第三章点、直线、平面的投影

1、第三章第三章 点、直线、平面的投影点、直线、平面的投影 chapter 3 projection of a point, straight lines 3-1 点的投影点的投影 3-2 直线的投影直线的投影 7-3 平面的投影平面的投影 7-4 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 第一节第一节 点的投影点的投影 projection of a point 点是组成立体最基本的几何要素。为了迅点是组成立体最基本的几何要素。为了迅 速而正确地画出立体的三面投影，必须掌握点速而正确地画出立体的三面投影，必须掌握点 的投影规律。的投影规律。 一、一、点的三面投影点的三面投影 the

2、projections of a point in three projection planes system 点的三面投影点的三面投影 二、点的三面投影与直角坐标的关系二、点的三面投影与直角坐标的关系 the relation between the projection of a point and rectangular coordinate system 由上图可知，由上图可知，a点的三个直角坐标点的三个直角坐标xa、ya、za即为即为 a点到三个坐标面的距离，它们与点到三个坐标面的距离，它们与a点的投影点的投影a、a 、 a 的关系如下：的关系如下： xa = aza = ayha

3、 =点点a与与w面的距离面的距离a a ya = axa = az a =点点a与与v面的距离面的距离a a za = axa = aywa =点点a与与h面的距离面的距离aa 三、点的三面投影的投影规律三、点的三面投影的投影规律 the rules for a point projected in the three-projection planes system 根据以上分析可以得出点的投影规律如下：根据以上分析可以得出点的投影规律如下： （1）a aox，aza = ayha = xa。 （2）a a oz，axa = aywa = za。 （3）axa = aza = ya。 为了作

4、图方便，可用过点为了作图方便，可用过点o的的45辅助线，辅助线，ayha、 aywa 的延长线必与这条辅助线交会于一点。的延长线必与这条辅助线交会于一点。 点的投影规律是点的投影规律是“长对正、高平齐、宽相等长对正、高平齐、宽相等”的投的投 影规律的另一表述。影规律的另一表述。 例例3-1 如图所示，已知如图所示，已知a点的两个投影点的两个投影a和和a ，求，求a 。 分析：由点的投影规律可知，已知点的两个投影，便可确分析：由点的投影规律可知，已知点的两个投影，便可确 定点的空间位置，因此，点的第三个投影是唯一确定的。定点的空间位置，因此，点的第三个投影是唯一确定的。 x z yw yh o

5、a a w h o y z xy a a a 作图：作图： （1）过）过a 向右作水平线，过向右作水平线，过o点作点作45辅助线；辅助线； （2）过）过a作水平线与作水平线与45辅助线相交，并由交点向上引铅辅助线相交，并由交点向上引铅 垂线，与过垂线，与过a 的水平线的交点即为的水平线的交点即为a 。 四、两点之间的相对位置四、两点之间的相对位置 relative position of two points 两点在空间的相对位置，由两点的坐标差来确定。两点在空间的相对位置，由两点的坐标差来确定。 两点的左、右相对位置由两点的左、右相对位置由xaxb确定。由于确定。由于xaxb，因此，因此 点

6、点a在点在点b的左方；的左方； 两点的前、后相对位置由两点的前、后相对位置由yayb确定。由于确定。由于yayb，因此，因此 点点a在点在点b的前方；的前方； 两点的上、下相对位置由两点的上、下相对位置由zazb确定。由于确定。由于zazb，因此点，因此点 a在点在点b的左方。的左方。 两个点的相对位置两个点的相对位置 点点a在点在点b的左、前、下方，反过来说，就是点的左、前、下方，反过来说，就是点b 在点在点a的右、后、上方。的右、后、上方。 五、重影点五、重影点 coincident points 共处于同一条投射线上的两点，必在相应的投影面上共处于同一条投射线上的两点，必在相应的投影面上

7、 具有重合的投影。这两个点被称为对该投影面的一对重影具有重合的投影。这两个点被称为对该投影面的一对重影 点。点。 重影点的可见性需根据两点不重影的投影的坐标大小来判重影点的可见性需根据两点不重影的投影的坐标大小来判 断。即：断。即： 当两点在当两点在v面的投影重合时，需比较其面的投影重合时，需比较其y坐标，坐标，y坐标大者坐标大者 可见；可见； 当两点在当两点在h面的投影重合时，需比较其面的投影重合时，需比较其z坐标，坐标，z坐标大者坐标大者 可见；可见； 当两点在当两点在w面的投影重合时，需比较其面的投影重合时，需比较其x坐标，坐标，x坐标大者坐标大者 可见。可见。 图中，图中，a 、b 重

