有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形 例：已知，如图， AD ABC的中线且

15、/ 1 = / 2, / 3 = / 4, 求证：BE + CF EF =DC 证明：在 DA上截取DN = DB，连结NE、NF，贝U DN 在厶BDE和厶NDE中， DN = DB / 1 = / 2 ED = ED BDE NDE BE = NE 同理可证：CF = NF 在厶 EFN 中，EN + FN EF BE + CF EF 2、可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换 中的 对折”所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 例 已知，如图， AC 平分/ BAD , CD=CB , ABAD。求证：/ B+ / ADC=180 。 12 有角平

16、分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两边距离 相等证题 例：已知，如图，/ 1 = / 2 , P为BN上一点，且 PD丄BC于D, AB + BC = 2BD , 求证：/ BAP + Z BCP = 180。 证明：过P作PE丄BA于E / PD丄 BC,/ 1 = / 2 PE = PD 在 Rt BPE 和 Rt BPD 中 BP = BP PE = PD Rt BPE 也 Rt BPD BE = BD AB + BC = 2BD , BC = CD + BD , AB AE = CD BE AE N / PE 丄 BE, PD 丄 BC / PEB = /

17、 PDC = 90。 在厶PEA和厶PDC中 PE = PD / PEB = / PDC AE =CD PEA PDC / PCB = / EAP / BAP +Z EAP = 180。 / BAP +Z BCP = 180。 练习：1已知，如图，PA、PC分别是 ABC夕卜角/ MAC与/ NCA的平分线，它们交于 P, PD丄BM于M ， PF丄BN于F，求证：BP为/ MBN的平分线 2. 已知，如图，在 ABC 中，/ ABC =100。，/ ACB = 20。，CE 是/ ACB 的平分线, D是AC上一点，若/ CBD = 20。，求/ CED的度数。 解：/ ACB=20，/ C

18、BD=20 , BD=CD , 又 BD=ED , ED=CD , / CED= / DCE , / CE 平分/ ACB , / CED= / DCE=10 五、中线 1、有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形 例：已知，如图， AD ABC的中线，且/ 1 = / 2，/ 3 = / 4,求证：BE + CFEF 证明：延长 ED至U M，使DM = DE，连结 CM、FM BDE和厶CDM 中， BD = CD / 1 = / 5 ED = MD BDE CDM CM = BE 又/ 1 = / 2，/ 3 = / 4 / 1 + Z 2 +Z 3 + / 4 = 1

19、80 / 3 +Z 2 = 90 M 即/ EDF = 90 / FDM = / EDF = 90 EDF和厶MDF中 ED = MD / FDM = / EDF DF = DF EDF MDF EF = MF 在 CMF 中，CF+ CM MF BE + CF EF （此题也可加倍 FD，证法同上） 2、在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形. 例：已知，如图， AD ABC的中线，求证： AB + AC 2AD 证明：延长AD至E，使DE = AD，连结BE / ADABC的中线 BD = CD 在厶ACD和厶EBD中 BD = CD / 1 = / 2 AD = ED ACD

20、EBD / ABE 中有 AB + BE AE AB + AC 2AD 3、.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等 例：AD ABC的中线，且 CF丄AD于F, BE丄AD的延长线于 E 13 求证：BE = CF 证明：（略） C 4有中点时常构造垂直平分线 . 例：已知，如图，在 ABC 中，BC = 2AB, / ABC = 2 / C,BD = CD 求证： ABC为直角三角形 证明：过 D作DE丄BC,交AC于E,连结 BE,贝U BE = CE , / C = / EBC / ABC = 2 / C / ABE = / EBC / BC = 2AB , BD = CD

21、 BD = AB 在厶ABE和厶DBE中 AB = BD / ABE = / EBC BE = BE 六、高 / BDE = 90 0 / BAE = 90 0 即厶ABC为直角三角形 1有垂直时常构造垂直平分线. 例：已知，如图，在 ABC中，/ B =2 / C, AD丄BC于D 求证：CD = AB + BD 证明：（一）在 CD上截取 DE = DB，连结 AE，贝U AB = AE / B =/ AEB / B =2 / C / AEB = 2 / C 又/ AEB = / C+Z EAC / C =Z EAC AE = CE 又 CD = DE + CE CD = :BD + AB （二）延长 CB至U F，使DF = DC，连 17 结AF则AF =AC （过程略） 2有垂直平分线时常把垂直平分线上的点与线段两端点连结起来 例：已知，如图， ABC中，AB = AC，/ BAC = 120。，EF为AB的垂直平分线， EF交 C BC于F，交AB于E 1 求证：BF = FC 2 证明：连结AF , 则 AF = BF 1