第2章光的衍射

1、 第二章 光的衍射 本课内容： 21光的衍射现象 22惠更斯菲涅耳原理 23菲涅耳半波带 21 光的衍射现象 光的衍射：光绕过障碍物偏离直线传播 方向进入几何阴影并在空间出现光强不 均匀分布的现象。 s a b a b e e s a b a b e e b b a a b b a a 光波波长为 3900埃 7600埃之间 一旦障碍物 或孔隙的尺 寸与波长差 不多 ! 波面：波面：位相相同的点的轨迹。位相相同的点的轨迹。 惠更斯原理：惠更斯原理：任何时刻波面上的点都可作为球面次波的波任何时刻波面上的点都可作为球面次波的波 源；在以后的任何时刻，所有这些次波波面的包络面形成源；在以后的任何时刻

2、，所有这些次波波面的包络面形成 该时刻的新波面。该时刻的新波面。 22 惠更斯-菲涅耳原理 平面波平面波 t+ t时刻波面时刻波面 u t 波传播方向波传播方向 t 时刻波面时刻波面 球面波球面波 t t + t 应用应用惠更斯原理惠更斯原理来解释光线偏离直来解释光线偏离直 线传播的现象：线传播的现象： a 惠更斯-菲涅耳原理： 1、波面s上所有的面元ds发出 的次波都有相同的初位相。 2、次波在p点的振动的振幅与 ds成正比，而与r成反比（球面 次波）。 3、次波在p点的振动的振幅还 与（ ）有关。 4、次波在p点的位相由光程 来决定。nr 在惠更斯原理的基础上，菲涅耳提出： ),(rn 惠

3、更斯-菲涅耳原理： r p s ds n 波面微元ds在p点产生的振动为： dstkr r qak cde)cos( )()( 整个波面 s 在 p 的振动： s dstkr r qak ce)cos( )()( 菲涅耳积分 衍射衍射 分类分类 菲涅耳衍射（近场衍射）：障碍物距离光源和观察 点有限远。 夫琅和费衍射（远场衍射）：障碍物距离光源和观 察点无限远。 菲涅耳衍射夫琅和费衍射 菲涅耳半波带 23 菲涅耳半波带 若以 a1，a2，a3，a4，ak 表示各个半波带发出的次波在 p 点产生的振幅，由于相邻两个半波带所发次波到达p点时 的相位相反，k 个半波带所发次波在 p 点叠加的合振幅 可

4、表示为： a k= a1- a2+a3- a4+(-1)k+1ak k k kk r s ka )( 倾斜因子k(k)随k的增大而减小。 根据菲涅耳原理得： k p rk b0 bk r0 r o k s k k kk r s ka )( k p rk b0 bk r0 r o k s 0 rr r r s k k 中，只有倾斜因子k(k)与k有关，但相邻半波带的k的变化甚微，因 而倾斜因子k(k)随k的增大而缓慢减小。 所以，各个半波带在p点产生振动的振幅ak随k的增大而缓慢减小， 其相位逐个相反。 另外，可以得到： 都是相同的。无关，它对每个半波带与即k r s k k 所以在等式 请 同

5、 学 们请 同 学 们 自自 己推一下！己推一下！ p100-101 )( 2 1 )1( 2 1 1 1 1kk k k aaaaa 结果： a1 a2 a3 a4 a5 a6 ak a1 a3 a5 ak a2 a4 a6 akak ak=(a1+ak)/2 ak=(a1 ak)/2 球面波各个半波带所发次波在p点的合振幅等于 第一个和最末个振幅之和或之差。 振幅矢量叠加图示： 半波带法求平面波衍射强度 相邻两个半波带所发次波到达p点时的相位相反，因 此在p点叠加的合振幅为两者之差（相抵消）。 4个半波带所发出 的次波在p点叠加 形成暗纹。 3个半波带所发出 的次波在p点叠加 形成亮纹。