8、合，从水平和侧面投影可知重合，从水平和侧面投影可知，a 在前在前，b在后，即：在后，即：yayb，所以对，所以对v面来说，面来说，a可见，可见， b不可见。在投影图中，对不可见的点，需用括号表不可见。在投影图中，对不可见的点，需用括号表 示，因此，对不可见点示，因此，对不可见点b的的v面投影，加括号表示为面投影，加括号表示为 (b )。 第二节第二节 直线的投影直线的投影 projection of straight lines 一、直线投影的基本特性一、直线投影的基本特性 general characteristics of line projection （1）当直线）当直线ab垂直于投影

9、面时，它在该投影面上的垂直于投影面时，它在该投影面上的 投影投影ab变为一个点变为一个点a(b)。直线上所有点的投影都。直线上所有点的投影都 与与a(b)重合。这种性质称为积聚性。重合。这种性质称为积聚性。 （2）当直线）当直线ab平行于投影面时，它在该投影面上的平行于投影面时，它在该投影面上的 投影投影ab反映实长，即投影长度与空间长度相等。反映实长，即投影长度与空间长度相等。 （3）当直线）当直线ab倾斜于投影面时，它在该投影面上的倾斜于投影面时，它在该投影面上的 投影投影ab长度缩短。长度缩短。 直线投影的基本特性直线投影的基本特性 二、直线的三面投影二、直线的三面投影 three-pr

10、ojection drawing of lines （1）直线的投影一般仍为直线。）直线的投影一般仍为直线。 （2）直线的投影可由直线上两点的同面投影来确定。）直线的投影可由直线上两点的同面投影来确定。 直线的三面投影直线的三面投影 例例3-23-2 如图所示，求作三棱锥的如图所示，求作三棱锥的w面投影。面投影。 分析：求作平面立体的投影图，可归结为求作它的所分析：求作平面立体的投影图，可归结为求作它的所 有顶点和棱线的投影。有顶点和棱线的投影。 作图步骤：作图步骤： 方法一：方法一： （1）绘制投影轴，求作三棱锥各顶点的）绘制投影轴，求作三棱锥各顶点的w面投影，如图面投影，如图 (b)所示；

11、所示； （2）连接各顶点的）连接各顶点的w面投影面投影,并判别可见性并判别可见性,即得三棱锥的即得三棱锥的 w面投影，如图面投影，如图 (c)所示。所示。 方法二：方法二： （1）过）过s 向右作水平线向右作水平线，并在右方适当位置确定并在右方适当位置确定s , 如图如图 (d) ； （2）过其余三顶点的正面投影向右作水平线，将水平投影上）过其余三顶点的正面投影向右作水平线，将水平投影上 的的y1、y2值移至侧面投影上，得到其余三顶点的值移至侧面投影上，得到其余三顶点的w面投影，面投影， 如图如图 (e) ； （3）连接各顶点的）连接各顶点的w面投影，判别可见性面投影，判别可见性,即得三棱锥的

12、即得三棱锥的w面面 投影，如图投影，如图 (f) 。 二、直线对投影面的相对位置二、直线对投影面的相对位置 relative position of a line to projection plane （一）一般位置的直线（一）一般位置的直线 对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。一般对三个投影面都倾斜的直线，称为一般位置直线。一般 位置直线其投影特征为：位置直线其投影特征为： （1）一般位置直线的各面投影均与投影轴倾斜；）一般位置直线的各面投影均与投影轴倾斜； （2）一般位置直线的各面投影的长度均小于实长。）一般位置直线的各面投影的长度均小于实长。 （二）特殊位置直线（二）特殊位置直

