勾股定理竞赛培训题(含答案)

1、 .勾股定理竞赛培训题1、如图 1，abc 和cde 都是等腰直角三角形，c=90，将cde 绕点 c 逆时针旋转一个角度 （0 90），使点 a，d，e 在同一直线上，连接 ad，be（1）依题意补全图 2；求证：ad=be，且 adbe；作 cmde，垂足为 m，请用等式表示出线段 cm，ae，be 之间的数量关系；（2）如图 3，正方形 abcd 边长为到 bp 的距离，若点 p 满足 pd=1，且bpd=90，请直接写出点 a. .2、（1）问题发现：如图 1，acb 和dce 均为等边三角形，当dce 旋转至点 a，d，e 在同一直线上，连接 be，易证bceacd则bec；线段 a

2、d、be 之间的数量关系是（2）拓展研究：如图 2，acb 和dce 均为等腰三角形，且acbdce90，点 a、d、e 在同一直线上，若 ae15，de7，求 ab 的长度（3）探究发现：如图 3，p 为等边abc 内一点，且apc150，且apd30，ap5，cp4，dp8，求bd 的长. .3、如图 1，abc 中，cdab 于 d，且 bd：ad：cd=2：3：4，（1）试说明abc 是等腰三角形；（2）已 知 s =10cm ，如图2，动点m 从点 b 出发以每秒 1cm 的速度沿线段 ba 向点 a 运动，同2abc时动点 n 从点 a 出发以相同速度沿线段 ac 向点 c 运动，

3、当其中一点到达终点时整个运动都停止设点 m 运动的时间为 t（秒），若dmn 的边与 bc 平行，求 t 的值；若点 e 是边 ac 的中点，问在点 m 运动的过程中，mde 能否成为等腰三角形？若能，求出 t的值；若不能，请说明理由. .4、已知，abc 中，ac=bc， acb=90 ，d 为 ab 的中点，若e 在直线 ac 上任意一点，dfde，交直线 bc 于 f 点g 为 ef 的中点，延长 cg 交 ab 于点 h（1）若 e 在边 ac 上试说明 de=df；试说明 cg=gh；（2）若 ae=3，ch=5求边 ac 的长. .5、如图，在矩形 abcd 中，ab5，ad点，连

4、结 af，bf.，aebd，垂足是 e.点 f 是点 e 关于 ab 的对称(1)求 ae 和 be 的长(2)若将abf 沿着射线 bd 方向平移，设平移的距离为 m(平移距离指点 b 沿 bd 方向所经过的线段长度)当点 f 分别平移到线段 ab，ad 上时，直接写出相应的 m 的值(3)如图，将abf 绕点 b 顺时针旋转一个角 (0 180)，记旋转中的abf 为abf，在旋转过程中，设 af所在的直线与直线 ad 交于点 p，与直线 bd 交于点 q.是否存在这样的 p，q 两点，使dpq 为等腰三角形？若存在，求出此时 dq 的长；若不存在，请说明理由参考答案1、【分析】（1）根据

5、旋转的特性画出图象；由acd、 bce 均与dcb 互余可得出acd=bce，由abc 和cde 都是等腰直角三角形可得出 ac=bc、dc=ec，结合全等三角形的判定定理 sas 即可得出adcbec，从而得出 ad=be，再由bce=adc=135，ced=45即可得出aeb=90，即证出 adbe；依照题意画出图形，根据组合图形的面积为两个三角形的面积和可用 ae，be 去表示 cm；（2）根据题意画出图形，比照（1）的结论，套入数据即可得出结论【解答】解：（1）依照题意补全图 2，如下图（一）所示证明：acd+dcb=acb=90，bce+dcb=dce=90，. .acd=bceab

6、c 和cde 都是等腰直角三角形，ac=bc，dc=ec在adc 和bec 中，有，adcbec（sas），ad=be，bec=adc点 a，d，e 在同一直线上，cde 是等腰直角三角形，cde=ced=45，adc=180cde=135，aeb=becced=13545=90，adbe依照题意画出图形，如图（二）所示s +s =s +s ，caeabcebceab即acbc+becm=ae（cm+be），ac aebe=cm（aebe）2cde 为等腰直角三角形，de=2cm，aebe=2cm（2）依照题意画出图形（三）其中 ab=，dp=1，bd=ab=由勾股定理得：bp=3. .结合（

7、1）的结论可知：am=1故点 a 到 bp 的距离为 1【点评】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定及性质、三角形的面积公式、角的计算以及勾股定理，解题的关键：（1）结合题意画出图形；找出adcbec；利用分割法求组合图形的面积；（2）利用类比法借助（1）的算式求出结论本题属于中档题，（1）难度不大；难度不小，此处用到了分割组合图形求面积来找等式，该小问处切记线段ac 当成已知量；（2）利用类比的方法套入（1）的算式即可解决该题型题目时，画出图形，注意数形结合是关键2、解：（1）1202 分，adbe4 分（2）. .（3）如下图所示由（2）知becapc，be=ap5，bec=apc150