6、再见！多谢合作。 24 菲涅耳衍射 一、圆孔衍射 如图，设通过圆孔的部分波面上有k个完整的菲涅耳波带， 第k个波带对应的圆孔半径: rk p r0 b0 r h o s hrrk hrrkr hrrr hrr k kk 00 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 22 2 2) 2 ( 2 )( rh hrr k 2 )( 222 0 02 rr rr k k 略去h 和的 二次项 反之，半径为的圆孔露出的完整菲涅耳波带数为: 0 02 rr rr k k ) 11 ( )( 0 2 0 0 2 rrrr rr k 这表明圆孔的部分波面上的菲涅耳波带数k取决以光的波长、圆孔的大 小和位置

7、、考察点p的位置，当光的波长 、圆孔的大小和位置r都给 定时，k取决于p点的位置。也就是说，对应于空间各点不同位置，圆 孔露出的波带数是不同的。 )( 2 1 ) 1( 2 1 1 1 1kk k k aaaaa 与k为奇数相对应的p点，合振幅较大（ak（a1+ak）/2 ；与k为偶数相 对应的p点，合振幅较小（ak（a1-ak）/2 ；如果k非整数，与它相对 应的那些点的合振幅介于上述最大值与最小值之间。 如果用平行光照射，与波带数对应的圆孔半径为: 最小，相对应的位置合振幅偶数， 最大，相对应的位置合振幅奇数， )( 2 1 )( 2 1 1 1 k k aaa aaa k 0 kr k

8、0 02 rr rr k k 2 111 2 11 1 42 0 aiaaaak a i a aak k k ，仅露出第一个波带， ，完全无遮蔽， 特例 讨论讨论: 相当于露出无 穷多个半波带 使圆孔只露出一个波带相对应的位置的光强是完全无遮蔽时光强的使圆孔只露出一个波带相对应的位置的光强是完全无遮蔽时光强的4倍倍! 为什么通常情况下不容易观测到衍射花样？（阅读p104） 二、圆屏衍射 b0 0 p o 2 1 k a a 设圆屏遮蔽了第1k个波带，从第k+1个波带开始的其余波 带所发的次波在p点的叠加为: 2 1 k a a 在圆屏几何影子中心的合振幅都为: b0 0 p o 泊松亮点 光屏

9、 圆屏 ) 11 ( 0 2 rr k 改变圆屏的大小或改变光屏的位置，被遮蔽的波带数 k 将 发生变化，因而圆屏对称轴上各点的光强不相同，但几何 影子中心总是亮的这一事实不变，此点称为泊松亮点。 k变小，ak变大，p点变亮 k变化，ak变化，p点光强变化 2 1 k a a 圆屏的作用能使点光源成实象。 b0 0 p o 光屏 圆屏 点光源的象 点光源 三、菲涅耳波带片 一种屏，只让对应于所观察的点为奇数的半波带或者偶 数的半波带所发的光通过，象这样的光学元件叫菲涅耳菲涅耳 波带片。波带片。 这样， 由于各波带上相应的各点到达观察点的光 程差为波长的整数倍， 它们所发次波在该点振动的位相 相

10、同，其合振动为： 2, 1, 0 12 kaa k kk 3 , 2, 1 2 kaa k kk 菲涅尔透镜的内容留给同学生自学 ！ 作业: p148-2 、4 例题一（习题例题一（习题2-3） 1) 101 1 101 1 ( 105000 5 . 0 ) 11 ( 337 2 0 2 rr k 4) 101 1 101 1 ( 105000 1 ) 11 ( 337 2 0 2 rr k 光阑对p点只露出第2、3、4个半波带，因此p点的合振幅： a=a2-a3+a4a1 无光阑时，p点的合振幅：a0=a1/2 所以，这两种情况下p点的光强之比：i/i0=4 解 光阑内外孔径对应的半波带数：