13、线 1.投影面平行线投影面平行线 平行于一个投影面而对其他两个投影面倾斜的直线，平行于一个投影面而对其他两个投影面倾斜的直线， 统称为投影面平行线。统称为投影面平行线。 直线与投影面的夹角，叫直线对投影面的倾角，并以直线与投影面的夹角，叫直线对投影面的倾角，并以 、分别表示对分别表示对h、v、w面的倾角，见下表。面的倾角，见下表。 2.投影面垂直线投影面垂直线 垂直于一个投影面的直线，统称为投影面垂直线。垂直于一个投影面的直线，统称为投影面垂直线。 垂直于垂直于h面的直线，称为铅垂线，面的直线，称为铅垂线， 垂直于垂直于v面的直线，称为正垂线，面的直线，称为正垂线， 垂直于垂直于w面的直线，称

14、为侧垂线。面的直线，称为侧垂线。 立体上各种位置的直线立体上各种位置的直线 。 投影面垂直线的投影特性列于表下中。投影面垂直线的投影特性列于表下中。 三、直线上点的投影三、直线上点的投影 the projection of points on a line 由正投影的基本性质可知，直线上点的投影必然同时满由正投影的基本性质可知，直线上点的投影必然同时满 足从属性和定比性。足从属性和定比性。 从属性从属性 ：点在直线上，则点的各个投影必定在直线的同面投点在直线上，则点的各个投影必定在直线的同面投 影上，反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则点一影上，反之，点的各个投影在直线的同面投影上，则点一

15、 定在直线上。直线定在直线上。直线ab上有一点上有一点c，则，则c点的三面投影点的三面投影c、c 、 c 必定分别在直线必定分别在直线ab的同面投影的同面投影ab、a b 、a b 上。上。 定比性：定比性：点分割线段成比例投影后保持不变。点点分割线段成比例投影后保持不变。点c把线段把线段ab 分成分成ac和和cb两段，则两段，则ac:cb= ac : cb = a c : c b = a c : c b 。 直线上点的投影直线上点的投影 例例3-33-3 如图所示，求作三棱锥的三条棱线如图所示，求作三棱锥的三条棱线sa、sb、sc上的点上的点 d、e、f的另二面投影。的另二面投影。 分析：点

16、分析：点d、e、f分别在直线分别在直线sa、sb、sc上，其中上，其中sa、sc 为一般位置直线，可根据直线上点的为一般位置直线，可根据直线上点的“从属性从属性”直接求解；直接求解； sb为侧平线，应根据为侧平线，应根据“从属性从属性”先求先求e点的侧面投影，再根点的侧面投影，再根 据据“宽相等宽相等”求其水平投影，也可根据直线上点的求其水平投影，也可根据直线上点的“定比性定比性” 作比例直接求其水平投影。作比例直接求其水平投影。 作图：作图： (1) 分别过分别过d 、f 向右作水平线，与向右作水平线，与s a 、s c 的交点就的交点就 是是d 、f ；分别过；分别过d 、f 向下作铅垂线

17、，与向下作铅垂线，与sa、sc的的 交点就是交点就是d、f， 如图如图(b)所示；所示； (2) 过过e 向右作水平线，与向右作水平线，与s b 的交点就是的交点就是e ；将侧面投；将侧面投 影的影的y值移至值移至sb上，得上，得e，如图，如图 (b)所示；或过所示；或过b任作一任作一 斜线，在斜线上量取斜线，在斜线上量取be0 = b e 、e0s0 = e s ，连，连s0s， 并过并过e0作作e0es0s，交点就是，交点就是e，如图，如图 (c)所示。所示。 四、两直线的相对位置四、两直线的相对位置 relative position of two lines 空间两条直线间的相对位置有

18、平行、相交和交叉空间两条直线间的相对位置有平行、相交和交叉 三种情况，其投影特性如下：三种情况，其投影特性如下： (一一) 平行两直线平行两直线 若空间两直线相互平行，则它们的同面投影也一定相互若空间两直线相互平行，则它们的同面投影也一定相互 平行。平行。 如图如图 (a)、(b)所示，若所示，若abcd，则，则abcd、a b c d 、 a b c d 。 反之，如果两直线的三个投影都互相平行，则可判定它反之，如果两直线的三个投影都互相平行，则可判定它 们在空间互相平行。们在空间互相平行。 (a) (b) (c) (二二) 相交两直线相交两直线 空间相交的两直线，它们的三个投影都具有交点且

