储油罐的变位识别与罐容表标定

1、储油罐的变位识别与罐容表标定摘要本模型主要致力于建立起储油罐油位高度示数与罐体中实际储油量之间的函数关系，分析了油罐发生横向与纵向倾斜时，由油位示数所计算得出的理论储油量与实际储油量之间的误差，并着重探讨了怎样将这种误差降低，以尽可能准确的计算出实际的储油量。对于第一种储油罐简化模型，我们分别针对无变位与存在变位两种情形，给出了不同的解决方案。针对无变位情况，可以看出油罐中液体形状是个简单的柱体，只需根据柱体体积公式即可得到油罐中的液体体积。针对存在变位的情况，液体形状与前一种情况具有相似性，横截面积的形状相同，只是横截面积随纵方向呈线性变化，运用体积的积分公式，可以计算出罐内液体体积。模型建

2、立后，我们将题目中给出的数据带入其中运算，发现理论与实际数据存在着一定的误差，在此之后提出了产生此类误差的可能原因。对于第二种实际中较为复杂的储油罐模型，解决方案分为两步：第一步：在任意给出横向倾斜角与纵向倾斜角以及油位读数的情况下，得到计算液体体积计算公式。首先处理横向偏转因素，根据罐体的轴对称的特性将油位示数换算成油位探针处的实际液面高度，然后将液体分割为三个部分分别求体积再求和，具体计算方法用到了第一种情况给出的公式以及其他较为复杂积分公式。对于无法化为显式函数的多重积分采用数值积分方法求得近似解。第二步：首先，制订一套算法评价方案，定义一个可以通过大量数据衡量理论与实际总体平均误差的方

3、法。然后根据已知数据，运用网格法与二分法搜索得到了最优变位参数（），使上述平均误差达到最小（），此最优解即可认为是储油罐实际的偏转角。最后，对模型进行了拓展，如：考虑了当罐内液体过少或过多，和储油罐向另一侧发生纵向偏转的情况，用一般的方法无法得出正确的结果，所以必须考虑这些情况引入稍微不同的方法，综合这些非常规情况与常规情况，就可以给出一个完整的罐容表（完整罐容表在附录中给出）。关键词：罐容表标定、数值积分、重积分、变为参数、最优化方法目录储油罐的变位识别与罐容表标定1摘要11 问题重述31.1背景分析31.2提出问题32 问题分析33 模型假设44 符号说明45 模型建立与求解55.1问题一

4、：小椭圆型储油罐（模型）55.1.1 模型建立55.1.2 模型求解（具体结果见附录）75.2 问题二：实际储油罐（模型）85.2.1 模型建立85.2.2 模型求解（具体结果见附录）166 模型验证187 模型拓展18参考文献20附录201 问题重述1.1背景分析通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但是许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏

5、转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。1.2提出问题用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题(1) 为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为a=4.10的纵向变位两种情况做实验。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值；(2) 对于实际储油罐（主体为圆柱体，两端为球冠体），试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度a和横向偏转角度b ）之间的一般关系。请利用罐体变位后

6、在进/出油过程中的实际检测数据，根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。2 问题分析问题一：小椭圆型储油罐无倾斜情况：此时，储油罐内液体形状为柱体。柱体体积。其中为液体的横截面积，为柱体长度。对于横截面积，可以对椭圆方程在垂直方向对积分，即。倾斜角为时：先求得液体横截面积随垂直方向的变化函数，再将其对积分即得液体体积。问题二：实际储油罐分别考虑横向偏转以及纵向偏转对罐容表带来的影响，实际油位高度与油位高度测量值满足一个与横向偏转角有关的简单几何关系。于是可以由油位高度测量值和确定实际

7、油位高度。再由油位实际高度和纵向偏转角，将油分割为几个基本立体图形分别求体积再求和，这样就建立了罐内储油量与油位高度及变为参数之间的一般关系。为了给出变位后的罐容表标定值，可以利用上面已经建立起的函数关系和matlab进行数值计算及搜索与实际数据偏差最小的一组变为参数，从而可以得到最优的变为参数。3 模型假设假设1：油罐内设施（油位探针、注油口、检查口、出油口等）体积可忽略；假设2：温度恒定，且每千克油的体积保持不变；假设3：油罐表面无形变。假设4：油罐无大幅度变位，油量适中，无极端情况出现。4 符号说明序号符号符号说明1表示纵向倾斜角度2表示横向偏转角度3表示一般油罐的油位计所测的油位高度4

