关于权证定价修正模型的比较研究

1、关于权证定价修正模型的比较研究-基于交易成本和股息分红因素的分析框架潘涛1 邢铁英2（1北京大学经济学院博士后流动站，北京 100871；2武汉大学商学院，湖北 武汉 430072）摘要：在我国股权分置改革中，权证推动了证券市场的金融创新。鉴于权证定价可以借鉴期权理论，国外b-s模型对我国权证市场的创新和风险管理具有一定的参考意义。本文采用b-s定价模型定价宝钢认购权证和长电认购权证，分别从交易成本和股息分红的角度进行了相应的模型调整，以改进、完善适应我国权证市场的定价方法。关键词： b-s模型；权证定价模型；资产定价作者简介：潘涛，北京大学经济学院博士后流动站金融学博士后研究员，研究方向：金

2、融风险管理。邢铁英，女，武汉大学商学院博士生。中图分类号：f830.9 文献标识码：a引言目前，权证产品已经成为世界上继股票和债券以外的第三大单一金融交易产品。权证(warrant),一般是指发行人与持有者之间的一种契约,权证持有人在约定的时间有权以约定的价格买入或卖出一定数量的标的资产。标的资产可以是个股,也可以是一篮子股票、指数、商品或其他衍生产品。权证是和期权类似的金融衍生品，其价值由标的资产价值派生而来。随着2005年以来股权分置改革的深入进行，包括宝钢、长江电力等上市公司相继推出了包含赠送权证的对价方案，2006年中国的权证市场成为全球的后起之秀。权证的推出提高了流通股股东获得的对价

3、水平，也为投资者提供了锁定投资风险的投资方式。期权和权证这两种金融工具从本质上讲是相同的，所以权证定价可以借鉴期权相关理论。权证赋予所有人定期购买或卖出标的资产的权利而非义务，与期权有类似的风险收益结构。现代期权定价理论的最新革命始于1973 年，fischer black 和myron scholes(1973)发表了期权定价和公司财务，在一系列严格的假设条件下，通过严密的数学推导和论证，提出了black-scholes 模型(以下简称b-s模型)的期权定价模型。b-s模型受到其假设的限制，存在一定的缺陷，并且对于认股权证来说，它无法计算股票分红对权证价格的影响。b-s模型中，假设标的股票价

4、格服从几何布朗运动，且其波动率是一个常数。在无套利的条件下，利用动态复制（dynamic replication）的方法，推导出基于不付红利股票的欧式看涨期权价格必须满足的微分方程。通过解此微分方程，得出欧式看涨期权价格的显式解。在实际的运用中，由于b-s模型拥有严密的逻辑、优美的形式、较少涉及的变量、计算的相对简便等优点，目前已经被作为定价工具，广泛使用于国外权证市场的实证中。同时由于b-s模型假设权证是欧式的，这一点和目前国内发行的大多数权证（除少数百慕大式权证之外）的条款一致，所以这个公式已经被国内各个研究机构广泛运用。本文将结合国内的权证市场，对b-s模型的应用进行一系列的比较分析，力

5、求找出适应我国的b-s模型和定价修正方法。这对我国权证市场的发展规范和风险防范具有一定的参考意义。本文将在b-s经典模型的基础之上，结合现实的中国证券市场，分别从交易成本和股息分红的角度，对b-s模型涉及的变量和公式进行修正，从而得到更加接近权证理论价值的结果。同时，为避免波动度微笑的问题，本文分析的权证将不包括深度价外的权证。基于经典b-s模型对国内权证定价本文在潘涛、邢铁英（2006）关于我国权证定价方法的实证研究：基于经典b-s模型及其定价修正模型的分析框架学术论文基础上，为方便后文的两个定价修正模型的比较分析，特简化引用了原文中基于b-s模型的国内权证定价的部分，原推导过程省略。一、经

