江苏省南京市2020-2021学年度第一学期期末调研试卷高二数学(理科

1、江苏省南京市2020-2021学年度第一学期期末调研试卷高二 数学(理科)学校:姓名：班级：考号：一、填空题1. 已知命题P: 0 , ,写出命题的否定：一.2. 在平面直角坐标系XOy中，抛物线y2=2x的准线方程为3. 已知/(x)=smx,则广(O)的值为_.4. 已知复数？满足(z-2)f=l+z (I为虚数单位)，则乙的实部为5. 在平面直角坐标系XOy中，P是椭圆C：y+r=l上一点.若点P到椭圆C的右焦点的距离为2,则它到椭圆C的右准线的距离为y-,6. 已知实数X , y满足 0 ”是“方程x2-ny2 = 1表示椭圆”的_条 件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，

2、“既不充分也不必要”)S.在平面直角坐标系XOy中，双曲线-r = 1的顶点到它的渐近线的距离为49. 在平面直角坐标系XOy中，点A(4,0),点3(0,2),平面内点P满足PA pB = I5 则PO的最人值是一.10. 在平面直角坐标系XOy中，点人，代分别是椭圆+21=(rb0)的左、Cr b右焦点，过点&且与X轴垂直的直线与椭圆交于4，3两点.若为锐角，则该 椭圆的离心率的取值范閑是11. 在平面直角坐标系Xoy中，圆Ci -.(x-a)2+(y-a-2)2=l与圆C2:x2 + -2x-3=0有公共点，则实数的取值范围是.12. 如图，在正四棱锥P-ABCD , PA = AB ,

3、点M为阳的中点，Bb = ABN .若MN丄AD,则实数兄二13. 在平面直角坐标系XOy中，圆M(-1)2+=1,点4(3,1), P为抛物线=2x 上任意一点(异于原点)，过点P作圆M的切线PB, B为切点,则PA+PB的最小值 是.14. 已知f(x) = -3a2x-6a2+4c(a0)只有一个零点，且这个零点为正数，则实数Q的取值范围为二解答题15. 在平面直角坐标系XOy中，己知椭圆氏二+买=l(b0)经过点4(4,0), Cr Zr其离心率为迴.2(1) 求椭圆E的方程；(2) 已知P是椭圆E上一点，F1,代为椭圆疋的焦点，且ZF1PF2 =-,求点P到V 轴的距离.16. 如图

4、，正四棱柱ABCD-AiBiClDi的底面边长为JT ,侧棱长为1,求：(1)直线AC与直线Aq所成角的余弦值;(2 )平面DIAC与平面ABBIAI所成二面角的正弦值.17.在平面直角坐标系XOy中，已知圆C经过抛物线y = *% 6与坐标轴的三个交 占八、(1) 求圆C的方程；(2) 经过点p(-2,5)的直线1与圆C相交于A, B两点，若圆C在A, B两点处的切线互相垂直，求直线1的方程18.如图，从一个面积为15兀的半圆形铁皮上截取两个高度均为X的矩形，并将截得的 两块矩形铁皮分别以AB, Ad为母线卷成两个高均为X的圆柱(无底面，连接部分材 料损失忽略不计)记这两个圆柱的体积之和为V

5、(1) 将U表示成X的函数关系式，并写出X的取值范I韦1；(2) 求两个圆柱体枳之和U的最大值.2 219.如图，在平面直角坐标系XQy中，J 化分别为椭圆c：+ = 1的左、右焦-43点动直线/过点F.且与椭圆C相交于4, B两点(直线/与X轴不重合)V(1) 若点4的坐标为(O, J亍)，求点B坐标；(2) 点M(4,0),设直线AM ,的斜率分别为，k2,求证：h + y(3) 求AAFIB面积最人时的直线/的方程.20.已知函数/(x) = rlnx+-, R.(1) 若a = 2,且直线y = x+加是曲线y = f(x)的一条切线，求实数加的值；(2) 若不等式wl对任意x(L+)

6、恒成立，求。的取值范围；(3) 若函数i(x) = (x)-X有两个极值点兀，XZ(Xl O , ex 0, evex,的否定是：3x0, ev0, /5.【点睛】本小题主要考查命题的否定.属于基础题.命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存 在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”：“都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题” 的否定一定是“全称命题”.本小题主要考查命题的否定.属于基础题.命题的否定即命题的对立面.“全称量词”与“存 在量词”正好构成了意义相反的表述.如“对所有的都成立”与“至少有一个不成立”：“