19、交点空间相交的两直线，它们的三个投影都具有交点且交点 为同一点的三个投影。为同一点的三个投影。 如图如图 (a)、(b)所示，直线所示，直线ab和和cd相交于相交于k，则，则k一定是一定是 ab和和cd的交点，的交点，k 一定是一定是a b 和和c d 的交点，的交点，k 一定是一定是a b 和和 c d 的交点。的交点。 反之，如果两直线的三个投影都相交，且交点符合点的反之，如果两直线的三个投影都相交，且交点符合点的 投影规律，则可判定它们在空间一定相交投影规律，则可判定它们在空间一定相交 (a)(b) (c) (三三) 交叉两直线交叉两直线 在空间既不平行又不相交的两直线，叫交叉两在空间既

20、不平行又不相交的两直线，叫交叉两 直线。直线。 如果两直线的投影不符合平行或相交两直线如果两直线的投影不符合平行或相交两直线 的投影规律，则可判定为空间交叉两直线。的投影规律，则可判定为空间交叉两直线。 从图从图(a)、(b)中可以看出：中可以看出：ab、cd的交点实际的交点实际 上是上是ab上的上的点和点和cd上的上的点这对重影点在点这对重影点在h面面 上的投影。由于上的投影。由于zz，对水平投影来说，对水平投影来说，是可是可 见的，见的，是不可见的，故记为是不可见的，故记为2(1)。a b 、c d 的交的交 点是点是cd上的上的点和点和ab上的上的点这对重影点在点这对重影点在v面面 上的

21、投影。由于上的投影。由于yy，对正面投影来说，对正面投影来说，是可是可 见而见而不可见，故记为不可见，故记为3 (4 )。 图（图（c）为房屋实例中的交叉线，其中）为房屋实例中的交叉线，其中ab与与cd，ab与与 ef为两组交叉直线。为两组交叉直线。 我们已经知道，共处于同一投射线上的点，在该投射我们已经知道，共处于同一投射线上的点，在该投射 方向上是重影点。对于交叉两直线来说，在三个方向上都方向上是重影点。对于交叉两直线来说，在三个方向上都 可能有重影点。重影点这一概念常用来判别可见性。可能有重影点。重影点这一概念常用来判别可见性。 (a)(b)(c) 第三节第三节 平面的投影平面的投影 p

22、rojection of planes 不属于同一直线的三点可确定一个平面。平面图形的边和不属于同一直线的三点可确定一个平面。平面图形的边和 顶点，是由一些线段及其交点组成的。因此，这些线段投影的顶点，是由一些线段及其交点组成的。因此，这些线段投影的 集合，就表示了该平面。先画出平面图形各顶点的投影，然后集合，就表示了该平面。先画出平面图形各顶点的投影，然后 将各点同面投影依次连接，即为平面图形的投影，如下图所示。将各点同面投影依次连接，即为平面图形的投影，如下图所示。 （1）平面倾斜于投影面时，它在投影面上的投影与平面图形）平面倾斜于投影面时，它在投影面上的投影与平面图形 类似，称为类似性，

23、如图类似，称为类似性，如图 (a) 所示；所示； （2）平面垂直于投影面时，它在投影面上的投影积聚为一条）平面垂直于投影面时，它在投影面上的投影积聚为一条 直线，称为积聚性，如图直线，称为积聚性，如图 (b) 所示；所示； （3）平面平行于投影面时，它在投影面上的投影反映实形，）平面平行于投影面时，它在投影面上的投影反映实形， 称为实形性，如图称为实形性，如图 (c) 平面投影的基本特性平面投影的基本特性 一、平面的投影基本特性一、平面的投影基本特性 general characteristics of plane projection 二、平面对投影面的各种相对位置二、平面对投影面的各种相对

24、位置relative positions of a plane to all of the three-projection planes （一）一般位置平面（一）一般位置平面 对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。对三个投影面都倾斜的平面，称为一般位置平面。 （二）特殊位置平面（二）特殊位置平面 （1）投影面平行面）投影面平行面 平行于一个投影面的平面，统称为投影面平行面。平行于一个投影面的平面，统称为投影面平行面。 平行于平行于h面的平面，称为水平面；面的平面，称为水平面； 平行于平行于v面的平面，称为正平面；面的平面，称为正平面； 平行于平行于w面的平面，称为侧平面。面的平面，称为

