(完整word版)数值分析作业-三次样条插值..

1、数值计算方法作业 实验名称 实验4.3三次样条插值函数 (P126) 4.5三次样条插值函数的收敛性 (P127) 实验时间 姓名 班级 学号 成绩 实验4.3三次样条差值函数 实验目的： 掌握三次样条插值函数的三弯矩方法 实验函数： x 0.0 0.1 F(x) 0.5000 0.5398 0.2 0.3 0.4 0.5793 0.6179 0.7554 求f(0.13)和f(0.36)的近似值 实验内容: (1) 编程实现求三次样条插值函数的算法，分别考虑不同的边界条件； (2) 计算各插值节点的弯矩值； (3) 在同一坐标系中绘制函数f(x)，插值多项式，三次样条插值多项式的曲线 比较插

2、值结果。 实验4.5三次样条差值函数的收敛性 实验目的： 多项式插值不一定是收敛的，即插值的节点多，效果不一定好。对三次样条插值 函数如何呢？理论上证明三次样条插值函数的收敛性是比较困难的， 通过本实验 可以证明这一理论结果。 实验内容： 按照一定的规则分别选择等距或非等距的插值节点，并不断增加插值节点的个 数。 实验要求： (1) 随着节点个数的增加，比较被逼近函数和三样条插值函数的误差变化情 况，分析所得结果并与拉格朗日插值多项式比较； (2) 三次样条插值函数的思想最早产生于工业部门。 作为工业应用的例子，考 虑如下例子：某汽车制造商根据三次样条插值函数设计车门曲线， 其中一 段数据如下

3、： Xk 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 yk 0.0 0.79 1.53 2.19 2.71 3.03 3.27 2.89 3.06 3.19 3.29 yk 0.8 0.2 算法描述: 拉格朗日插值： 错误！未找到引用源。 n (x _ X ) 其中错误！未找到引用源。是拉格朗日基函数，其表达式为：h(x) j=0 (xi - Xj ) 牛顿插值： Nn(x) =f (Xg)fXo,Xi(X -xO) fXo,Xi,X2(X - xO)(x - Xi) fX,Xi,X2,.Xn(X -X)(X -Xi).(X -Xn J) f Xi , Xj f (Xi) - f (Xj)

4、Xi -Xj f Xi , Xj ,Xk= 其中*. fXj,Xk - fK ,Xj Xk -Xi fXg,Xi.Xn =(fXi,X2,.Xn - f X。，为，.人)/(X. - Xg ) 三样条插值: 所谓三次样条插值多项式Sn(x)是一种分段函数，它在节点 Xi(aX0X1Xn=j 丫(i)=(丫(i)-Y(i-1)/(X(i)-X(i-j+1); else Y(i)=0; end end n ewt=n ewt,Y; end % 计算牛顿插值 f=n ewt(1,2); for i=2: n z=1; for k=1:i-1 z=(xi-X(k)*z; end f=f+n ewt(i

5、-1,i)*z; end fpri ntf( %dn,f) return 3三次样条插值第一类边界条件 Threch.m fun cti onS=Threch1(X,Y,dyO,dy n,xi) %X为已知数据的横坐标 %Y为已知数据的纵坐标 %xi插值点处的横坐标 %S求得的三次样条插值函数的值 %dy0左端点处的一阶导数 % dyn右端点处的一阶导数 n=le ngth(X)-1; d=zeros (n+1,1); h=zeros(1, n-1); f1=zeros(1, n-1); f2=zeros(1, n-2); for i=1:n%求函数的一阶差商 h(i)=X(i+1)-X(i)

6、; f1(i)=(Y(i+1)-Y(i)/h(i); end for i=2: n%求函数的二阶差商 f2(i)=(f1(i)-f1(i-1)/(X(i+1)-X(i-1); d(i)=6*f2(i); end d(1)=6*(f1-dyO)/h(1); d(n+1)=6*(dy n-f1(n-1)/h( n-1);%?赋初值 A=zeros( n+1, n+1); B=zeros(1, n-1); C=zeros(1, n-1); for i=1: n-1 B(i)=h(i)/(h(i)+h(i+1); C(i)=1-B(i); end A(1,2)=1; A(n+1, n)=1; for

7、i=1: n+1 A(i,i)=2; end for i=2: n A(i,i-1)=B(i-1); A(i,i+1)=C(i-1); end M=Ad; syms x; for i=1: n Sx(i)=collect(Y(i)+(f1(i)-(M(i)/3+M(i+1)/6)*h(i)*(x-X(i) +M(i)/2*(x-X(i)A2+(M(i+1)-M(i)/(6*h(i)*(x-X(i)A3); digits ； Sx(i)=vpa(Sx(i);%三样条插值函数表达式 end for i=1: n disp( S(x)=)； fprintf( %s (%d,%d)n,char(Sx(

8、i),X(i),X(i+1); end for i=1: n if xi=X(i)& xi=X(i)& xi S = -5 1 4T- 1 O, 93*k3-i-4, 0 IE 冰x 2一” 1 ” OOOOOOe-OO i 2” ODOOOOe-OO 1 ) S g = .1 O93-I-39. 68*k326. 392-1-6. OilO*K2. OOOOOOe-OO Ij. 3 OCQDOOe-00 1 ) 3= 2. 4 7 6-4?. 93*h 3+S2. 4.6 2-1 7. til*K 3. OO UDO Oe-OO1, 4. ODOOOUe-UO 1 J xi S 1. 30a

9、O0Oe-OOlF 5. S31403e-0Ol 三样条第二榮边界峯f牛插直半吉果 S = .5Q00-I-. 380 丘764*3： 3(O, 1. OOOOOOs-OOl J S S = ,5 10 8-9, O7O + k*3+3. 247*sc 2-t-. 5S73e-l*x 2 = .I 6fi3-r33, 93*x 3-22. 55*c 2-5. 21 5j：x S 1. SOOOOOe-OOl, O 5. 5302 1 2 口Olj. Xi=0.36 时 拉搭翎曰栖值绪弟 T. 1 693S3e-OO1 三样毎第一粪边界号件插値细果 .5Q-* dODO*K. 3E9B*3E Z

10、-I-3. 09S*h(Dj 1* OOOOOOeOO1 S (k = “ 514 710. 99*3e 3-Hlx 0 13*21 2. 4O7Se- 1( 1* OOOOODeOO 1, 2- OOODOOeOO 1 3 (x = .109 3-1-39. 60*m： *3-26. 39+x 2+6. O40*x2. 0OOOOOer-OO 1, 3. OOOOOOer-OO 1 ) 2. 475-4T. 933+52. 46*x 2- 1 7. 61*k3, OOOOOe-OO 1 a 4, OOOOOOt-OO I ) m S 号” 0OQQOOe-OQ t6t 90-sl23O-QQ I 三彳羊朵 弟 二粪边界祭俏插T亘细乐 -巧QOCH” 38n5*zH-1 . 7 5*x 3 “ 1663-1-33. S3*ie 322. SS*3t 2-1-5. 2 12. 0 OOOOe-O 13. OOOOOOe-OO 1 ) 1. 807-26. 84*x 3-1-32. 14*x*2-l 1 . 1 9*x |