11、 例题二（习题2-6） 解 点光源经波带片成的像点的光强度为： 1 99 0 12 100a aa k kk 2 10 40000ai 点光源经透镜成的像点的光强度为： 10 200aa 两光强度之比为： 4 1 40000 10000 2 1 2 1 0 a a i i 透镜的等透镜的等 光程性光程性 ！ 再见！多谢合作。 26 夫朗和费单缝衍射 一、实验装置与衍射花样的特点： l2 f b/ b l1 s 氦氖激光器扩束器 图2-15 f l2的焦平面的焦平面 夫朗和费单缝衍射实验装置图 单缝中包含一个半波带： 单缝中包含两个半波带： 单缝中包含三个半波带： 二、强度的计算： l2 p0

12、p f f x dx b/ b 图2-17 o n 衍射角 m d 如图，缝宽为 b，a0为狭缝所发次波在= 0 的方向上传播的总振幅， 设波面 bb/ 各点的初位相为零，n到p的光程为，d x上各点所发次 波在 p 点叠加的合振动为： )sincos( )sin(cos 0 0 tkxk b dxa xkt b dxa dep l2 p0 p f f x dx b/ b o n 衍射角衍射角 m d t b dxa de m cos 0 d x上各点所 发次波的合振 幅 a0 复数表示为: sin0ikxtiik eedxe b a de 因为bd平面各点到p点的光程相等而与x无关，因而狭缝

13、 bb/波面上各点所发次波在p点叠加的合振动 ) sin ( 0 0 sin 0 ) sin ( ) sin sin( tk b i b ikxtikik pp e b b a dxeee b a dee 合振动的 位相 合振动的 振幅 p点的合振幅: cua u u a b b aa sin sin ) sin ( ) sin sin( 0 0 0 p点的光强为: uciucaai 2 0 22 0 2 sinsin sin b u 令 叫做u的 sinc函数 三、衍射花样的光强分布： 因为光强与衍射角或u有关，不同的衍射角或u对应于光 屏上不同的点，因此光屏上各点的光强不相等。 ucii

14、2 0 sin 设，di / du = 0，可得光强的极值点位置有两组解： tguu u0sin ），位置（，对应于次最大值 ），位置（，对应于最小值 位置，对应于最大值 21) 2 1 (sin ) 2 1 ( 21sin0 0sin 000 22 0 0 00 k b k k i k b k i k k /-( / )2( / )-2( / ) 0.0470.017 1 i / i0 0 0.0470.017 sin /-( 2( / )-2( / ) 0.0470.017 i / i0 0 相对光强曲线相对光强曲线 0.0470.017 sin b b b b 总强度的80% 位置，对应

15、于， 位置，对应于， 位置，对应于， b ui b ui b ui i 47. 3sin47. 30083. 0 46. 2sin46. 20165. 0 43. 1sin43. 10472. 0 30300 20200 10100 i / i0 u 432-2-3-40 u=3/2 i/i0=0.0472 u=-3/2 i/i0=0.0472 u=-5/2 i/i0=0.0165 u=-7/2 i/i0=0.0083 u=5/2 i/i0=0.0165 u=7/2 i/i0=0.0083 各级次最大值的位置及其强度值： 单缝衍射花样的特点：单缝衍射花样的特点： 1）衍射花样是一组与缝平行的明

16、、暗相间的直条纹。 2）中央最大值的光强最大，次最大值光强随级数k0的增大减小。 3）条纹角宽度：亮条纹两边到透镜中心所张的角度。它等 于相邻两暗纹对透镜中心的角位置之差。 bb k b k kkkk ) 1(sinsin 11 a a a f f 2 a 中央亮纹的角宽度是其它亮纹的2倍： bbb 2) 1(1 110 4）最小值（暗条纹）间是等间距的，而次最大值彼此是 不等间距的（近似等间距）。 f b ftgftgfl kkkk )sin(sin 11 中央明纹中央明纹 k+ 1 f x o x o k 5） 各级亮条纹的位置和角宽度都与波长有关，不 同波长产生的衍射花样（除中央亮纹外）

17、将彼 此错开，因此白光产生的衍射花样除中央亮条 纹外都呈彩色条纹状。因为中央亮纹的角宽度 与波长有关，因而中央亮纹的边缘也伴有彩色 . 6） 中央亮条纹的半角宽度为 ，当缝的宽 度 b 时，则有0， 衍射花样为一亮 线，衍射现象可被忽略-直线传播 ! b 【例一】（习题27）波长为4800 的平面波垂直照射到宽度为0.4mm 的狭缝上，会聚透镜的焦距是60cm。分别计算当缝的边缘a、b到 p 点的位相差分别为/2和/6时，p点离焦点的距离。 【解】：如图所示，缝的边缘a、b所发次波在p点的位相差为: f y a a 2 sin 2 2 p点离透镜的焦点p0的距离为: cm a f y018.0

18、 2104.02 60104800 2 1 8 1 cm a f y006.0 6104.02 60104800 2 1 8 2 【例二】（习题28）白光形成的单缝衍射中，其中某一 波长的第三个次最大值与波长为6000的光波的第二个次 最大值重合，求该光波的波长。 【解】：由题意并根据单逢衍射次最大值条件： 6 .42856000 7 5 ) 2 1 3 ( 6000 ) 2 1 2( bb b k ) 2 1 (sin 0 得该波长为： 【例三】（210）钠光通过 0.2mm 宽的狭缝后投射到与缝相距 300cm 的照相版上，所得的第一最小值与第二最小值的间距是 0.885cm，问 钠光的波

19、长为多少？ 若改成波长为 1 的x射线 ，版上两个最小值的 间距为多少 ？ 【解】：如图，两最小值之间的距离为： mm f yb b ff tgtgf yyy 4 12 12 109 . 5 10300 10885. 02 . 0 )( a a a f f 2 a 若用=1埃的x射线，两最小值的间距为： cm b ff tgtgfy 4 1 8 12 105 . 1 102 . 0 101 300 )( 作业：作业：p p149149 - 8- 8、9 9 27夫朗和费圆孔衍射 s 1 l 光源光源 s 1 l 光源光源 r 障碍物障碍物 r 障碍物障碍物 e 接收屏接收屏 2 l f e 接

20、收屏接收屏 2 l f 圆孔衍射在屏上任一点的光强： 为圆孔半径。， r r m k m k ai k k k sin )!1( 1 )1( 1 22 1 12 0 为一阶贝塞耳函数符号 1 2 2 1 0 2 2 12 0 2 2 1 2 0 )2()2( ) sin ( ) sin2 ( j m mj i m mj a r r j ai 用一阶贝塞耳函数符号表示，则： 由上式可得光强各极值对应位置： 位置，对应于 位置，对应于 位置，对应于 光强为次最大值 ，对应位置于光强为最小值 位置，对应于光强为最大值 r i r i r i r r r i i 847. 1sin0016. 0 33

21、3. 1sin0042. 0 819. 0sin0175. 0 619. 1sin 116. 1sin 610. 0sin 0 0sin 300 200 100 3 2 1 00 0 0.610 1.1161.619 0.017 5 0.004 2 0.001 6 0.819 1.3331.814 sin 1 i/i0 r r r r r r 夫朗和费圆孔衍射光强分布曲线：夫朗和费圆孔衍射光强分布曲线： 1）衍射花样是一组同心的明暗圆环 2）爱里斑（s.g.airy,18011892）：中央亮斑称 为爱里斑 ，它的光强占整个入射光束总光强的 84，其半角宽度为（等于第一级最小值的角位置）: d

