圆周运动中的临界问题专题

1、 课题 28 圆周运动中的临界问题一、竖直面内圆周运动的临界问题(1)如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面做圆周运动过最高点的情况：特点：绳对小球，轨道对小球只能产生指向圆心的弹力 临界条件：绳子或轨道对小球没有力的作用：（可理解为恰好转过或2临界恰好转不过的速度）即此时小球所受重力全部提供向心力注意：如果小球带电，且空间存在电、磁场时，临界条件应是小球重力、电场力和洛伦兹力rg的合力提供向心力，此时临界速度 v 临能过最高点的条件：v rg ，当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力不能过最高点的条件：vv （实际上球还没到最高点时就脱离了轨道做斜抛运动）临界【例题 1】如图所

2、示，半径为r 的竖直光滑圆轨道内侧底部静止着一个光滑小球，现给小球103一个冲击使其在瞬时得到一个水平初速 v ，若 v ，则有关小球能够上升到最大高gr00度（距离底部）的说法中正确的是（ ）va、一定可以表示为20b、可能为 r2g3r5c、可能为 rd、可能为 r3【延展】汽车过拱形桥时会有限速，也是因为当汽车通过半圆弧顶部时的速度gr 时，汽车对弧顶的压力f =0，此时汽车将脱离桥面做平抛运动，因为vn桥面不能对汽车产生拉力（2）如右图所示，小球过最高点时，轻质杆（管）对球产生的弹力情况：特点：杆与绳不同，杆对球既能产生拉力，也能对球产生支持力n当 0v rg 时， f 随 v 增大而

3、减小，且 mgf 0，nnf 为支持力n当 v= rg 时，f 0n当 v rg 时，f 为拉力，f 随 v 的增大而增大（此时 f 为拉力，方向指向圆心）nnn典例讨论1.圃周运动中临界问题分析，应首先考虑达到临界条件时物体所处的状态，然后分析该状态下物体的受力特点结合圆周运动的知识，列出相应的动力学方程【例题 2】在图中，一粗糙水平圆盘可绕过中心轴 oo 旋转，现将轻质弹簧的一端固定/oor 在圆盘中心，另一端系住一个质量为 m 的物块 a，设弹簧劲度系数为 k，弹簧原长为 l。将物块置于离圆心 r 处，rl，圆盘不动，物块保持静止。现使圆盘从静止开始转动，并使转( )5k r -l速逐渐

4、增大，物块 a 相对圆盘始终未惰动。当增大到w =到圆盘的静摩擦力，如果受到静摩擦力，试确定其方向。时，物块 a 是否受4mr【解析对物块 a，设其所受静摩擦力为零时的临界角度为 ，此时向心力仅为弹簧弹力；0若 ，则需要较大的向心力，故需添加指向圆心的静摩擦力；若，则需要较小0的向心力，物体受到的静摩擦力必背离圆心。0( )( )k r -l5k r -l依向心力公式有 m r=k(rl)，所以2，故w =时,得 。0w =004mrmr可见物块所受静摩擦力指向圆心。【例 3】如图所示，细绳长为 l，一端固定在 o 点，另一端系一质量为 m、m，q电荷量为+q 的小球，置于电场强度为e 的匀强

5、电场中，欲使小球在竖直平面内做圆周运动，小球至最高点时速度应该是多大？l解析：小球至最高点时能以 l 为半径做圆周运动，所需向心力最小时绳子无()拉力，则 mgeq=mv /l，得v，故小球在竖直平面内能20= mg + eq l/ m0()mg + eq l/ m够做圆周运动时，小球至最高点的速度 ve拓展：该题中物理最高点与几何最高点是重合的，物理最高点是在竖直平面内做圆周运动的物体在该点势能最大，动能最小，若把该题中的电场变为水平向右如图，当金属球在环内做圆周运动时，则物理最高点为 a 点，物理最低点为 b 点，而几何最高点为 c 点，几何最低点为 d 点（这种情况下，两个最高点已不再重

6、合，两个最低点也不再重合 ）( ) ( )/ r = f = mg + eqa 处速度的最小值（临界速度）应满足：mv222a合思考：物体恰能到达几何最高点时，绳的拉力为多少？【例 4】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为 r（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。a 球的质量为 m ，b 球的质量为1m 。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 。设a 球运动到最201m ，r 与 v 应满足怎样的关系式?2121v20rn - m g = ml l据牛顿第二定律 a 球在圆管的最低点有111 v21rm g + n = ml l