6、典b-s模型国内实证的数据说明先计算不考虑分红以及股权稀释情况的b-s模型权证定价，并对不同的权证条款对权证的影响进行分析。使用该模型时，沿用b-s模型的假设条件。选择长江电力股票（上海交易所代码600900）、长江电力认购权证（上海交易所代码580007）和宝钢股份（上海交易所代码600019）和宝钢认购权证（上海交易所代码580000）作为样本分析。模型采用的数据说明如下：s-标的股票的现行市场价格：宝钢股份（600019）的市场价格区间为4.30元到5.30元；长江电力（600900）的价格区间为6.6元到8.20元； x-期权的执行价格：根据权证的发行条款，宝钢股份（600019）的执

7、行价格为5.5元，长江电力（600900）的执行价格为5.5元；t-t-距离到期日的时间，宝钢股份（600019）距离到期日的时间为（387/365）1.0356年，长江电力（600900）距离到期日的时间为1.5年；-股票价格的标准差也就是波动率，宝钢股份（600019）的波动率为30.17%，长江电力（600900）的波动率为24.24%。r-无风险利率采用短期利率半年期存款利率2.25%，连续复利计算。二、经典b-s模型国内实证的结论我们选取宝钢权证和长江电力权证作为分析样本，其权证条款如表1所示：表1：宝钢权证和长江电力权证条款发行人权证类型发行期限发行份额（亿份）执行价格（元）行权比

8、率结算方式长江电力欧式认购18个月12.285.51股票给付宝钢股份欧式认购378天3.8774.51股票给付利用的b-s模型进行分析，模型的计算结果如表2所示：表2：宝钢/长电权证b-s模型定价数据宝钢股价4.304.404.504.604.704.804.905.105.205.30权证价格0.4320.48250.53580.59200.65080.71220.77600.91070.98131.0539长电股价6.606.806.907.007.207.407.607.808.008.20权证价格1.741.741.741.81871.98562.15622.32992.50652.6

9、8542.8664这里要注意到不同的权证因为发行人的不同以及条款的不同是有较大区别的。和宝钢认购权证不同，由于长电权证设立了回售条款，当期权价值底于1.8元时，将取1.8元的贴现值1.74作为权证的价格。因此长电权证的期权实际上是一个具有保底价值的奇异期权。经典b-s模型的定价修正之一：考虑交易成本以后的h-w-w模型一、h-w-w模型综述在这个修正的计算中，我们的其他假设条件与前面相同，但是增加了交易成本的估计，因此，我们对波动率进行了调整。考虑交易成本的模型最早由leland(1985)给出，它是一个基于b-s模型的存在交易成本条件下的避险策略，是在调整波动率的基础之上的。leland了提

10、出采用一种修正的波动率来解决交易成本带来的避险误差问题。其基本思想是：在连续时间的b-s模型框架下，假设在给定的时间间隔进行避险调整，通过在波动率中加入包含交易成本因素的项，使得波动率的增加导致的期权价格的增加恰好能抵消交易成本，从而对b-s公式进行修正。基于leland的模型，hoggard、whalley和wilmott于1992年提出了考虑交易成本的定价模型（简称h-w-w模型），这个模型是比较完善的交易成本模型，该模型也是金融衍生工具中最早的非线性模型之一。1h-w-w模型基本思路h-w-w模型仍然采用b-s微分方程时的无套利均衡分析思路，采用无收益资产的欧式期权组合为代表来分析，但是

11、现在的整个组合价值修正为原来的价值减去交易成本，而这个交易成本的计算则根据事先确定的保值调整策略和交易成本结构进行，由此得到一个新的非线性偏微分方程，即考虑了交易成本之后的期权定价微分方程。2h-w-w模型基本假定h-w-w模型的主要假定基本和推导b-s微分方程的假设相同，主要变量符号也不变，只是做了如下修正：所投资的不是单个期权，而是欧式期权的组合；事先确定投资组合的调整策略；调整按规定的每隔一个固定的很短的时间长度进行再一次平衡； 调整整个投资组合存在交易成本，假设如下：买卖资产时的交易成本与所交易的资产价格成正比，即买卖n股（买入时n0,卖出时n0，相反，期权的空方0，h-w-w方程实际