25、侧平面。 它们的投影特性列于下表中。它们的投影特性列于下表中。 上图中上图中abc为一般位置平面。由于为一般位置平面。由于abc对三对三 个投影面都倾斜，所以它的各面投影虽然仍为三角个投影面都倾斜，所以它的各面投影虽然仍为三角 形，但都不反映实形，而是原平面图形的类似形形，但都不反映实形，而是原平面图形的类似形 。 （二）投影面垂直面（二）投影面垂直面 垂直于一个投影面而对其他两个投影面倾斜的平垂直于一个投影面而对其他两个投影面倾斜的平 面，统称为投影面垂直面。面，统称为投影面垂直面。 平面与投影面的夹角，叫平面对投影面的倾角，平面与投影面的夹角，叫平面对投影面的倾角， 并以并以、分别表示对分

26、别表示对h、v、w面的倾角。面的倾角。 垂直于垂直于h面，对面，对v、w面倾斜的平面，称为铅垂面；面倾斜的平面，称为铅垂面； 垂直于垂直于v面，对面，对h、w面倾斜的平面，称为正垂面；面倾斜的平面，称为正垂面； 垂直于垂直于w面，对面，对h、v面倾斜的平面，称为侧垂面。面倾斜的平面，称为侧垂面。 它们的投影特性列于表下中。它们的投影特性列于表下中。 立体上的各种位置平面如图下所示。立体上的各种位置平面如图下所示。 请读者自行分析图中立体上的正垂面和侧垂面以及图立请读者自行分析图中立体上的正垂面和侧垂面以及图立 体上的正平面和侧平面。体上的正平面和侧平面。 例例3-4 如图如图3-18(a)所示

27、，求作三棱柱的所示，求作三棱柱的w面投影。面投影。 分析：作平面立体的投影图，分析：作平面立体的投影图， 归结为作其各顶点及各棱线的归结为作其各顶点及各棱线的 投影。三棱柱，它的三角形顶投影。三棱柱，它的三角形顶 面和底面为水平面；三个侧棱面和底面为水平面；三个侧棱 面均为矩形，其中后面为正平面均为矩形，其中后面为正平 面，其余二侧面为铅垂面。面，其余二侧面为铅垂面。 作图：作图： （1）过）过a 向右作水平线，并在右方适当位置确定向右作水平线，并在右方适当位置确定a ，如图，如图 (b)所示；所示； （2） c 与与a 重合。过重合。过a （c ）向下作垂线，再过）向下作垂线，再过a 、c

28、向右作向右作 水平线，交点就是水平线，交点就是a0 (c0 ); 将水平投影上的将水平投影上的y值移至侧面投影上，值移至侧面投影上， 得到得到b 、b0 ；连接；连接a （c ）、）、b 和和a0 (c0 )、b0 ，得顶面和底，得顶面和底 面的面的w面投影，如图面投影，如图 (c)示；示； （3）连接）连接a a0 、b b0 和和c c0 ，得三个侧棱面的，得三个侧棱面的w面投影，如面投影，如 图图 (d)所示。所示。 三、平面的迹线表示法三、平面的迹线表示法 representation of a plane by its traces （一）平面迹线的概念（一）平面迹线的概念 平面与投

29、影面的交线，称为平面的迹线。平面与投影面的交线，称为平面的迹线。 图中的平面图中的平面p，它与，它与h面的交线叫做水平迹线，用面的交线叫做水平迹线，用ph表示；表示； 与与v面的交线叫做正面迹线，用面的交线叫做正面迹线，用pv表示；与表示；与w面的交线叫做侧面的交线叫做侧 面迹线，用面迹线，用pw表示。由于任何两条迹线如表示。由于任何两条迹线如ph和和pv都是属于平都是属于平 面面p的相交两直线，故可以用迹线来表示平面。的相交两直线，故可以用迹线来表示平面。 在实际应用中，经常用迹线表示特殊位置平面。如在实际应用中，经常用迹线表示特殊位置平面。如 下图左边所示，用正面迹线表示正垂面；如图下图右

