(整理)曲线积分与曲面积分164730001

1、精品文档 第十章曲线积分与曲面积分 0 1对弧长的曲线积分 计算下列曲线积分： 1 （x? +y）ds，其中L是以0 （ 0，0），A（ 1，0），B（ 0，1）为顶点三角形边界. 2 Lxds，其中L为直线y=x与抛物线y=x2所围区域的边界. X2 十2； 3 e y ds，其中L为半圆0乞y乞詔- x的边界。 L（x y）ds，其中L为曲线弧x二t,y二t3 （0沁叮）。 2 2 5 (x + y)ds，其中L为双纽线P =a cos2申右面一瓣。 6 L ,2y2 z2ds，其中L为圆周 7 求曲线x二a, y二at, z二空t叮,a 0)的质量，设其线密度为 2 精品文档 0 2对坐

2、标的曲线积分 2 2 2 1计算（x +y ）dx，其中L为抛物线y=x上从点（0, 0）到点（1, 1）的一段弧。 2计算Lxdy，其中L是由坐标轴及直线 |=1所构成的三角形周界，方向为逆时针方 向。 3计算j 一xcosydx + ysinxdy，其中L为由点A（0，0）到点B（2兀，4兀）的线段。 2 2 x y 4计算（x + y）dx +（x -y）dy，其中L为依逆时针方向绕椭圆 + = 1 一周的路径。 La b 5计算 dx +dy，其中 L 为以 A( 1, 0), B( 0, M|+|y| 1), C (-1 , 0), D ( 0, -1 ）为顶点的 正方形边界，取正向

3、. f 到椭圆中心的 A （ a ， 0）移 6在椭圆x =acost, y =bsint上每一点M都有作用力F，大小等于从点 M 距离，而方向朝着椭圆中心，求质点P沿椭圆位于第一象限中的弧从点 动到点B（ 0，b ）时，力F所作的功。 03格林公式 XX 1 计算 L(e sin y+8y)dx + (e cosy 7x)dy，其中 L是从 o (0, 0)到 A (6, 0)的上 半圆周。 2 计算 I =(exsiny b(x + y)dx+ (ex cosy ax)dy，其中 a,b 为正常数，L 为从 A(2a,0)沿曲线 y = -.2ax - x2 到点 O(0,0)的弧。 3设

4、L为连接A（ 1，2），B（ 3，4）的某曲线弧，弧 L与其上方的直线 AB所围成的面积 为 m,试计算：I 二 L（2xey 1）dx （x2ey x）dy 的值。 4计算厂xd今，其中L为以点（1, 0）为中心，R为半径的圆周（R . 1），取逆时针 L 4x2 +y2 方向。 K 5设位于（0, 1）的质点A，对质点M的引力大小为 （K0为常数），r为质点A与M r 之间的距离，质点 M沿曲线y-X2自点B（ 2，0）运动到0（ 0，0）求质点A 对点M的引力所做的功。 6利用曲线积分计算星形线 x =acos3t, y =asin3t所围图形的面积。 7验证下列曲线积分与路径无关，并计

5、算其值。 x f （y）连续，曲线Lad是由圆弧 -1），D（ 1，2）。 | = （e （cosydx sin ydy），其中 L 是从 A（ 0,0）到 B（ a,b）的任意弧段。 I f (y) cosx _2ydx f(y)sinx_2xdy，其中 L AD Ab 及折线 BCD组成，其中 A（ 0，1）, B（ -1，1），C（ 0, 8 设f （xy）关于中间变量u二xy具有连续的一阶导数， 证明：沿任意分段光滑闭曲线 L曲 线积分 I = l f (xy)(ydx xdy) = 0 9求下列微分式的原函数： (x2 2xy-y2)dx (x2 -2xy _ y2)dy 22 (2

6、xcosy_y sinx)dx (2ycosx_x sin y)dy (3y -x)dx (y -3x)dy (x + y)3 10设f(x, y)在区域门5 /R2内可微，AdyJ, B(X2,y2)是内两点，L是以A为起点 B为终点的逐段光滑的有向曲线。 f讦 将.d dy改写成向量形式； L ;:x;:y 设A(x“ yj, B(x2, y2)都在第一象限，计算 x xdy - ydx 0 4对面积的曲面积分 4x y z 1计算 (2x y z)dS，其中匕为平面1在第一卦限中的部分。 V 3234 2计算I i(x y z)dS，其中Z为上半球面z = a2 - x2 - y2 3计

7、算n(x2 y2)dS，其中二为球面x2 y2 z2 = a2 4计算 n(x2 y2)dS，其中i为曲面z= x2 y2与平面z = 1所围成的立体的表面。 y 5设3为锥面z二,x2 y2在柱体x2 y2 2x内的部分，求曲面积分 .zdS 0 5对坐标的曲面积分 1设匕是平面x y z=-3被三坐标平面截下的部分的上侧，求： ！xdydz h(x y)dzdx！!yzdxdy 2 2 2设匕是平面z = 2 (x y - 4)的下侧，求 XXS iisin xdydz cosydzdx arctan?dxdy r2 3设匕是半球面 z1-x2-y2 的上侧，求JJ yzdzdx 4 把！

8、 iP(x, y, z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y, z)dxdy 化为对面积的曲面积分，其中3 y 为上半球面z =1 - x2 y2的上侧。 0 6高斯公式和散度 利用高斯公式计算下列曲面积分(1 5) 1 i ix2dydz y2dzdx zdxdy，其中 Z 是 z = 1 -xy2 4 z = . x2 y2 所围立体的 外表面。 2 ii(xcos= hycos ： zcos )dS，其中三是由z = x2 y2,z = 4所围立体的外表面, 2； COS，COS :,cos 是匕外法线方向的方向余弦。 3 I ix3dydz y2dzdx zdxdy，其

9、中匕是x2 y2 = 4,1,2所围立体的内表面。 y 2 2 2 4 .i.iyzdzdx 2dxdy，其中二是球面x y z - 4的外侧在z_0的部分。 y 2 z - - a2 - x2 -y2 的上侧。 5 axdydz+(a+z) dxdy，其中为下半球面 Z(x2y2z2)2 ,匕为空间立体i 的全表面, 匕分片光滑，n为其外法线向量, V为门 的体积，求证：VUdS J J n 7求F二xy,y2,3穿过曲面z=2-x - y (x y - 2)通量，曲面法向量向上。 8求下列向量场F的散度: F = xy, arctanexy, In(1 yz) -fc F =xy, yz,x 0 7斯托克斯公式和旋度 1 L 是闭折线 ABCA，求 zdx + xdy + ydz，其中 A(1,0,0), B(0,1,0),C (0,0,1)。 严2 2 L为曲线 0 FX +y ,从z轴的正方向看L沿顺时针方向，求 z = 1 ： L(y _z)dx (z _ x)dy (x _ y)dz L为曲线 从y轴的正方向看L沿逆时针方向，求 2 2 ;x ydx yz dy zxdz L为曲线 5求