7、都是”与“不都是”等，所以“全称命题”的否定一定是“存在性命题”，“存在性命题” 的否定一定是“全称命题”.12. -2【分析】利用抛物线方程求出，即可得到结果.【详解】解：抛物线F=2的焦点到其准线的距离为：P=I.抛物线的准线方程为：X=-.2故答案为=2【点睛】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力.31【解析】 因为fx) = (SinX + COSX),所以/(O) = I.点睛：(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的 切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P 为切点.(2)利用导数的几何意义解题，主要

8、是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转 化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间 的关系，进而和导数联系起来求解.4. 3【分析】利用复数的除法运算法则得到z,结合实部定义得到答案.【详解】解:由(ZI2i=l+i 得，Z= -_ + 2 =-+2= l + + 2 = 3- i,ii-1所以复数的实部为：3.故答案为3.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，实部的概念，考查计算能力，是基础题.5. 婕3【分析】求出椭圆的离心率，利用椭圆的第二定义，求解即可.【详解】椭圆C： +r=l,可得e=匹,42由椭圆的第二定义可得：它到椭圆C的右准线

9、的距离为d,_ 2 _4馆T故答案为婕.3【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的第二定义，考查转化思想以及计算能力.6. 1【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【详解】X 3解：由实数儿y满足x3,作出可行域如图，由C解得B(3，-1)x+y = 2x+y21 717化z=x+2y为y=-,由图可知，当直线y=一x+-iB (3,1)时，2 222直线在y轴上的截距最小，7有最小值等于z=3+2x ( - 1) =1.【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题7. 必要不充分【分析

10、】(mQ由椭圆的性质有：“方程X2W2 =1表示椭圆”的充要条件为： I ,再判断0”In 1与的关系m 1【详解】f77O解：由椭圆的性质有：“方程rR = l表示椭圆”的充要条件为：0又“川0是“ I 的必要不充分条件，m 1所以，“加0”是“方程疋+加尸=1表示椭圆”的必要不充分条件，故答案为必要不充分【点睛】本题考查了椭圆的性质与充分、必要条件，属简单题.8. 迈5【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可.【详解】解:双曲线l-/=1的一个顶点为A (2, 0),4.双曲线的一条渐近线为y=-,即 -2y=0, 则点到直线的距离公式d=EMg=迹，+45故答案为迹5【点睛】本题主要考

11、查双曲线性质的应用，根据点到直线的距离公式是解决本题的关键，比较基础.9. 35【分析】设P (x,刃，由用PB = I5,得点P的轨迹是以C (2, 1)为圆心，2石为半径的圆， 得Po的最人值为0C+半径.【详解】解:设 P(X, y) 则用=(4 - X, -y),丙=(- , 2 -y)T PA PB = 15, x (x - 4) +y (y - 2) =15, 即( - 2) 2+ (y - 1) 2=20,点P的轨迹是以C (2, 1)为圆心，2J为半径的圆，的最人值为：OC+半径=35 .故答案为35 .【点睛】本题考查了向量的数量积的应用，考查了平面上一定点到圆上各点距离的最

12、值问题，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题.10. (2-l,l)【分析】22由题设知 Fl ( -c, 0) , F2 (c, 0) , A ( - c, ) , B ( - c,),由人林B 是锐 aa角三角形，知tanZAF1F2b所以万一 1,由此能求出椭圆的离心率0的取值范围. J2c【详解】解：点7 E分别是椭圆21 = 1 (QbAO)的左、右焦点，Cr Ir过戸且垂直于X轴的直线与椭圆交于A、B两点，b2b2：.Fi (-c9 0) 9 F2 (c, 0) , A (c, ) , B (c, 一一),aaV AF15是锐角三角形， ZAFl F245o, AtanZAFi