12、上是一个以 为波动率的b-s公式。对于单个期权空头，由于0，即的波动率公式，这主要是基于以下的考虑：首先，在实际的运用中，我们更多把公式用于计算券商创设和上市公司发行权证时的定价，对与券商来说，无论是发行或者创设认购及认沽权证，是发行人向市场卖出权证，都是权证的空头，因此对于合约的空头来说0。其次，根据h-w-w摸模型，对于认购权证来说，当股票价格上升，交易量的上升使买卖a股的交易成本也上升，因此投资者会卖出股票而持有权证的多头头寸，而在实际的交易中，我们看到权证每日的交易是很频繁的，投资者不可能长期持有权证而不卖出，所以我们假设者投资者无论在什么市场情况下更倾向与交易，当投资者要卖出权证时，

13、我们也需要分析这个空头头寸的价值。二、基于h-w-w模型的国内权证修正定价1.h-w-w模型国内实证的数据说明（1）h-w-w计算中关于长江电力股票（上海交易所代码600900）、长江电力认购权证（上海交易所代码580007）和宝钢股份（上海交易所代码600019）和宝钢认购权证（上海交易所代码580000）的数据样本、时间以及b-s模型的参数同本文b-s模型国内实证的数据说明。（2）交易手续费。目前上海交易所和深圳交易所规定股票的交易佣金不超过交易金额的0.3%，单笔最低不少于5元。在实际的执行过程中，各个证券公司收取的比例不尽相同，在权证推出的初期，各个证券公司坚持收取最高的的佣金标准，使

14、得很多证券公司的每天权证交易收入快速上升，甚至已超过股票交易收入贡献。而在后期，随着很多大客户集中的交易量上升，这一比例也有所浮动。总体看来，权证交易的手续费无论是对证券公司还是两大交易所，都是重要的利润贡献。本文在计算的过程中选用0.3%的最高标准来计算。（3）波动率。本模型仍采用固定波动度计算。2、h-w-w修正后实证计算的结论按交易手续费为成交金额的0.3%，代入公式：计算出两个权证的系数k分别是：宝钢权证：k=0.011；长电权证： k = 0.06；把k代入公式：调整以后的波动率分别为：宝钢权证的波动率30.69%，长电权证的波动率27.09%。调整了波动率以后计算得到的权证价格见表

15、3。表3 调整波动率以后b-s模型计算的宝钢/长电权证价格宝钢股价4.304.44.54.64.74.84.95.05.15.25.3权证价格0.44090.49150.5450.60120.660.72140.78520.85140.91970.99021.0626长电股价6.66.87.07.27.47.67.88.08.28.4权证价格1.741.741.741.87652.03982.20672.37682.54972.72512.9028根据以上实证分析，小结如下：1.和经典的b-s模型计算相比，我们发现考虑交易费用以后，权证的波动率有所上升，因此计算出来的权证的期权价值比未考虑交易

16、手续费以后的要更高。以宝钢权证的估值为例，当考虑了交易成本以后，计算出来的价格比未考虑到交易成本的价格要高约1%；而以长电权证为例，当考虑了交易成本以后，计算出来的价格比未考虑到交易成本的价格要高约1.4%。这说明和前一种计算方法相比，如果不考虑到交易费用，计算出权证的价格将有一定程度的低估；并且权证的执行价格约高，这个影响的程度也就越大。2.根据简化推导的系数k的公式，k和交易手续费r成正比，也就是说当交易成本越高越高，期权的理论价值就越高，当交易成本越高，不考虑交易成本计算出来的权证价值低估程度也越大。3.同时，我们利用根据波动率差推导计算出的交易成本，然后用来计算出修正的波动率值和原来的

17、波动率并没有出现明显的偏离，这也证实了该计算方法的合理性。4根据h-w-w模型，我们上面考虑的是持有认购权证空头的情况，该定价更适合与权证的发行人，根据模型，当市场在牛市中运行，而投资者又坚持持有认购权证的情况下，权证的定价将比b-s模型的价格要低。经典b-s模型的定价修正至二：考虑股息分红以后的模型公式一、考虑分红后修正后的b-s模型在经典的b-s模型中，并没有考虑到股票分红的因素，实际上股票的分红对权证的价格影响非常大。在考虑分红后修正后的计算中，我们的其他假设条件与前面相同，但是对b-s公式作了修正。我们取消股票分红的假设，考虑到b-s公式的计算特点，我们不考虑股票分红以后对股票价格波动