8、，apd=30，ap=5，cp=4，dp=8，apd=30，epc=60，bed=bec-pec=90，dpc120又dpedpcepc12060180，即 d、p、e 在同一条直线上de=dp+pe=8+4=12，be=5，bd 的长为 133、【考点】三角形综合题【分析】（1）设 bd=2x，ad=3x，cd=4x，根据勾股定理求出 ac 根据等腰三角形的判定定理解答；（2）根据三角形的面积公式求出三角形的三边长，根据等腰三角形的性质列式计算即可；（3）分 de=dm、ed=em、md=me 三种情况，根据等腰三角形的性质解答【解答】解：（1）设 bd=2x，ad=3x，cd=4x，在 r

9、tacd 中，ac=5x，又 ab=5x，ab=ac，abc 是等腰三角形；（2）s =abc5x4x=10cm ，解得，x=1cm，则 bd=2cm，ad=3cm，cd=4cm，ac=5cm，2当 mnbc 时，am=an，即 5t=t，t=2.5，当 dnbc 时，ad=an，则 t=3，故若dmn 的边与 bc 平行时，t 值为 2.5 或 3. .当点 m 在 bd 上，即 0t2 时，mde 为钝角三角形，但 dmde，当 t=2 时，点 m 运动到点 d，不构成三角形，当点 m 在 da 上，即 2t5 时，mde 为等腰三角形，有 3 种可能如果 de=dm，则 t2=2.5，t

10、=4.5，如果 ed=em，则点 m 运动到点 a，t=5，如果 md=me=t2，则（t2） （t3.5） =2 ，t=2，22综上所述，符合要求的 t 值为 4.5 或 5 或【点评】本题考查的是等腰三角形的判定和性质、三角形的三边关系以及勾股定理的应用，掌握等腰三角形的判定定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键4、【考点】全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理【分析】（1）连接 cd，推出 cd=ad，cdf=ade， a=dcb，证adecdf 即可；连接 dg，根据直角三角形斜边上中线求出 cg=eg=gf=dg，推出gcd=gdc，推出gdh=ghd，推出 dg

11、=gh 即可；（2）求出 ef=5，根据勾股定理求出 ec，即可得出答案【解答】解：（1）连接 cd，acb=90，d 为 ab 的中点，ac=bc，cd=ad=bd，又ac=bc，cdab，eda+edc=90，dcf=dae=45，dfde，edf=edc+cdf=90，ade=cdf，在ade 和cdf 中adecdf，. .de=df连接 dg，acb=90，g 为 ef 的中点，cg=eg=fg，edf=90，g 为 ef 的中点，dg=eg=fg，cg=dg，gcd=cdg 又cdab，cdh=90，ghd+gcd=90，hdg+gdc=90，ghd=hdg，gh=gd，cg=gh

12、（2）如图，当 e 在线段 ac 上时，cg=gh=eg=gf，ch=ef=5，adecdf，ae=cf=3，在 rtecf 中，由勾股定理得：，ac=ae+ec=3+4=7；如图，当 e 在线段 ca 延长线时，ac=ecae=43=1，综合上述 ac=7 或 1. .5、解 ：(1)在 rtabd 中 ，ab5，ad，由勾股定理，得 bd. s bdae abad，aeabd4.在 rtabe 中，ab5，ae4，由勾股定理，得 be3.(第 27 题图解)(2)设平移中的三角形为abf，如解图所示由对称点性质可知，12.由平移性质可知，abab，451，bfbf3.当点 f落在 ab 上

13、时，abab，34，312，bbbf3，即 m3；当点 f落在 ad 上时，abab，62.12，51，56.又易知 abad，bfd 为等腰三角形，bdbf3，bbbdbd3，即 m.m3 或（对一个得2 分）(3)存在理由如下：在旋转过程中，等腰dpq 依次有以下 4 种情形：如解 图所示，点 q 落在 bd 延长线上，且 pddq，易知22q. .(第 27 题图解)13q，12，3q aqab5，fqfaaq459.在 rtbfq 中，由勾股定理，得 bq3.(第 27 题图解)dqbqbd3.如解图所示，点 q 落在 bd 上，且 pqdq，易知2p.12，1p，bapd，则此时点 a 落在 bc 边上32，31，bqaq，fqfaaq4bq.在 rtbqf中，由勾股定理，得 bf fq bq ，222即 3 (4bq) bq ，解得 bq.dqbdbq.222如解图所示，点 q 落在 bd 上，且 pddq，易知34. .(第 27 题图解)23418