13、F2l,/r-L1,2c整理，得b22ac,- c20,解得 0J-1,或 0-J-l,(舍)，0b椭圆的离心率e的取值范围是(JI_1，D .故答案为(近1).【点睛】本题考查椭圆的离心率的取值范I判的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行 等价转化.11. -2,1【分析】根据题意，分析两个圆的圆心与半径，由圆与圆的位置关系可得2-1WlGGl2+l,即IW Ca-I)斗5+2) -9,解可得d的取值范围，即可得答案.【详解】解：根据题意，圆 G： (x-) 2+ (y2) 2=1,其圆心Cl为(, +2),半径为n = 1,圆 C)： x2+y2 - 2% - 3=0,即(X-

14、 1)2+r=4,其圆心 C? (1, 0),半径 r2=2,若两圆有公共点，则 2-1CiC22+1,即 (- D 2+ (+2) 29,变形可得：tf+2M0 且 a2+a - 20,解可得:-2b即的取值范围为-2, 1；故答案为-2, 11.【点睛】判断圆与圆的位置关系的常见方法(1) 几何法：利用圆心距与两半径和与差的关系.(2) 切线法：根据公切线条数确定.12. 4【分析】连结AC,交BD于O,以O为原点，OA为X轴，OB为y轴，OP为Z轴，建立空间直角坐 标系，利用向量法能求出实数I【详解】解：连结AC,交BD于0,以O为原点，QA为X轴，OB为y轴，OP为Z轴，建立空间直 角

15、坐标系，设 PA=AB=2,则 A (2 O, O) , D (0, 一迈,0) , P (0, 0, ) , M (返)2BD=(0, -22 . 0),设N(O, b, 0),则顾=(0, b_Q 0),-b = BN, 2 = 2(b-), .b=Q2,兄.NO S 2迈,) =(卫,屈-2,卫),丽= A2A2(-2,-2 0),22-4：MN丄AD ： MN AD= I-=0,A解得实数=4.故答案为4【点睛】本题考查实数值的求法,考查空河向量、正四棱锥的结构牲等基础知识,考查运算求解能力， 是中档题.133【分析】设P(X,刃，可得y2=2x,求得圆M的圆心和半径，求得切线长PB,

16、化简可得IPBl为P到y轴的距离，结合抛物线的定义和三点共线取得最值的性质，即可得到所求最小值【详解】解：设 P (x, y),可得 y2=2x,圆 M： (X-I) 2+y2 =1 的圆心 M (1, 0),半径为 1,PBl = PM I2 -1 = (-l)2 + r-l = yx2 + y2 -2x =闪，即PBl为P到),轴的距离，抛物线的焦点F(；, 0),准线方程为A = -L2 2可得 I PA+PB=PA 田 PKl -丄=PA+PF - -,2 27过A作准线的垂线，垂足为K,可得A, P, K共线时, PAMPK取得最小值AK=-,乙 即有I列+1PBl的最小值为3.故答

17、案为3.【点睛】本题考查抛物线的定义和方程的运用，考查直线和圆相切的切线长求法，考查转化思想和三 点共线取得最值，考查运算能力，属于中档题.14. (1,2).【分析】对函数y = ()求导，并求出极值点，列表分析函数y = f()的单调性与极值情况，由 题意得出/W极人值=/(一。)，由此可解出实数的取值范围.【详解】. / (x) = X3 -3a2x-6d2 4 , :. ff(x) = 3x2 -3a2 =3(x-)(x+).令(X) = O,得X = F或x=,当X变化时，广(旳、/(x)的变化情况如下表：(-oo,-)-a(FG)a仏+8)广(x)+00+/(x)/极大值极小值/由

18、于函数y = f()只有一个零点，且该零点为正数，所以，/(x)极人值=/*(一) = 2-6c厂+4。0,化简得-3 + 20, 解得IVdV2,因此，实数的取值范围是(1,2),故答案为(1,2).【点睛】本题考查三次函数的零点问题，解题时要利用导数分析函数单调性与极值，结合题意转化为 极值的符号等价处理，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.15. (1) + = 1 (2)空1643【分析】(1) 椭圆E经过点A(4,0),可得=4.椭圆E的离心率e=L = l可得c=23 .即a 2可得椭圆E的方程；fxz + =12(2) 由 ZFiPF2= ,所以甸 Pri = 0,可得 -