7、同理m 在最高点有2222112r + m v = m v lm 球由最高点到最低点机械能守恒m g222 120又 n =n 222221【小结】 比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。【例 5】如图所示，赛车在水平赛道上作90 转弯，其内、外车道转弯处的半径分别为r 和01r ，车与路面间的动摩擦因数和静摩擦因数都是试问：竞赛中车手应选图中的内道转弯2还是外道转弯？在上述两条弯转路径中，车手做正确选择较错误选择所赢得的时间是多少？分析:赛车在平直道路上行驶时，其速度值为其所能达到的最大值，设为v 。转弯时，车做

8、m圆周运动，其向心力由地面的静摩擦力提供，则车速受到轨道半径和向心加速度的限制，只能达到一定的大小为此，车在进入弯道前必须有一段减速过程，以使其速度大小减小到车在弯道上运行时所允许的速度的最大值，走完弯路后，又要加速直至达到 v 。车道的m选择，正是要根据内外道上的这些对应过程所历时间的比较来确定对于外车道，设其走弯路时所允许的最大车速为 v ，则应2有 mv /r =mg 解得v = mr g222如图所示，设车自 m 点开始减速，至 n 点其速度减为 v ，2且刚好由此点进入弯道，此减速过程中加速度的大小为 a=mg/m=g2m2mgv2 - 2vvr此减速过程中行驶的路径长度（即 mn

9、的长度）为 x =2=2m22a2车沿弯道到达 a 点后，由对称关系不难看出，它又要在一段长为 x 的路程上加速，才能达2到速度 v 。上述过程所用的总时间为m2vpv- v2aprv - vr2mgt=t t t =圆弧=（2 ）222mmmmg2减速加速2va22vpr同样的道理可以推得车走内车道所用的总时间为 t =1（2 ）21mmgmg另一方面，对内车道和外车道所历路程的直线部分进行比较，由图可见，车往内车道多走了长度 l r r2l同时，在直线道上车用于加速和减速的行程中，车往内道也多走了长度x=2x 2x = r r122由于上述的l 和x 刚好相等，可见车在直道上以v 匀速行驶

10、的路程长度对于内外两道来lm说是相等的这样，为决定对内外道的选择，只需比较上述的 t 和 t 即可由于 tt ，显1221然，车手应选择走外道，由此赢得的时间为p-r1t=t 一t=(2)-122mg 2.求解范围类极值问题，应注意分析两个极端状态，以确定变化范围【例 6】如图，直杆上 0 0 两点间距为 l，细线 o a 长为 3 ，o a 长为 l,a 端小球质量l1 212为 m，要使两根细线均被拉直，杆应以多大的角速度转动？解析:当较小时线 o a 拉直，o a 松弛，而当太大时 o a 拉直, o a 将松弛122设 o a 刚好拉直,但 f 仍为零时角速度为 ，此时o o a =3

11、0 ,对小球：102在竖直方向 f cos30 mgo2a12 10o1a在水平方向：f sin30 w 3 sin 30 l0m20o1a12g由得w=3l1设 o a 由拉紧转到刚被拉直,f 变为零时角速度为1o1a对小球：f cos60 =mg20o2af sin60 =m lsin60 020o2a22g2g2g由得w,故w=3lllba2o【例 7】一根长约为 l 的均匀细杆可以绕通过其一端的水平轴在竖直平面内转动，杆最初在水平位置。杆上距 o 为 a 处放有一个小物体 b（可视为质点）。杆与其上小物体最初均处于静止状态，若此杆突然以匀角速度绕 o 轴转动，问当取什么值时，小物体与杆

12、可能相碰。al我们分两种情况进行讨论：（1）当杆的转速较小时，物体b 有可能追上细杆与细杆相碰。设物体b 下落到 c 作用的时间为 t ，杆转过角所用时间为 t ，两物要能相碰，t 和t 就满足下列条11221，lcos=a，所以 l l2 -a2122211g1由=t =arccos/l 解得 t = arccos（a/l）22w2 l2 - a21g将t、t 代入式，得l arccos（a/l）解得warccos（a/l）/l2 -42a22g（2）当杆的转速较大时，杆转过一周后有可能追上 b 而与物体 b 相碰，设杆转过中角所用的时间为 t ，杆要与 b 相碰，t 和t 必须满足下列条件

13、：t t/2/2ll22 l2 - a2由 2+=t ，所以 t =（2+）=（2+arccos（a/l）/代入得/（2/22gg+arccos（a/l）/，解得arccos（a/l）/l2 -42a2 g由以上分析可知，当杆转动的角速度满足：arccos （ a/l ） / l a 或2 -422garccos（a/l）/ l a 时，物体 b 均有可能和细杆相碰。42 -22典例分析杆长为 l，球的质量为 m，杆连球在竖直平面内绕轴 o 自由转动，已知在最高点处，杆对球的弹力大小为 f=1/2mg，求这时小球的即时速度大小。解：小球所需向心力向下，本题中f=1/2m gm g，所以弹力的方

