43多项式方法求特征值问题

1、43 多项式方法求特征值问题 43 多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求 n 阶方阵 A 的特征值就是求 代数方程 ( ) |A I | 0 (4.3.1) n p1 n 1 p2 n 2 pn 的根。 ( ) 称为 A 的特征多项式。上式展开为 () ( ) 的系数。 A 的特征值可分为两步： A I | 求出多项式 (4.3.2) 其中 p1, p 2,. pn 为多项式 从理论上讲，求 第一步 直接展开行列式 | ( ) ； 第二步 求代数方程 (x) 0 的根，即特征值。 对于低阶矩阵， 这种方法是可行的。 但对于 高阶矩阵，计算量则很大，这种方法

2、是不适用的。 这里我们介绍用 F-L( Faddeev-Leverrier )方法 求特征方程( 4.3.2)中多项式 ( ) 的系数。由于 代数方程求根问题在第 2 章中已经介绍，所以本 节中解决特征值问题的关键是确定矩阵 A 的特 征多项式 ( ) ，所以称这种方法为多项式方法求 特征值问题。 记矩阵 A=(aij)n n的对角线元素之和为 trA a11 a22 . ann (4.3.3) 利用递归的概念定义以下 n 个矩阵 Bk (k 1,2, n) : B1 A, B2 A(B1 p1I), B3 A(B2 p2I), BkA(Bk 1 pk 1I), Bn A(Bn 1 pn 1I

3、), p1 trB1 1 p2 trB 2 2 1 p3 3trB 3 1 pk trB k k 4.3.4) 1 pn trB n n 可以证明 ,(4.3.4)式中 pk,k 1,2,.,n, 即是所求 A 的特 征多项式 ( ) 的各系数。用( 4.3.4)式求矩阵的 特征多项式系数的方法称为 F-L 方法。相应特征 方程为： n n n 1 n 2 ( 1) ( p1 p2 pn) 0 (4.3.5) 而且可证矩阵 A 的逆矩阵可表示为 11 A 1(Bn 1 pn 1I) pn (4.3.6) 例 1 求矩阵 324 A 2 0 2 423 的特征值与 A 1. 解 用 F-L 方法

4、求得 324 B1 A 2 0 2 423 p1 trB1 6 11 2 4 B2 A(B1 p1I) 2 8 2 4 2 11 p2 1trB 2 15 2 2 2 800 B3 A(B2 p2 I) 0 8 0 008 1 p3 3trB 3 8 所以 A 的特征方程为 3 3 2 ( 1)3( 3 6 2 15 8) 0 此方程的根 ,即特征值为 1 8, 2 1, 3 1 1 1 1 2 4 2 A1 1 (B2 p2I) 1 7 1 p34 8 4 1 1 1 2 4 2 从 例 1 中 的 计 算 结 果 可 知 B3 p3I . Faddeev曾经证明 : 对 n 阶矩阵 A,按

5、(4.3.4) 式计算出的 Bn 总有 Bn pnI (4.3.7) 4.3.2 特征向量求法 当矩阵 A 的特征向量确定以后 ,将这些特征 值逐个代入齐次线性程组 (A I )x=0 中,由于系数矩阵 A I 的秩小于矩阵 A I的阶数 n,因此虽然有 n 个方程 n 个未知数 ,但实际上是解有 n 个未知数 的相互独立的 r 个方程(rn). 当矩阵 A 的所有特 征值互不相同时 ,这样的问题中要解的齐次方程 组中有 n-1 个独立方程 ,其中含有 n 个特征向量 分量 ,因此特征向量分量中至少有一个需要任意 假设其值 ,才能求出其他特征分量 . 在计算机中解这样的齐次线性程组 ,可用高

6、斯-若当消去法 ,以便把一组 n 个方程简化为等价 的一组 n-1 个方程的方程组 .然而,用高斯 -若当消 去法简化一个齐次线性程组时 ,方程之间不都是 独立的 ,在消去过程中系数为零的情况较多 .必需 交换方程中未知数的次序 ,以避免主元素位置上 为零的情况 .因此 ,为了提高精度和避免零元素的 可能性 ,我们总是用主元素措施把绝对值最大的 系数放于主元素位置 . 例如 ,假设矩阵 A 为 4 2 2 A 5 3 2 其特征方程为 42 2 2 4 1 53 2 24 1 =0 展开后为 ( 1)( 2)( 5) 0 故特征值分别为 1, 2 2, 3 面求特征向量， 将 1代入方程组 (

7、A I)x 0中，得 3x1 2x2 2x3 0 5x1 2x2 2x3 0 2x1 4x2 0 x3 0 (4.3.8) 以-5为主元素 ,交换上式第一与第二个方程得 5x1 2x2 2x3 0 3x1 2x2 2x3 0 2x1 4x2 0 x3 0 (4.3.9) x1,并把主 用高斯 -若当消去法消去 -5 所在列中的 元素所在行调到最后 ,得 16 4 0 x1x2x3 55 16 4 0 x1x2x3 55 x1 2 x2 2x3 0 55 (4.3.10) 再以 16/5 为主元素 ,消去它所在列中的 x2 ,并把主 元素所在的行调到最后 ,得 0 x1 0 x2 0 x3 0

