不定积分的性质

1、第二讲不定积分的性质 【教学内容】 1. 不定积分的性质 2. 直接积分法 【教学目标与要求】 理解不定积分的性质，掌握直接积分法 【教学重点与难点】 1 .不定积分的性质 2.直接积分法 【教学过程】 一定积分的性质 性质1非零常数因子可提到积分号外，即 Jkf (x)dx =k J f (x)dx (k 芒0) 性质2两个函数的代数和的不定积分，等于各个函数不定积分的代数和，即 f (x) _g(x) dx 二 f (x)dx_ g(x)dx 本性质可以推广到有限个函数的情形。 例 1 求 J(1+ 丈 + c cxs-e d)x 解J(1 +3x2 +cosx -ex)dx = Jdx

2、+ 3 J x2dx + Jcosxdx - f exdx 二 x x3 sin xC 注意：逐项积分后，每个积分结果中都含有一个任意常数，由于任意常数之和仍是任意 常数，因此，只要在末尾加一个积分常数C就可以了。另外，.1dx二.dx。 二、直接积分法 在求积分问题时，有时可以直接按积分的基本公式和两个基本性质求出结果；有时则须 将被积函数经过适当的恒等变形， 再利用积分的两个基本性质和积分公式求出结果，这样的 积分方法叫做 直接积分法。 例 2 求 x x 1 31 333 ()dx = (1 一 )dx = (1 一 xXX 1 1 =dx -3 -dx 3 dx - L xX 31 =

3、 x-3ln x| + +C x 2x2 求 3xexdx 岀)c I n 3 1 xxx() 3edx= .MdX n(e 产 x2 求 2 1 x2dx = (1x2) -1 1 x2 dx dx 二 dx 2 二 x - arctan x C T+x2 注：分子中加1减1 （或加上一个式子再减去同一个式子）是积分中常见的基本技巧。 x4 例 5 求 1，x2dx. 4 1；2恥 x4 -11 , 厂dx 1 x2 2 2 (x 1)(x -1)1 , dx 1x2 )dx 二 x2dx - dx 1 2 dx 十 x2 13 x -x arctanx C 3 复习三角函数公式：（1） 2

4、 2 1 tan x =sec x (2) 2 2 cos2x 二 2cos x -1 = 12sin x (3) sin2 x cos2 x 二 1 求 tan2 xdx 222 tan xdx 二 (sec x -1)dx 二 sec xdx - dx = tan x - 注: 利用1 tan2x =sec x公式，使被积函数tan2 x转化成积分表中的已知函数 2 sec x， 再应用积分公式。 例 7 求 Jcos2 dx 解： 2 x1 + C 0爲1111 cosdxdx=dx亠 cos xd xxsinx C 2 L 2 2 2 2 2 注: 利用余弦函数的倍角公式，使-转化成x，又使被积函数的幕得到降次，便于计 2 求！ 一2 2 dx 1 解.FF sin xcos x 2丄2 ,sin x + cos x , dx ：22 dx sin xcos x sin xcos x 1 1 22 )dx 二 tan xcot x C cos x