专题22 坐标系与参数方程-2019年高考文数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)

1、x=，专题22坐标系与参数方程1-t21+t2【母题来源一】【2019年高考全国卷文数】在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为（ty=4t1+t2为参数）以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2rcosq+3rsinq+11=0（1）求c和l的直角坐标方程；（2）求c上的点到l距离的最小值（【答案】1）c的直角坐标方程为x2+y24l（=1(x-1)；的直角坐标方程为2x+3y+11=0；2）7+(1，且x2+=【解析】（1）因为-11-t21+t2y21-t224t221+t21+t22)=1，所以c的直角坐标方程为（2）由（1）可设c的参数方程为（a为参

2、数，-a）y=2sina4cosa-+11y2x2+=1(x-1)4l的直角坐标方程为2x+3y+11=0x=cosa,|2cosa+23sina+11|3=c上的点到l的距离为77时，4cosa-+11取得最小值7，当a=-233故c上的点到l距离的最小值为7【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题1c的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4；（2）c的方程为y=-|x|+2【答案】（1）23【母题来源二】【2018年高考全国卷文数】在直角坐标系xoy

3、中，曲线c的方程为y=k|x|+2以坐1标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为r2+2rcosq-3=02（1）求c的直角坐标方程；2（2）若c与c有且仅有三个公共点，求c的方程12141【解析】（1）由x=rcosq，y=rsinq得c2的直角坐标方程为(x+1)2+y2=4（2）由（1）知c2是圆心为a(-1,0)，半径为2的圆由题设知，c1是过点b(0,2)且关于y轴对称的两条射线记y轴右边的射线为l1，y轴左边的射线为l2由于b在圆c2的外面，故c1与c2有且仅有三个公共点等价于l1与c2只有一个公共点且l2与c2有两个公共点，或l2与c2只有一个公共点且l1

4、与c2有两个公共点当l1与c2只有一个公共点时，a到l1所在直线的距离为2，所以|-k+2|=2，故k=-4或k=0k2+13经检验，当k=0时，l1与c2没有公共点；当k=-43时，l1与c2只有一个公共点，l2与c2有两个公共点当l2与c2只有一个公共点时，a到l2所在直线的距离为2，所以|k+2|=2，故k=0或k=4k2+13经检验，当k=0时，l1与c2没有公共点；当k=43时，l2与c2没有公共点c的方程为y=-|x|+2综上，所求143【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与平面直角坐标方程的转化以及有关曲线相交交点个数的问题，在解题的过程中，需要明确极坐标和平面直角坐标之间的转换

5、关系，结合图形，将曲线相交的交点个数问题转化为直线与圆的位置关系问题，从而求得结果.2为参数），直线l的参数方程为（t为参数）.y=1-t,【母题来源三】【2017年高考全国卷理数】在直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为x=3cosq,y=sinq,x=a+4t,（1）若a=-1，求c与l的交点坐标；（2）若c上的点到l距离的最大值为17，求a24【答案】（1）(3,0)，(-21,)；（2）a=8或a=-162525（【解析】（1）曲线c的普通方程为x29+y2=1当a=-1时，直线l的普通方程为x+4y-3=0+yx=3,y=0y=24.x+4y-3=0,由x22=19解得或2521x=

6、-,25从而c与l的交点坐标为(3,0)，(-21,24)2525（2）直线l的普通方程为x+4y-a-4=0，故c上的点(3cosq,sinq)到l的距离为d=|3cosq+4sinq-a-4|17当a-4时，d的最大值为a+917由题设得a+9=17，所以a=8；17当ab0)的参数方程是，其中是参数y=bsinj椭圆椭圆x2y2+a2b2x2y2+b2a2x=acosjx=bcosj=1(ab0)的参数方程是，其中是参数y=asinj经过点p0（x0，y0），倾斜角为的直线的参数方程是，其中t是参数y=y+tsina（3）直线x=x+tcosa001【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2

7、019届高三第五次测评数学】在直角坐标系xoy中，曲线c：1x=5cosay=2+5sina（a为参数）.以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2：r2=4rcosq-3.（1）求c1的普通方程和c2的直角坐标方程；（2）若曲线c1与c2交于a，b两点，a，b的中点为m，点p(0,-1)，求pmab的值.【答案】（1）c1的普通方程为x2+(y-2)2=5，c2的直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0；（2）3.【解析】（1）曲线c1的普通方程为x2+(y-2)2=5.5由r2=x2+y2，rcosq=x，得曲线c2的直角坐标方程为x2+y2-4x+3=0.（2）将两圆的方程x