14、向可能向上mv2gl也可能向下。若 f 向上，则若 f 向下，则mg - f =,v =l2mv23glmg + f =,v =l2如图所示的装置是在竖直平面内放置光滑的绝缘轨道，处于水平向右的匀强电场中，以带负电荷的小球从高 h 的 a 处静止开始下滑，沿轨道 abc 运动后进入圆环内作圆周运动。已知小球所受到电场力是其重力的 34，圆滑半径为 r，斜面倾角为，s =2r。若使小bc球在圆环内能作完整的圆周运动，h 至少为多少？解析：小球所受的重力和电场力都为恒力，故可两力等效为一个力f，如图所示。可知f1.25mg，方向与竖直方向左偏下 37，从图 6 中可知，能否作完整的圆周运动的临界点

15、是能否通过 d 点，若恰好能通过 d 点，即达到 d 点时球与环的弹力恰好为零。v2drf = m由圆周运动知识得：v2dr即：1.25mg = m31mg(h - r - rcos 37) - mg (hcot + 2r + rsin 37) = mv由动能定理有：q2d42联立、可求出此时的高度 h。【例 6】如图所示，用细绳一端系着的质量为 m=0.6kg 的物体 a 静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔 o 吊着质量为 m=0.3kg 的小球 b，a 的重心到 o 点的距离为 0.2m若 a 与转盘间的最大静摩擦力为 f=2n，为使小球b 保持静止，求转盘绕中心o 旋转的

16、角速度的取值范围（取 g=10m/s ）2解析：要使b 静止，a 必须相对于转盘静止具有与转盘相同的角速度a 需要的向心力由绳拉力和静摩擦力合成角速度取最大值时，a 有离心趋势，静摩擦力指向圆心 o；角速度取最小值时，a 有向心运动的趋势，静摩擦力背离圆心o对于 b，t=mg对于 a，t + f = mrw 21t - f = mrw22= 6.5rad/s= 2.9rad/sww12 6.5rad/s所以 2.9 rad/sw【例 7】一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为r（比细管的半径大得多）在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）a 球的质量为 m ，b1球的质

17、量为 m 它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v 设 a 球运动到20最低点时，b 球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m 、m 、r12与 v 应满足的关系式是_0解析：这是一道综合运用牛顿运动定律、圆周运动、机械能守恒定律的高考题a 球通过圆管最低点时，圆管对球的压力竖直向上，所以球对圆管的压力竖直向下若要此时两球作用于圆管的合力为零，b 球对圆管的压力一定是竖直向上的，所以圆管对 b 球的压力一定是竖直向下的由机械能守恒定律，b 球通过圆管最高点时的速度 v 满足方程121m v + m g 2r = m v222 0222根据牛顿运动定律v2对于 a

18、球，111 v2n + m g = m对于 b 球，又 n =nr22212v2(m - m ) + (m + 5m )g = 0解得0r1212针对练习：1如图所示，长为l 的细线，一端固定在o 点，另一端系一个球.把小球拉到与悬点 o处于同一水平面的 a 点，并给小球竖直向下的初速度，使小球绕 o 点在竖直平面内做圆周运动。要使小球能够在竖直平面内做圆周运动，在a 处小球竖直向下的最小初速度应为7gl5gl3gl2gla.b.c.d.2由上海飞往美国洛杉矶的飞机与洛杉矶返航飞往上海的飞机，若往返飞行时间相同，且飞经太平洋上空等高匀速飞行，飞行中两种情况相比较，飞机上的乘客对座椅的压力a.相

19、等b.前者一定稍大于后者d.均可能为零c.前者一定稍小于后者3用一根细线一端系一小球（可视为质点），另一端固定在一光滑锥顶上，如图（1）所示，设小球在水平面内作匀速圆周运动的角速度为，线的张力为 t，则 t 随 变化的2图象是图（2）中的 4在质量为 m 的电动机飞轮上，固定着一个质量为 m 的重物，重物到轴的距离为 r，如图所示，为了使电动机不从地面上跳起，电动机飞轮转动的最大角速度不能超过acbdmgmr gmr5如图所示，具有圆锥形状的回转器（陀螺），半径为 r，绕它的轴在光滑的桌面上以角速度快速旋转，同时以速度 v 向左运动，若回转器的轴一直保持竖直，为使回转器从左侧桌子边缘滑出时不会