18、率的“跳跃”的影响，同时，我们也不调整股票的执行价格。如果假设股票的分红率为q的话，认股权证的b-s定价公式修正为： 其中，n=-r(t-t)；r-无风险利率；t-t 剩余期限。上面的修正方法依然采用了连续复利的计算，在实际运算中十分简单有效，我们可以把s代表，x代表 ，这样修正以后的b-s定价公式为：在上面的一个公式中，我们修正了两个因素，一是考虑了对应正股的分红比率，二是考虑了执行价格的利率影响。我们只要把修正以后的s和 x代入模型计算就能直接算出权证的价格。二、基于分红修正后的b-s模型国内权证实证定价1分红修正后的b-s模型数据说明（1）长江电力股票（上海交易所代码600900）、长江

19、电力认购权证（上海交易所代码580007）和宝钢股份（上海交易所代码600019）和宝钢认购权证（上海交易所代码580000）的数据样本、时间以及b-s模型的参数同本文b-s模型国内实证的数据说明。（2）股票分红率。根据宝钢股份和长江电力历年的分红情况，2004年宝钢股份每10股分红2.56元（税后），按最近的一周均价4.67计算的分红率为5.48%，2004年长江电力每10股分红0.168元（税后），按最近一周长江电力均价6.8元计算的分红率为2.47%。2分红修正后的b-s模型实证结论把宝钢股份和长江电力的股票分红率代入修正后的b-s模型，可以计算出调整以后的x分别为5.31元和4.39元

20、，计算过程如下：；。根据以上考虑到股票分红的因素，把调整以后的执行价格代入b-s模型计算前面两个权证的价格，得到如下结果（表4）。表4 考虑股票分红以后的b-s模型计算的宝钢/长电权证价格宝刚股价s4.34.44.54.64.74.84.955.15.2s4.074.174.264.354.454.544.644.734.834.92权证价格0.36260.40930.45400.50110.55610.60800.66830.74270.78980.8503长电股价s6.66.877.27.47.67.888.2s6.466.666.857.057.247.447.647.838.03权证价

21、格1.741.741.741.83781.99822.17042.34582.51482.6949把考虑到股票分红的因素定价修正以后的结果与经典的b-s定价模型的结果进行比较，如图1-图2。图1 宝钢权证b-s定价修正前(后)比较图2 长电权证b-s定价修正前(后)比较根据以上实证分析，对考虑到股票分红的因素定价修正以后的结果与经典的b-s定价模型的结果进行比较分析如下：在上面的一个模型中，我们上修正了两个因素，即考虑了对应正股的分红比率和执行价格的利率影响，以上两个因素是相互影响的。首先执行价格调整以后，权证的执行价格比未调整过的执行价格要小，对认购权证来说，执行价格的降低将使权证的价值上升

22、，因此曲线将向上移动；其次，分红率的加入将降低对应股票的价格，使认购权证的价值下降，因此曲线将向下移动。最后曲线的变化是两个因素相互作用的结果。由于各个权证分红率的差异，以上两个权证的曲线变化是不一样的。我们发现宝钢权证的曲线修正以后是向下移动，而且两个权证的价格差异比较大，随着股票价格的逐渐上升，计算出来的权证估值分别下降了15%-19%；而长电权证的曲线是向上移动，而且曲线的差异非常小，随着股票价格的逐渐上升，计算出来的权证估值分别上升了1%-0.3%。这是因为宝钢的权证分红率比长电权证的分红率要高很多，因此，对宝钢权证来说，曲线向下的幅度大于向上的幅度，因此最后曲线整体向下移动。而长电权