30、边下图左边所示，用正面迹线表示正垂面；如图下图右边 所示，用水平或侧面迹线表示正平面。所示，用水平或侧面迹线表示正平面。 正垂面的迹线表示法正垂面的迹线表示法 正平面的迹线表示法正平面的迹线表示法 四、平面上的直线和点四、平面上的直线和点 lines and points in a plane （一）在平面上取直线（一）在平面上取直线 （1）若一直线通过平面上的两个点，则此直线必在该）若一直线通过平面上的两个点，则此直线必在该 平面上，如图（平面上，如图（a）。）。 （2）若一直线通过平面上的一点，并且平行于平面上）若一直线通过平面上的一点，并且平行于平面上 的另一直线，则此直线必在该平面上，

31、如图（的另一直线，则此直线必在该平面上，如图（b）。）。 立体图立体图 平面上的取直线（一）平面上的取直线（一） （二）在平面上取点（二）在平面上取点 要在平面上取点，必须先在平面上取直线，然后要在平面上取点，必须先在平面上取直线，然后 在此直线上取点。这样，由于该直线在平面上，则直在此直线上取点。这样，由于该直线在平面上，则直 线上的各点必然在平面上。线上的各点必然在平面上。 平面上的取直线（二）平面上的取直线（二） 例例3-5 如图如图 (a)所示所示,已知两坡屋顶面上有一点已知两坡屋顶面上有一点e ，求水平投影，求水平投影 e、侧面投影、侧面投影e 。 分析及作图：分析及作图： 由于点由

32、于点e 为可见点，故可判别为可见点，故可判别e点在坡屋面点在坡屋面abcd上。由于平面上。由于平面 abcd是一侧垂面，其是一侧垂面，其w投影有积聚性，所以投影有积聚性，所以e 可直接在可直接在w面上求面上求 出，然后再求其它投影。出，然后再求其它投影。 （a） （b）（c） （1）过）过a 引水平线与屋面的引水平线与屋面的w的投影相交于的投影相交于a ，即点，即点a的的w面投影，如面投影，如 图图 (b) 所示。所示。 （2）截取）截取a 与屋檐的距离与屋檐的距离y，利用，利用“宽相等宽相等”移置到移置到h面上，作一水平面上，作一水平 线，与过线，与过a 所引的铅垂线相交，即得所求的所引的铅

33、垂线相交，即得所求的a，如图，如图 (c)所示。作图过所示。作图过 程也可用程也可用45辅助线来完成。辅助线来完成。 例例3-6 如图如图 (a)所示所示,已知三棱锥表面上有一点已知三棱锥表面上有一点k及一直线及一直线rt 的正面投影的正面投影k 、r t ，求点，求点k及直线及直线rt的水平投影、侧面投影。的水平投影、侧面投影。 （a） 分析：分析： 由于点由于点k 为可见点，故可判别为可见点，故可判别k点在三棱锥的点在三棱锥的 平面平面abs上。因为平面上。因为平面abs是一般位置平面，其投是一般位置平面，其投 影无积聚性，所以求点时需用辅助线。因为平面影无积聚性，所以求点时需用辅助线。因

34、为平面 abs的的h面及面及w面投影都可见，故面投影都可见，故k点的点的h面及面及w面面 投影都可见。投影都可见。 r点在棱线上，可利用点的从属性求解。同样点在棱线上，可利用点的从属性求解。同样 因为因为t 可见，故可见，故t点在三棱锥的右棱面上，即平面点在三棱锥的右棱面上，即平面 bcs上。注意由于平面上。注意由于平面bcs的的h面投影可见，而面投影可见，而w 面投影不可见，故该直线面投影不可见，故该直线rt的的h面投影可见，面投影可见，w面面 投影也就不可见。投影也就不可见。 在平面立体上常用的辅助线有两种：在平面立体上常用的辅助线有两种： 第一种方法：过锥顶第一种方法：过锥顶s和待求点和

35、待求点k作直线，交底边作直线，交底边ab于于m， sm即为所作辅助线；即为所作辅助线； 第二种方法：过待求点第二种方法：过待求点k作底边作底边ab的平行线的平行线kn交交sa于于n点，点， kn也可用于作为辅助线求解。也可用于作为辅助线求解。 (b)(c) 作图步骤：作图步骤： (1)如图如图 (b)，从，从v面投影开始，过面投影开始，过s 及及k 作直线，交底边作直线，交底边a b 于于m ；过；过m 作铅垂线交作铅垂线交ab边于边于m，并连接，并连接s m 和和sm，从而作，从而作 出了辅助线的出了辅助线的v面及面及h面投影，再过面投影，再过k 作铅垂线并交于作铅垂线并交于sm得得 k点。