20、与桌子边缘发生碰撞，v 至少应等于2ggcrdr2hh6如图，细杆的一端与一小球相连，可绕过 o 点的水平轴自由转动现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中 a、b 分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是aa 处为拉力，b 处为拉力ba 处为拉力，b 处为推力ca 处为推力，b 处为拉力da 处为推力，b 处为推力7如图所示在方向竖直向下的匀强电场中，一个带负电 q，质量为m 且重力大于所受电场力的小球，从光滑的斜面轨道的点 a 由静止下滑，若小球恰能通过半径为 r 的竖直圆形轨道的最高点 b 而作圆周运动，问点 a 的高度 h 至少应为多少？如图所示，圆管构成的半圆形竖直轨道

21、固定在水平地面上，轨道半径为 r，mn 为直径且与水平面垂直，直径略小于圆管内径的小球 a 以某一初速度冲进轨道，到达半圆轨道最高点m 时与静止于该处的质量与 a 相同的小球 b 发生碰撞，碰后两球粘在 一起飞出轨道，落地点距 n 为 2r。重力加速度为 g，忽略圆管内径，空气阻力及各处摩擦均不计，求：（1）粘合后的两球从飞出轨道到落地的时间t；（2）小球 a 冲进轨道时速度 v 的大小。解析：（1）粘合后的两球飞出轨道后做平抛运动，竖直方向分运动为自由落体运动，有12r = gt22r解得= 2tg（2）设球 a 的质量为 m，碰撞前速度大小为v ，把球 a 冲进轨道最低点时的重力势能定为1

22、1212mv22mgr0，由机械能守恒定律知=mv2+1设碰撞后粘合在一起的两球速度大小为 v ，由动量守恒定律知 mv = 2mv212飞出轨道后做平抛运动，水平方向分运动为匀速直线运动，有 2r = v t2综合式得= 2 2grv2某兴趣小组设计了如图所示的玩具轨道，其中“2008”四个等高数字用内壁光滑的薄壁细圆管弯成，固定在竖直平面内（所有数字均由圆或半圆组成，圆半径比细管的内径大得多），底端与水平地面相切。弹射装置将一个小物体（可视为质点）以v =5m/s 的水平初速度由 aa点弹出，从 b 点进入轨道，依次经过“8002”后从 p 点水平抛出。小物体与地面 ab 段间的动摩擦因数

23、 u=0.3,不计其它机械能损失。已知 ab 段长 l1. 5m，数 字“0”的半径 r0.2m，小物体质量 m=0.01kg,g=10m/s 。求：（1）小物体从 p 点抛出后的水平射程。（2）小物体经2过 数 这 “ 0 ” 的 最 高 点 时 管 道 对 小 物 体 作 用 力 的 大 小 和 方 向 。 解析：（1）设小物体运动到p 点时的速度大小为 v，对小物体由a 运动到 p 过程应用动11-mmgl - 2rmg = mv - mv能定理得：22a2212r = gt22s=vt由式联立代入数据解得：s=0.8m（2）设在数字“0”的最高点时管道对小物体的作用力大小为f，由牛顿第

24、二定律得：mv2f + mg =r由两式联立代入数据解得：f0.3n，方向竖直向下。答案： 0.8m 0.3n 方向竖直向下如图所示，质量 m=2kg 的滑块套在光滑的水平轨道上，质量 m=1kg 的小球通过长 l=0.5m的轻质细杆与滑块上的光滑轴 o 连接，小球和轻杆可在竖p20（2）若解除对滑块的锁定，试求小球通过最高点时的速v0l（3）在满足（2）的条件下，试求小球击中滑块右侧轨道om位置点与小球起始位置点间的距离。m解析：（1）设小球能通过最高点，且此时的速度为v 。在1上升过程中，因只有重力做功，小球的机械能守恒。则121mv + mgl = mv21202v = 6m/ s1设小球到达最高点时，轻杆对小球的作用力为f，方向向下，则v2f + mg = m1l由式，得 f=2n由牛顿第三定律可知，小球对轻杆的作用力大小为2n，方向竖直向上。（2）解除锁定后，设小球通过最高点时的速度为 v ，此时滑块的速度为 v。在上升过2程中，因系统在水平方向上不受外力作用，水平方向的动量守恒。以水平向右的方向为正方向，有mv + mv = 02 在上升过程中，因只有重力做功，系统的机械能守恒，则1211+ mgl = mv2mv22+ mv2220由式，得 v =2m/s