19、2+=12,由 x2 v2 ,得 P到y2 + = 11164轴的距离.【详解】(I) 因为椭圆Ei4 + = 1经过点4(4,0), Cr /?所以竺=1,解得a = 4.Cr又椭圆E的离心率e = -=,所以c = 23 . a 2所以 b2 = a2-c2 = 4.因此椭圆E的方程为+ = 1 164(2) 方法一：由椭圆E的方程話+普=1,知坊(一2必0),鬥(2,0).设P(x,y)因为ZFlPF2=-9 所以；PF2=O,所以-+r=12.乙IV ) J16+T1, 得 F=M.-2=123所以IXl =乎，即P到y轴的距离为乎.2 2方法二 由椭圆E的方程+ = 1 ,知c =

20、2J 设P(x,y)164因为ZFiPF2 = y , O为坊竹的中点，所以 OP = C = 2书,从而 x2+y2=12.J16+T1, 得 F=M.，X3- + =12所以IXl=半，即P到y轴的距离为芈.方法三：由椭圆E的方程+ = 1,知c = 2J, F=43 FF,=43设P(XOT) 164因为 ZF1PF2 =-,所以 PF; + PF = 48 .由椭圆的定义可知，Pfi + PF2 = 2a = S,所以 2戶林 PF2 =(PFI + PFJ 一(P 斤 + P2) = 16,所以三角形的面积S = PF1PF2 = 4 .又 S = FIF2y = 23 y,所以 2

21、3y=4,所以卜| =半.代入+ 2_ = 1 得，X2=.1643所以k=,即P到)轴的距离为匕.丨丨33【点睛】本题考查椭圆的几何性质，关键是利用椭圆的定义和向量数量积.属于中档题.16. (1)至(2)迺152【分析】(1) 以丽，DC DDi为正交基底建立空间直角坐标系D - XyZt利用向量法能求出直线AlC与直线ADl所成角的余弦值：(2) 求出平面DIAC的一个法向量和平面ABB1A1的一个法向量，利用向量法能求出平面DIAC与平面ABBIAI所成二面角的正弦值.【详解】(1)如图，正四棱柱ABCD-AlBlClDi的底面边长为,侧棱长为1,故以DAyDCyDDl为正交基底建立空

22、间直角坐标系D-X) 则D(0,0,0), A(2,), A1(2,0j), c(o,o),$(OOl).因为 AC = (O,2,)-(2,0,1) =(-2,2-1), 码= (0,0,l)-(,0,0) =(-2,0,l), 所以 AlC ADl = (-2) (-2)+ (-1) 1 = 1,IACI = 2 + 2 + l = 5,阿=J2 + O + 1 = T,从而 cosC, ADI = ACMO -ACR1_ 1553 7(C兀又异面直线所成的角的范【韦I是0,亍所以直线AC与直线Az)I所成角的余弦值为15(2) AC = (-2,2,), A = (-2,0j),设平面D

23、IAC的一个法向量为H =(X,”Z),iC = O,n ADI = 0、从而-yf2x + y2y = 0,-Vx+z = O,取x = l,可得y = h z = 2 .即n = (l,L).在正四棱柱ABCD-AQCQL中，ZM丄平面ABBIAl,又 DA = (2,0,0) = 2 (1,0,0),所以斤= (IoO)为平面AlAl的一个法向量因为 CoSmL = f= hz7_ TC所以Wl 9 W2 =/ 1 _ 1 一112I-且OS因此平面DM与平面AB昭所成二面角的正弦值为半【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空间中线线、 线面、而而间

24、的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.17. (l)x2y2-x+5y-6 = 0 (2)% = -2和4% + 3y- 7 = 0.【分析】(1)方法一、求得抛物线与坐标轴的三个交点，设出圆的一般式方程，代入三点坐标，解 方程组可得D，E，F,即可得到所求圆方程；方法二、由抛物线方程与圆的一般式方程，可令y=0,可得D F9再由抛物线与y轴的交点，可得&即可得到所求圆方程;(2)求圆C的圆心和半径，圆C在A, B两点处的切线互相垂直，可得ZACB= P求得C到直线/的距离，讨论直线/的斜率是否存在，由点到直线的距离公式，计算可得所求直线 方程.【详解】(1)方法一：抛物&y =x

25、2-X-6与坐标轴的三个交点坐标为(-2,0), (3,0), (0,-6). 设圆C的方程为x2+y2 + