《玩转45度》

1、玩转45度 以一道月考压轴题为例 段广猛(江苏省高邮市赞化学校) 题目：如图，已知抛物线 yx2 bx c与x轴 交于 7 点A B,且经过点 C( 0，2)、D(3,2)，点P是直线CD 上方抛物线上一动点，当PCD 45时，求P点坐标. 7 首先易求抛物线解析式为 yx2- x 2，直 线CD 丄 的解析式为y 二x 2,然后紧抓一条路“ 45 构造 腰直角三角形 构造K字形全等”，出现以下若干解法 1、解法2) 例题图基本途径一：设坐标法(包含解法 解法1:如图1,过点 P作PQ丄PC交CD于点Q,作PE丄y轴于点E,再过点 Q作QF 7 丄PE于点F，则 PCQ为等腰直角三角形， CP

2、EA PQF,设P ( m,m2 - m 2), 7 则 QF=PE=m PF=CE= m2_m,点 Q 坐标为(xp PF , yp QF )，即 Q ( m2 9 Jm , 较麻烦 作者简介：段广猛（1989年一），男，江苏宿迁人，中学一级教师，任教于高邮市赞化学校，理学硕士， 毕业于苏州大学数学系，主要从事数学教育与中学教学研究。 解法2:如图2,过点P作PQ丄CD于点Q，过点Q作平行于y轴的直线，并分别过 占 八、 P、点C向该直线上作垂线 PE CF，垂足分别为点 CFC3 QEP,设 1 PE=QF=_m,点 Q (m， 一m 2)， 则 QE=CF=m 坐标为（Xq PE， yQ

3、 QE），即 P 13 m,m+2 （二 一 ）， ,7 + T十2 将P点代入抛物线： y x 2 得， J A 、 刖十2二 七松） 亠十 （一耐）+2 E、点 巳则厶PCQ为等腰直角三角形, -一 ，即 m（m 1） 0， 7 解之得m 1 （m=0舍去），故P （二 _ . K字形全等后，设出 Q 图2解法2中构造出 点坐标，再 表示出P点坐标，代入抛物线求解值得说明的是，若反过来设出 P点坐标，想要表示出 Q 点坐标还需要再设元，虽然能做但比较麻烦 纵观上述两种解法，当我们试图构造等腰直角三角形，再构造 K字形全等的时候，往 往喜欢将已知点作成直角顶点，或者设出直角顶点表示其他顶点

4、请注意这个逻辑顺序，否 则会加大计算难度 基本途径二：设坐标法（包含解法3、解法4）上面两种解法都用到了设坐标法，我们 还可以利用求交点坐标的方法解决问题 点P可以看成直线CP与抛物线的一个交点，只要求出直线CP的解析式，问题将迎刃而 解.那么如何求直线 CP的解析式呢? 直线CP可以看成是由一条确定的直线CD绕着点C按逆时针方向旋转 45所得，因而直 线CP也是确定的，既然是确定的，肯定就是可解的.注意到直线CP由直线CD而来，肯定可 以由直线CD来求，这种确定的因果关系往往是思考问题、解决问题的重要途径 “两点确定一条直线”，点C是已知的，只要再 求出直线CP上一点即可. 解法3:如图3-

5、1,过点D作DQLCD交直线CP于 点Q过点D作平行于y轴的直线，并分别过点 C、点 Q向该直线上作垂线 CE QF,垂足分别为点 E、点F, 则 CDQ为等腰直角三角形， CED DFQ DF=CE=3 3213 QF=DE=，故Q点坐标为(一 2 ),这样利用 C、Q 两点可以求出直线 CP的解析式，然后与抛物线联立解 方程组即可求出点 P坐标. 解法3中将已知的点 D作成了等腰直角三角形的直角顶点，使得后面 的计算几乎一马平川，这也是笔者最喜欢的方法之一值得一提的是若是按 照图3-2的方式 图3-1构图，因为直角顶点Q未知，导致计算量加大, 图3-2 需再设 Q (x, y)建立方程组求

6、解，虽是一种方法， 但稍有些得不偿失因而当我们试图构造等腰直角三 角形，再构造 K字形全等的时候，往往喜欢将已知点 作成直角顶点，或者设出直角顶点表示其他顶点 解法4:如图4-1，设直线 CD与x轴的交点为 E, 则E点坐标为(-4, 0),类似解法3，可以过点E 作 EQL EC交直线CP于点Q 过点E作平行于y轴的直 线，并分别过点 C点Q向该直线上作垂线 CF QG垂足分别为点 F、点G则厶CEQ为等腰直角三 角形， CEFA EQG QG=EF=2 EG=CF=4 故 Q 点坐标为 (-2 , -4),这样利用 C、Q两点可以求出直线 CP的解析 式，然后与抛物线联立解方程组即可求出点

7、p坐标. 纵观解法3与解法4 ,其实我们只要在直线CD上 图4-1任取一点，都可以相应地构造出等腰直角三角形以及 打Q G K字形，这样就产生了无数种作法，譬如在直线 CD 丄 y _x 2上取一个人人喜欢的整点E (2, 3), 如图4-2所示，也可以解决问题. 图4-2 基本途径三：矩形大法 +相似(或三角函数) 解法5 :如图5,过点D作DQLCD交直线CP于点Q过点D作平行于y轴的直线，并 7丄_ 7 m _3, m 故 p（_,_）. 解法5其实就是最近网上非常流行的“矩形大法” 与“ 12345模型”的完美演绎，在此不一一赘述图5基本途径四：正方形中“半角模 型” 解法6:如图6,

8、作正方形 CEFG使边 CG在y轴 上， 且点边EF过点D，直线CP与FG交于点 Q.由 PCD 45 以及正方形中“半角模型”，设 QG=x则QD=QG+DE= 23 _，在Rt QDF中由勾股定理得：（3 X）2（_）2 3 （x-）2 ， 解之得x=1，故Q点坐标为（1， 5），这样利用 C、Q两 点可以求出直线 CP的解析式，然后与抛物线联立解方程组即可求出点P坐标. 图6 其他途径：解法7:如图7,过点P作PEIx轴于点E,交CD于点F，再作 271 PM丄CD于 M，过点 C作 CN丄PE于点 N，设 P （ m， m2），F （ m，- m 2），则 7_ PF=（ m2m 2） （ m 2）m2 3m，CN=m， 15 CN 22 FN F