8、2+(y-2)2=5与x2+y2-4x+3=0作差得直线ab的方程为x-y-1=0.点p(0,-1)在直线ab上，2x=t2设直线ab的参数方程为（t为参数），y=-1+2t2代入x2+y2-4x+3=0，化简得t2-32t+4=0，所以t1+t2=32，t1t2=4.所以pmab=t+t2t-t22(t2=12=32因为点m对应的参数为1t+t32，12=223211+t2)2-4tt218-44=3.【名师点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、参数方程、普通方程的互相转化，着重考查直线参数方程中参数t的几何意义2【山西省晋城市2019届高三第三次模拟考试数学】已知平面直角坐标系xoy中，曲线

9、c的参数方程为y=1+3sinax=2+3cosa（a为参数）.以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线c的极坐标方程；（2）过点(-2,1)的直线l与曲线c交于a，b两点，且ab=2，求直线l的方程.【答案】（1）r2-4rcosq-2rsinq-4=0；（2）x+y+1=0或x-y+3=0.【解析】（1）消去参数a，可得曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=9，即x2+y2-4x-2y-4=0，x=rcosq由，得曲线c的极坐标方程为r2-4rcosq-2rsinq-4=0.y=rsinq（2）显然直线l的斜率存在，否则无交点.设直线l的方程为y-1=k(x

10、+2)，即kx-y+2k+1=0.6则圆心到直线l的距离d=r2-=9-1=22.而ab=2，ab22又d=|4k|k2+1，所以|4k|k2+1=22，曲线c:（t为参数），以坐标原点o为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线c2y=1+sint解得k=1.所以直线l的方程为x+y+1=0或x-y+3=0.【名师点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程、参数方程的互化、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力以及数形结合思想.3【山东省安丘市、诸城市、五莲县、兰山区2019届高三5月校级联合考试数学】在直角坐标系xoy中，x=cost1=33.的极坐标方程为2rcosq-3（1）求曲线c1的极坐

11、标方程；（2）已知点m(2,0)，直线l的极坐标方程为q=6，它与曲线c1的交点为o，p，与曲线c2的交点【解析】（1）c:，普通方程为x2+(y-1)2=1，y=1+sint为q，求mpq的面积.【答案】（1）c1:r=2sinq；（2）1.x=cost1化为极坐标方程为c1:r=2sinq.（2）联立c1与l的极坐标方程：解得p点的极坐标为1,，6r=2sinqq=6，72rcosq-=33联立23c与l的极坐标方程：，q=6q点的极坐标为3,，解得6所以|pq|=2，又点m到直线l的距离d=2sin6=1，故mpq的面积s=12|pq|d=1.【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程的互

12、化，极径的几何意义，联立曲线与直线的极坐标方程求出交点的坐标是解题的关键.【4安徽省定远中学2019届高三全国高考猜题预测卷一数学】已知在平面直角坐标系xoy中，曲线c的参数方程为x=cosqy=2sinq（q为参数），以坐标原点o为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度【答案】（1）x+y-3=0；（2）最大值为32+10（2）曲线c上的点(cosq,2sinq)到直线l的距离d=cosq+2sinq-3其中cosj=2建立极坐标系，直线l的极坐标方程为rcosq+rsinq-3=0.（1）求直线l的直角坐标方程；（2）求曲线c上的点到直线l距离的最小值和最大值.32-10；最小值为2

13、2【解析】（1）将x=rcosq,y=rsinq代入rcosq+rsinq-3=0，可得直线l的直角坐标方程为x+y-3=0.2=1，sinj=.55.5sin(q+j)-32，故曲线c上的点到直线l的距离的最大值为dmax=-5-32=32+102，8曲线c上的点到直线l的距离的最小值为dmin=5-32=32-102.建立极坐标系，直线l的极坐标方程为rcosq+=2.【名师点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标的转化及最值问题，椭圆上的点到直线的距离的最值求解优先考虑参数方法，侧重考查数学运算的核心素养.5【河南省八市重点高中联盟“领军考试”2019届高三压轴数学】在直角坐标系xoy中，曲线