8、表示油罐左端油位高度5表示一般储油罐的实际油位高度及小椭圆型油罐的油位计所测油位高度6表示储油量7表示椭圆横轴的一半，即8表示椭圆长轴的一半，即9表示油的横截面积10表示油罐长度11表示油位探针离油罐左端的距离12表示圆柱体半径13表示球冠体半径5 模型建立与求解5.1问题一：小椭圆型储油罐（模型）5.1.1 模型建立(1) 无变位情况：此时，储油罐内液体形状为柱体。柱体体积。其中为液体的横截面积，为柱体长度。图5.1.1小椭圆油罐截面示意图轴y轴如图5.1.1所示，对于横截面积，可以对椭圆方程在垂直方向对积分，即。由积分公式，得横截面积综上，液体体积为：其中(2) 纵向倾斜角为情况： 油浮子

9、出油管油位探针注油口水平线2图5.1.2小椭圆油罐正面示意图轴轴如图5.1.1，5.1.2所示,只需求得液体横截面积随垂直方向的变化函数，再将其对积分即可得出储油量，即液体体积。首先，由相似三角形关系，得，即得：于是，体积积分公式为： 令，得到：其中5.1.2 模型求解（具体结果见附录）模型结果与已知结果的对比：(1) 无变位情况：由上图可知，模型结果与实际数据在油位高度较低时与实际数据有较好的吻合性，但随着油位高度的增长，误差（即理论值与实际值之差）逐渐增大。误差分析：这种现象是由于储油罐内部存在出油管、注油口以及油位探针等装置，这些装置位于油内的体积会随着油位的上升而变大，所以导致误差随油

10、位高度的增加而增大。(2) 纵向倾斜角为情况：由上图可知，模型结果与实际数据在油位高度较低时与实际数据有较好的吻合性，但随着油位高度的增长，误差先逐渐增大，再逐渐减小。误差分析：对于这种误差形式我们经过尝试还是未能找到非常合理的解释，其原因之一可能是已知数据存在着不完整性温度、油罐内结构以及测量方法的科学性都无法准确的获得。所以，对数据进行更一步挖掘和处理时本模型今后的改进方向之一。5.2 问题二：实际储油罐（模型）5.2.1 模型建立1. 横向倾斜对油位测量值的作用：因为实际罐体的横截面积为固定的圆，所以它是关于横截面圆心连线的轴对称体。可知，当罐体发生横向偏转倾斜时，其中的液体形状相对于地

11、平线保持不变。发生变化的只是油位探针的角度，所导致的结果是测得的油位高度示数发生变化。只需根据横向偏转角度和油位计显示的油位高度，就可得到油位探测装置处的实际油位高度。此后的计算均采用实际油位高度代替油位计显示的高度进行计算。地平线地平线垂直线油位探针图5.2.1如上图所示，表示实际油位高度，表示油位计显示的油位高度，表示横向倾斜角。易知(5.2.1)2. 求解油的体积关于，的函数：(1) 建立坐标系假定，储油罐中的油量适中，且纵向倾斜角度较小，使得油面与弧及弧分别交于和。图5.2.2(2) 求解和的坐标：因为游浮子所在位置点的坐标为，于是可以写出直线的方程为：(5.2.2)弧满足方程：(5.

12、2.3)弧满足方程：现在来求解和的坐标：(5.2.2)式可以变形为：令(5.2.4)其中(5.2.5)联立(5.2.3)与(5.2.4)得的坐标：其中,由(5.2.5)确定。同理可得的坐标：(3) 计算储油量：为了求出在给定的及下储油罐中油的体积，如下图可将油分为3个部分，分别记这三个部分体积为，则a. 求step1 下图是从图5.2中截取的一部分，记阴影部分体积为其中，为积分变量。先计算水平截面的面积（为任一水平截面与点在竖直方向的高度差，），再在垂直方向对积分：下面求：如下图，就是阴影部分的面积。而，计算得，从而说明这个体积是关于的函数step2下图是从图5.2中截取的一部分，记阴影部分体

13、积为先计算垂直方向的截面积(为任一垂直方向截面与点在水平方向的距离)，然后再在水平方向上对积分：下面求：如下图，就是阴影部分的面积。其中，从而，step3当时，部分的体积为：，当时，部分的体积为：综上可得的表达式为：(5.2.6)b求类似问题一中纵向倾斜角为小椭圆型储油罐的储油量的求解，(5.2.7)其中c求下图是从图5.2中截取的一部分，记阴影部分体积为。其中，是积分变量，类似于求的过程，与求解类似(5.2.8)在求解了，后，模型的结果可以表达为：(5.2.9)其中,且,分别由(5.2.6),(5.2.7),(5.2.8)表达。3.评判方法的引入:通过对给出数据分析知，给出的“显示油量容积”