36、点。 (2)利用利用45辅助线可在辅助线可在w面上求出面上求出m ， 连接连接 s m ，并由，并由k 作水平线交作水平线交s m 得得k 。 (3)求求r点可直接由点可直接由r 分别向分别向h面和面和w面作投影连线与面作投影连线与sc及及s c 交得交得r、r 。 (4)t点的求法与点的求法与k的相同，在此不再赘述。的相同，在此不再赘述。 最后连接直线。由于最后连接直线。由于rt可见，画为粗实线，可见，画为粗实线，r t 不可见画为不可见画为 虚线。虚线。 如图如图 (c)是用另一种辅助线的方法求点的投影，读者可自行是用另一种辅助线的方法求点的投影，读者可自行 分析作图。分析作图。 第四节第

37、四节 直线与平面、平面与平面相交直线与平面、平面与平面相交 intersection of line and plane, intersection of two planes 一、直线与特殊位置平面一、直线与特殊位置平面 intersection of an oblique line and a special position plane 直线和平面相交只有一个交点，它是直线和平面的共直线和平面相交只有一个交点，它是直线和平面的共 有点。该交点既属于直线，又属于平面。有点。该交点既属于直线，又属于平面。 若所给平面是投影面平行面或垂直面时，可以利用平若所给平面是投影面平行面或垂直面时，可以

38、利用平 面的积聚性，直接从图上定出交点的位置。面的积聚性，直接从图上定出交点的位置。 直线与平面相交，直线会被平面遮住一部分而变为不直线与平面相交，直线会被平面遮住一部分而变为不 可见，因此就有判别其可见性的问题。投影图上，不可见可见，因此就有判别其可见性的问题。投影图上，不可见 的部分投影用虚线表示，可见的部分用粗实线表示。且交的部分投影用虚线表示，可见的部分用粗实线表示。且交 点是可见与不可见部分的分界点。可见性分析可利用直线点是可见与不可见部分的分界点。可见性分析可利用直线 与平面的重影点来判别。与平面的重影点来判别。 例例3-7 如图如图 (a)所示，求三棱锥所示，求三棱锥s-abc与

39、正垂面与正垂面p的相截所得交的相截所得交 线线(截交线截交线)的投影。的投影。 分析与作图：分析与作图： （1）由空间情况来看，如图）由空间情况来看，如图 (a)，截交线的三个顶点就是三棱锥的各条侧棱与，截交线的三个顶点就是三棱锥的各条侧棱与 正垂面正垂面p的交点。的交点。 （2）在投影图上，）在投影图上，pv有积聚性，各交点的有积聚性，各交点的v投影都在投影都在pv上，即上，即pv与各侧棱与各侧棱v投投 影的交点。按求直线与平面的交点的方法，求得交点得影的交点。按求直线与平面的交点的方法，求得交点得h面投影面投影d、e、f，如图，如图 (b)。 （3）将各交点的同面投影连接起来，就是所求截交

40、线的）将各交点的同面投影连接起来，就是所求截交线的h面投影面投影, 如图如图 (c)。 (a) (b) (c) 二、一般位置平面与特殊位置平面相交二、一般位置平面与特殊位置平面相交 intersection of an oblique plane and a special position plane 求解两平面交线的问题可看作是求两个共有点的问求解两平面交线的问题可看作是求两个共有点的问 题。欲求出两平面题。欲求出两平面abc和和def的交线，如图所示。的交线，如图所示。 从立体图分析，如图从立体图分析，如图 (a)，只要求出属于交线的任意两点，只要求出属于交线的任意两点 即可。显然，即可。显然，k、l是是ac、bc两边与两边与def的交点。因的交点。因 此，求两平面交线的问题，可转换为两直线与平面求交此，求两平面交线的问题，可转换为两直线与平面求交 点的问题来加以处理。点的问题来加以处理。 def是铅垂面，直线是铅垂面，直线ac、bc与特殊位置平面的求法与特殊位置平面的求法 在前面已讨论过，其作图过程见图在前面已讨论过，其作图过程见图 (b)，所得的，所得的kl即为两平即为两平 面的交线，然后再进行可见性判别即可，方法与前面相同。面的交线，然后再进行可见性判别即可，方法与前面相同。 (a