14、c的参数方程x=cosa+3sina为（a为参数），以坐标原点o为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同长度单位y=sina-3cosa6（1）求曲线c和直线l的直角坐标方程；（2）直线l与y轴的交点为p，经过点p的直线与曲线c交于a，b两点，证明：papb为定值.（【答案】1）曲线c的直角坐标方程为x2+y2=4，l的直角坐标方程为3x-y-4=0；（2）见解析.()+(sina-【解析】（1）由题意，可得x2+y2=cosa+3sina)=4，则曲线c的直角坐标方程为x2+y2=4.31直线l的极坐标方程展开为rcosq-rsinq=2，22故直线l的直角坐标方程为3x-y-4=0.23cosa

15、2（2）显然p的坐标为(0,-4)，不妨设过点p的直线方程为x=tcosay=-4+tsina（t为参数），6江西省南昌市江西师范大学附属中学2019届高三三模数学】在平面直角坐标系中，曲线c的参数方程代入c：x2+y2=4，得t2-8tsina+12=0，所以papb=tt=12，为定值.12【名师点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，其中解答中熟记参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化公式，以及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力1x=2+rcosj为（r0，j为参数），以坐标原点o为极点

16、，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲y=rsinj9c经过点p23,，曲线c的极坐标方程为r2(2+cos2q)=66线1211（2）若ar1,a-，br2,a+是曲线c2上两点，求oa2（1）求曲线c1的极坐标方程；+63ob2的值【答案】（1）r=4cosq；（2）.23【解析】（1）将c的参数方程化为普通方程得：(x-2)2+y2=r2，1由x=rcosq，y=rsinq得c1的极坐标方程为：r2-4rcosq+4-r2=0，将点p23,代入c中得：12-83cos661解得：r2=4，代入c1的极坐标方程整理可得：r=4cosq，c的极坐标方程为：r=4cosq.1+4-r2=0，（2

17、）将点ar1,a-br,a+6，代入曲线c2的极坐标方程，23r22+cos2a-=6，r22+cos2a+=r22-cos2a-=6，333得：12222+cos2a-+2-cos2a-3111132+=+=.oa2ob2r2r26312【名师点睛】本题考查参数方程、极坐标方程的互化、极坐标中r的几何意义的应用，关键是根据几何ob2变为1r2+1r2，从而使问题得以求解.意义将所求的1oa2+1127【山东省聊城市2019届高三三模】在平面直角坐标系xoy中，以o为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线c的极坐标方程为r2cos2q+3r2sin2q=12，点p的极坐标为(2,)，倾斜

18、角为a的直线l经过点p.（1）写出曲线c的直角坐标方程和直线l的参数方程；10（2）设直线l与曲线c交于a,b两点，求1papb的取值范围+1.【答案】（1）x2y2x=-2+tcosa36（t为参数）；（2）,+=1,.y=tsina12422【解析】（1）由r2cos2q+3r2sin2q=12可得，x2+3y2=12，即x2y2+=1.124()设点p(x,y)，则x=2cos=-2，y=2sin=0，即点p(-2,0)，x=-2+tcosa直线l的参数方程为（t为参数）.y=tsina（2）将直线l的参数方程代入x2+3y2=12得，1+2sin2at2-4tcosa-8=0，d=48

19、+48sin2a0恒成立，设点a对应的参数为t1，点b对应的参数为t2，则t+t=4cosa1+2sin2a1+2sin2a1212，tt=-80)，直线l的参数22y=2t2（1）写出曲线c的直角坐标方程和直线l的普通方程；12x=-2+t,（2）将直线l的参数方程代入x2+y2=2y+2ax，（2）若点p的直角坐标为(-2,0)，pm+pn=52，求a的值.【答案】（1）曲线c的直角坐标方程为(x-a)2+(y-1)2=a2+1，直线l的普通方程为x-y+2=0；（2）a=2.【解析】（1）由r=2sinq+2acosq(a0)，得r2=2rsinq+2racosq(a0)，所以曲线c的直角坐标方程为x2+y2=2y+2ax，即(x-a)2+(y-1)2=a2+1，由直线l的参数方程得直线l的普通方程为x-y+2=0.22y=2t,2化简并整理，得t2-(32+2a)t+4a+4=0.因为直线l与曲线c分别交于m、n两点，所以d=(32+2a)2-4(4a+4)0，解得a1，由一元二次方程根与系数的关系，得t1+t2=32+2a，t1t2=4a+4，又因为a0，所以t1t20.因为点p的直角坐标为(-2,0)，且在直线l上，所以|pm|+|pn|=t+t=32+2a=52，12解得a=2，此时满足a0，故a=2.【名师点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，参