8、x1 0 x2 1 x3 2 2 3 0 x1 1 x2x3 4 (4.3.11) 这就是用高斯若当消去法实现把一组三个方程 简化为等价的一组两个独立方程的情形 .因为这 个等价的方程组包含两个独立的方程 ,而有三个 未知数，所以只要假定其中一个值 ,则其它两个 值就可以通过两个独立方程解出 .比如 ,令 x3 1, 则得到矩阵 A 的对应于 1 1的一个特征向量为 1 2 1 4 1 对另外两个特征值的对应特征向量求法与上述 对 1 1 的推导过程相同 . 计算机中实现求解这样的齐次线性方程组 的消去步骤是 ,用第 3 章讨论过的高斯 -若当消去 法的公式 ,方程组 (4.3.9)的系数矩阵

9、经过第一次 消去后的矩阵 B 为 16 4 55 B 16 4 55 22 55 (4.3.12) 以矩阵为方程组 (4.3.10)的系数矩阵 ,其中省略了 有 0 和 1 元素的第一列 . 在进行第二次消元之前 ,要应用完全主元素 措施对前两行进行最大主元素选择 ,然后再进行 必要的行或列交换 .每完成一次消元过程 ,总省略 只有 0 和 1 元素的第一列 ,并且计算机仅寻找矩 阵的前 n-k 行中的最大主元素 ,其中 k 是消元过 程应用的次数 .对(4.3.12)式再进行一次消元过程 则得到列矩阵 B1 (4.3.13) 此矩阵是对应于方程组 (4.3.11)的系数矩阵 ,不过 省略了含

10、 0 和 1 元素的前两列 .一般来说 ,最后矩 阵列的数目等于矩阵 A I 的阶数和秩的差值 . 由于方程组 (4.3.8)有三个未知数 ,两个独立 方程,所以计算机必须任意给定一个未知数的值 以便可以从其他两个独立方程中解出另外两个 未知数 .为方便，在计算机决定特征向量时 ,要恰 当地设定任意选取的未知数的值 .例如 ,令 x3 1 由方程组 (4.3.11)知道 ,其他两个分量的值正好能 从含 x3的非零系数项得出 .为此 ,从计算机所存储 的最终矩阵中 ,令 B1最上面的 0 元素为 -1,并把它 顺次调到最下面第三行的位置上 ,就得到所求的 特征向量 ( 1)T 在工程问题中 ,从

11、特征方程所求出的特征值 少数情形也有相同的 .一般地 ,当一个特征方程有 k 重根 时 ,矩阵 A I 的秩可能比其阶数少 1,或 2 或 3, ,或 k, 当然对应于 的线性无关的特征向量 的个数也就是 1,或 2,或 3, ,或 k,下面通过一个 特征值对应两个线性无关特征向量的例子进一 步说明计算机求特征向量的方法 设矩阵 A 为 324 A 2 0 2 423 其特征方程为 3 2 4 2 2 0 4 2 3 展开后得 2 ( 1) 2( 8) 0 所以特征值为 1 2 1, 3 8 为了决定 1 的特征向量 , 将 1 代入方程组 ( A I )x=0,得 4 2 4 x1 2 1

12、2 x2 0 4 2 4 x3 (4.3.14) 应用一次高斯 -若当消去法 ,得 0 0 0 x1 0 0 0 x2 0 1 1/2 1 x3 (4.3.15) 写成矩阵形式 ,(4.3.15)式的系数矩阵为 00 B 0 0 1/2 1 (4.3.16) 因为方程组 (4.3.15)的系数矩阵的秩为 1,它比矩 阵阶数少 2,因此对应于 1有两个线性无关的特 征向量 ,必须给两个未知数任意规定值 ,才能确定 这两个线性无关的特征向量 ,由( 4.3.15)式可看 出,一般总是选择 x2 1,x3 0求一个特征向量 ; 选择 x2 0,x3 1 求另一个特征向量 ; 这样有两个线性无 关的特

13、征向量 1/2 1 10 0 , 1 计算机中求两个线性无关的特征向量的办 法是,在(4.3.16)式的 B 中,把第一列中第一个 0元 素用-1 代替,第二列中第二个 0 元素也用 -1 代替, 然后把第一、第二行顺次调到最下面一行的位置 上，第三行自然就成了第一行， 如此调换后矩阵 的第一列和第二列就是所求的两个线性无关的 特征向量。对应于 1的全部特征向量为 1/2 1 k1 1 k2 0 01 其中 k1与k2是任意常数，且不同时为零。 为了说明列交换的必要性，避免主元素为 零，再举一个例子，设矩阵 A 为 2 8 12 A 1 4 4 0 0 1 其特征方程为 ( 2) ( 1) 0

14、 特征值为 1 2, 2 0, 3 1 对应于 2 的特征向量可由解下列方程组而求得 4 8 12 x1 1 2 4 x2 0 0 0 1 x3 (4.3.17) 用一次高斯 -若当消去法，得 0 0 1 x1 0 0 1 x2 0 1 2 3 x3 (4.3.18) 若不进行列交换， 则下一个消元过程只能在第一 行的第二个元素与第二行的第二个元素中找最 大主元素，而它们都是零， 我们不得不对 (4.3.17) 式进行列交换， 即交换未知数之间的次序， 之后 再进行消去过程 . 对(4.3.17)式进行列交换，即把绝对值最大系 数放在主元素位置， 显然是第一列与第三列的交 换，交换后成为 12 8 4 x3 4 2 1 x2 0 1 0 0 x1 (4.3.19) 其中未知数列矩阵中 x1与 x3 也进行了交换，这样 才能保证 (4.3.17)式与 (4.3.19)式等价，对 (4.3.19) 式进行一次高斯 -若当消去法，得 0 2/3 1/3 x3 0 2/3 1/3 x2 0 1 2/3 1/3 x1 (4.3.13) 再进行一次消去过程，得 000 x3 100 x20 011/2x1 (4.3.14) 在计算机中计算，剩下一个最终