23、证的分红率较低，所以曲线向上的移动幅度大于向下的移动幅度。最后曲线向上移动，但是相互抵消以后变化的幅度很小。从上面的比较,我们可以得出如下结论：1.从两个权证的价格变化我们可以看出分红率对权证价格估计的影响。股票分红会降低权证的价值，当分红率越大，影响权证价值的变化也越大。对一个分红率较高的权证来说，如果不考虑该因素，利用b-s模型计算的权证价值将会使权证的价值高估；对分红率很小的权证来说，分红对权证的影响较小，为简化计算，对很小的分红率的正股，可以不考虑分红率直接计算权证价格。2.我们还得到另外一个结论，也就是无风险收益率对欧式权证的影响。由于欧式权证是到期执行的，因此当无风险收益率越高，权

24、证的期限越长，权证的价值也就越高。反之，当期限越短，无风险收益率越低，权证的价值也越小。当市场的无风险收益率很高，权证的期限较长的权证来说，不考虑无风险收益率，直接用b-s模型计算，将使权证的价值低估。我们以宝钢权证为例，计算考虑股息以后的delta价值。发现计算显示考虑股息以后，权证的delta值上升了，显示考虑了分红率以后权证价格对正股价格的敏感性增加。具体情况如表5所示：表5 考虑股息以后宝钢权证的的delta值名称股票价格delta考虑股息后的delta宝钢权证4.30.53380.56434.40.56210.59364.50.59070.62174.60.61830.64864.7

25、0.64470.67424.80.66990.69854.90.69380.72155.00.71650.74325.10.73800.76355.20.75810.78265.30.77810.8004实证模型结果与市场最终定价的比较三种模型的实证分析结果与我国权证市场的最终定价结果比较如表6所示。表6 各种模型定价区间与市场定价的比较模型宝钢权证价格区间（4.3-5.2）长电权证价格区间（6.6-8.2）b-s模型0.4320-1.05391.74-2.8664考虑交易成本的b-s模型0.4409-1.06261.74-2.9628考虑股息以后的b-s模型0.3626-0.85031.74

26、-2.6949上市初期的市场价格波动区间1.00-1.503.10-4.30上市3个月后的市场价格区间0.53-1.042.44-3.00 根据以上实证计算的结果和交易所实际成交的价格相比可以发现两个特点：首先，在两只权证的上市初期，尽管三个模型之间存在着差异，但是市场的定价区间远远高于三个模型计算出来的价格区间。特别是宝钢权证，1.0元-1.50元的价格区间比模型计算出来的价格区间要高1.5-3.0倍。同样的，长江电力权证也存在着过高的市场定价。其次，在两只权证上市三个月后，权证的价格区间明显下降，并靠近理论价格。由于两只权证的存续期都比较长，所以权证价格区间的下降和权证的存续期间的相关性并

27、不显著。从香港的权证市场情况来看，权证的时间价值损耗和权证的存续时间并不是成正比的，随着权证期间的存续，时间价值的损耗在临近到期日的期间和刚开始上市的期间内有一个加速损耗的过程。而我们选择的上市3个月后则是相对稳定的期间，这个期间的权证定价并没有因为存续期的缩短而大幅度下降。所以在这个期间可以看到虽然两只权证仍存在一定的过高定价，但是高估的程度降低了。从上面的特点可以看出实证的结果在权证上市初期和市场的定价差异非常大，市场定价存在着严重的高估。对于这个情况，包括联合证券、国泰君安证券等多家机构都认为是因为市场发展初期，权证产品供应量过少而造成的。联合证券在一份报告中提到：“宝钢权证的实际时间价

28、值剩余几乎从一开始就呈现攀升趋势，而按照香港备兑权证市场的预测值则低很多。由于国内备兑权证市场刚刚起步，供应量有限导致了如此过度炒作的市场表现，宝钢权证实际的时间价值剩余中包含了过多的泡沫成份，风险也在不断累积，这是投资者特别需要关注的地方”。而在3个月以后，两只权证的市场价格逐渐向模型的实证结果靠拢，除了时间价值较小幅度的损耗以外，国内权证市场供应量的大幅度增加是主要的原因。权证品种供应量的增加使得这个市场逐渐扩容，从而使得权证市场的定价回归理性。从权证市场价格的回归和一个比较接近的定价来看，以上三个模型的定价具有如下重要的参考意义。第一、b-s模型以及修正的b-s模型给出了具有参考意义的理