22、r 22. 1610. 0sin 11 爱里斑线半径（线宽度）： f d tgfl 22. 1 1 再见！多谢合作。 l2 p0 p f f o 衍射角 缝数n 缝宽b 光栅常数 d = a + b 28 平面衍射光栅 实验装置及定性解释: 1）多缝衍射花样出现一系列最小值、主最大和次最大。 2）主最大位置与缝数无关，其宽度随n增大而减小，其强度正比于n2。 3）相邻主最大之间有n-1条暗纹和n-2个次最大。 4）多缝衍射光强曲线的包迹（“轮廓”）与单逢衍射强度曲线形式一样。 i sin 0-2-112( /b) i sin 0-2-112( i sin 0 48-4-8 ( /d ) 单缝衍

23、射单缝衍射 光栅衍射光栅衍射 光强曲线光强曲线 n = 4 d = 4b i sin 0 48-4-8 ( /d ) 轮廓线轮廓线 光强曲线光强曲线 光栅衍射的强度分布光栅衍射的强度分布: 由附录2-3可得焦平 面上p点处的合振幅 和 光强分别为： o p 焦距焦距 f dsin d o p 焦距焦距 f dsin d )sinsin( )sin(sin sin )sinsin( 0 d d n b b aa 2 2 22 0 sin sin sin n ucai 式中的 sin d v ) 2 1 (sin ) 2 1 (sin sin 2 2 22 0 n ucai 2 2 22 0 si

24、n sin sin n ucai 相邻两缝对应点到观察点的位相差： 2 sin 2sin 22 d d 所以： 单缝衍射因子单缝衍射因子 缝间干缝间干 涉因子涉因子 光栅衍射的光强是单逢衍射因子和缝间干涉因子的乘积。光栅衍射的光强是单逢衍射因子和缝间干涉因子的乘积。 sin 0 i i0 -2-11 2 ( /a) 单缝衍射光强曲线单缝衍射光强曲线 i n 2i0 0 48-4-8 sin ( /d) 单缝衍射单缝衍射 轮廓线轮廓线 光栅衍射光栅衍射 光强曲线光强曲线 sin n 2 sin2n /sin2 0 4-8-48 ( /d) 多光束干涉光强曲线多光束干涉光强曲线 a4d , 4n

25、光强的合成：光强的合成： 1、单缝衍射最小 值位置（对各缝 而言都重合）： )21( sin ， k b k 2、主最大值的 位置： )210( sin ， j d j sin 0-2-112( /b)sin 0-2-112( i sin 0 48-4-8 ( /d ) i sin 0 48-4-8 ( /d ) 轮廓线轮廓线 3、多缝干涉最小值位置： ），（nnj nd j20sin 主最大值的半角宽度随n增大而减小： i sin 0-2-112( /b) i sin 0-2-112( i sin 0 48-4-8 ( /d ) 光栅衍射光栅衍射光强曲线：光强曲线： n = 4 ，d = 4

26、b i sin 0 48-4-8 ( /d ) 轮廓线轮廓线 ndd j nd jn ) 1( 其它级次谱线的半其它级次谱线的半 角宽度的求法可参角宽度的求法可参 见教科书见教科书p133 ！ 光栅方程： 谱线的位置（主最大位置）： )210(sin， jjd )210(sin，j d j 上式称为光栅方程光栅方程，j 称谱线的级数。 i 3级 级 0级 级 1级 级 -1级 级 -3级 级 缺缺2级级缺缺-2级级 0 d b d 3 b 2 d b d 3 b 2 sin i 3级 级 0级 级 1级 级 -1级 级 -3级 级 缺缺2级级缺缺-2级级 单缝衍射光强单缝衍射光强 0 d d 3 d d 3 d 4 d 2 d 2 d 4 n = 2 d = 2b i sin 0 48-4-8 ( /d ) n = 4 d = 4b i sin 0 48- -1 -8 ( /d ) )21(sin， k b k )210(sin，j d j )(kj b k d j ），（21 k b d kj sin ( sin ( /b )1 2 -2 谱线的缺级：谱线的缺级： 同时满足方程 求出缺级公式： 04 -5 -7 i/i