缜密思考知识正迁移

1、缜密思考知识正迁移 在学习一种新知识或解决一类新问题时，往往依靠过 去已学过的知识或掌握的解题经验，去解决新问题，这种方 法就叫知识的正迁移 .近年来在数学中考中此类问题出现的 频率较高，它能较好地考查同学们自学的能力，下面举例加 以说明. 例 1 问题背景： 若矩形的周长为 1，则可求出该矩形面积的最大值 . 我 们可以设矩形的一边长为 x,面积为S则S与x的函数关系 式为：S=-x2+x（ x0）,利用函数的图像或通过配方均可求得 该函数的最大值 . 提出新问题：若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无 最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？ 分析问题：若设该矩形的一边长为 X，周长为y，

2、则y 与 x 的函数关系式为： y=2x+（ x0） ，问题就转化为研究该函 数的最大（小）值了 . 解决问题：借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数 y=2x+（ x0）的最大（小）值. （ 1） 实践操作： 填写下表， 并用描点法画出函数 y=2x+ （x0）的图像. ( 2) 观察猜想：观察该函数的图像，猜想当x= 时，函数y=2x+ (x0)有最值(填“大”或“小”)， 是. ( 3 ) 推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次 函数S=-x2+(x0)的最大值，请你尝试通过配方求函数 y=2x+ (x0)的最大(小)值，以证明你的猜想 .(提示：当x0 时， x=() 2) 【思路

3、突破】对于( 1) ，按照画函数图像步骤：列表、 描点、连线；对于( 2)，结合图表或函数图像，可知有最小 值，其值为 4；对于( 3)，可配成完全平方式的形式，从而 求出最值 . 解：( 1) 如图 2： (2) 由函数图像可知，其顶点坐标为( 1， 4)，故当 x=1时函数有最小值，最小值为4，故答案为：1、小、4； 即当 x=1 时， y 的最小值是 4. 【解后反思】在我们学习了一次函数、反比例函数及二 次函数图像的画法的基础上， 利用图像解决本题便不是很难 . 二次函数求最值的方法之一是配方，用模仿的方式将问题式 配方求最值是解题关键 . 本题设计新颖，不仅很好地考查了 图像的作法，

4、 还考查了知识的正迁移能力 . 在今后的复习中， 遇到没有思路的问题， 可以将其转化为已学过的知识去解决 . 例2如图3，在厶ABC中，AB=AC, P为底边BC上任意 一点，点P到两腰的距离分别为r1、r2，腰上的高为h，连 接 AP,贝y SA ABP+笙 ACP=SABC. r1+r2=h (定值). ( 1 ) 理解与应用 如图4，在边长为2的正方形ABCD中，点E为对角线 BD上的一点，且 BE=BC F为CE上一点，FM丄BC于M , FN 丄BD于N,试利用上述结论求出 FM+FN的长. ( 2) 类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形” ，那么P的 位置可以由 “在底

5、边上任一点” 放宽为“在三角形内任一点” ， 即： 已知等边厶ABC内任意一点P到各边的距离分别为 1、 r2、r3，等边 ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h (定值). ( 3) 拓展与延伸 若正n边形A1A2An内部任意一点P到各边的距离为 1、r2、rn，请问r1+r2+rn是否为定值，如果是，请 合理猜测出这个定值 . 【思路突破】仿照面积分割法，将三角形或多边形分成 若干个三角形，根据这些三角形面积的和等于整个图形的面 积，建立等量关系，便可求出结论 . 解：( 1 ) 理解与应用 连接AC交BD于0,则C0丄BD,由上述结论得： （ 2） 类比与推理 如图 6，连接 AP， BP， CP. SA ABP+A PBC+袒 ACP=S ABC, ?AB?r3+?BC?r1+?AC?r2 =?AB?h, AB=BC=AC r1+r2+r3=h. （ 3） 拓展与延伸 连接 PA1、PA2、PAn, SA A1A2P+SA PA2A3十+SA A1AnP=S正 n 边形 A1A2 An， 设正n边形的边长为a,边心距为r, 贝 ar1+ar2+ +arn=n?ar, r1+r2+rn