29、论价格，实现了价格发现的功能。这些模型能在国内权证市场发展的初期揭示出了市场的巨大风险，并促使高估价格的理性回归。第二、当权证市场定价相对理性的时候，实证模型的价格具有一定的参考作用。虽然该模型的定价最终仍低于市场定价，但是我们可以统计整个市场的平均水平，然后算出一个市场平均的溢价比例，例如以理论价格向上浮动20-30%的水平对权证进行比较定价。虽然这种方式并不符合大部分国际市场的定价原则，但考虑到国内权证市场初期的特殊性，该方式也被一部分证券公司用于初期的权证定价之中。结论综上所述，通过对经典b-s模型及其模型定价区间进行比较，比较结论如下：1.b-s模型由于变量较少，适合国内权证广泛的金融

30、定价计算。本文的两种定价修正方法都是在b-s模型的定价基础上的，通过分析和计算，由于该模型涉及的变量较小，因此在实际的使用中非常方便，很多金融工程的软件都有该模型的工具，便于计算使用。2两种方法计算出来的价格区间是具有较大的差异。（1）考虑权证的交易费用会使权证的价格增大，和经典的b-s模型不考虑到交易费用，权证的价格有一定程度的低估；权证的交易费用越高，权证的估值也越大。但是，目前在实际的交易中，权证的佣金和股票相比是非常低的，因此，采用不考虑交易费用的b-s模型仍能很好的反映权证的价值。（2）考虑股息会使权证价格减小，而且股息分红率越高，对价格下降的影响越大，对一个分红率较高的权证来说，如

31、果不考虑该因素，利用b-s模型计算的权证价值将会使权证的价值高估。在实际的计算过程中，对于不同的股票来说，分红率的不同使得b-s模型估值的影响程度也有很大的差异。我们认为，对于分红率比较高的股票，采用调整以后的b-s公式计算价值将更加合理，如果不考虑分红因素，权证的价格很可能会高估，而对于分红率很低或者基本上未过分红的股票来说，可以不考虑股息的影响。3本文中的三种模型比较而言，考虑股息分红的修正是更为有效的定价修正模型。经过本文三种模型的计算，我们不难发现，考虑交易成本修正后的权证价格与经典的b-s模型计算出来的价格差异相对较小，而考虑股息分红修正的结果和经典的-s模型计算出来的价格差异相对较

32、大，特别是对于宝钢权证。造成这种情况主要是权证的交易手续费相对较低，对权证定价的影响比较小。而在实际的操作中，假设证券公司给与权证的投资者一定的手续费优惠以后，交易成本的影响将会更小。在上面的分析中我们已经提到对于分红率过高的股票，不考虑该因素，权证的价格将会高估，分红比率越高，权证的高估程度将越高，因此我们认为对于大多数股票而言，考虑股息分红的修正是更为有效的标准。4. 在国内权证市场初期，模型的理论定价要低于实际的市场价格，但这一差异将随着国内权证市场的逐步成熟而逐渐缩小。如图4、图5，可以看到和实际的权证价格相比，以上一个理论模型计算出来的价格比中国权证市场的价格有较大的差异，这个差异最大在于两只权证刚刚上市的价格要远远大于权证的理论定价，这一度让国内的权证定价失去了理论的标准。我们在前面分析过，造成这个因素的主要原因国内缺乏一个衍生金融的投机市场，权证市场的诞生给投机资金寻找了出路。由于国内尚未有一个金融衍生品的市场，因此权证市场创立之初，大量的投机性热钱进入金融衍生品市场，造成市场投机性异常巨大。并使得国内在只有十几只权证交易的情况下，一度成为全球日均交易量最高的市场。这种不正常的情况显然说明国内权证市场在股权分置改革初期存在很高风险。香港的权证市场在发展初期有和中国类似的情况，由于香港金融衍生产品市场相对欧美要落后，因此香港推出权证市场初期