14、并不准确，理由是出油前后两次的“显示油量容积”并不等于实际的出油量，如表：流水号油罐号出油量/L显示油量容积/L2010260.0060448.8820202149.0960311.43显示油量容积之差（流水号202-流水号201）137.45上表中显示油量容积之差与实际出油量存在一定的误差。因此可以根据该误差的大小来判断数据的有效性。定义 数据有效性评判方法：设为第次出油的显示油量容积，为第次出油量。假设有组连续的罐装记录数据，先后两次显示油量容积之差与出油量误差为，则这组数据的平均误差为。若平均误差越小，则有效性越大；反之，平均误差越大，有效性越小。选取附件中流水号为组数据进行试验。则先后

15、显示出油容积之差与出油量误差图为：图5.2.1其平均误差为：。可知附件中给出的显示出油容积有较大的误差。分析可知该误差主要储油罐变位造成的。5.2.2 模型求解（具体结果见附录）为了减小误差，需要确定储油罐纵向偏转角与横向偏转角。本文采用网格法，使在中每隔取一点做成网格，算出网格上每一点的平均误差，并画出图象如下：（第一幅图为整体图像，第二幅图为选取一小部分放大10倍形成的局部图像）。由上图可以看出，平均误差关于,具有较好的连续性，这为下面二分搜索法提供了依据。在此基础上，我们采用二分法，在一位小数精度上得出最优解，即变位参数为。在变位参数已经确定的基础上，运用前面已经给出的函数，并且通过数值

16、计算，就可以计算得到罐容标定值。相应罐容表标定值的具体结果见附录。6 模型验证计算流水号为201502为试验样本时的误差图像，对比图5.2.1、图5.2.2可见误差确实减小，且平稳分布在0附近。图5.2.2平均误差为：，与附件中的数据的平均误差相比可知该方法精度较高。7 模型拓展1.罐内液体过多或过少情况分析当油罐变位时，仅仅采用上述方法还无法得到完整的变位表，因为当罐内液体过多或者过少时，不能按照已给出的方法进行积分，如图所示：区域B 水平线区域A 对于第一种液面过少的情况，可以计算出其产生条件是，此时，可以将液体分为如图所示A、B两部分，并仿照已给出的方法计算得到。区域D水平线区域C区域B

17、 区域A 对于第二种液面过多的情况，可以计算出其产生条件是，此时，可以将液体分为如图所示A、B、C、D四部分，并仿照已给出的方法计算得到。综上，可以使罐容表变得完整。2、油罐向另一侧倾斜情况在图5.2.2中，与是关于储油罐中截面对称的两个点，即。现在考虑储油罐向右偏转的情况，可以认为在也有一个油位探针，它测出的油位深度为，由三角函数关系知：在这种情况下，由于对称关系及式(5.2.9)，油的体积：参考文献1 华东师范大学数学系，数学分析，北京，高等教育出版社，20072 王沫然，MATLAB与科学计算（第2版），北京，电子工业出版社， 20093 王郑耀，卧式加油罐剩余油料体积的计算，西安交通大

18、学理学院，2004附录小椭圆型储油罐变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值探针刻度(m)储油量(L)探针刻度(m)储油量(L)探针刻度(m)储油量(L)01.67440.4110050.822745.50.013.53110.421044.60.832787.20.026.26370.431084.50.842828.70.039.9750.441124.80.8528700.0414.7570.451165.30.862911.10.0520.6910.461206.20.872951.80.0627.8550.471247.20.882992.30.0736.3170.481288.60

19、.893032.50.0846.1440.491330.10.93072.40.0957.3950.51371.90.9131120.170.1290.511413.90.923151.20.1184.40.5214560.933190.10.12100.260.531498.40.943228.60.13117.750.541540.90.953266.70.14136.920.551583.50.963304.40.15157.820.561626.30.973341.70.16180.260.571669.20.983378.50.172040.581712.20.993414.90.18228.910.591755.313450.70.19254.880.61798.51.013486.10.2281.860.611841.81.023520.90.21309.760.621885.11.033555.10.22338.540.631928.51.043588.80.23368.140.641971.91.053621.80.24398.530.652015.41.063654.20.25429.660.662058.81.073685.90.26461.490.672102.31.083716.90.274940.682145.71.093747.20.2852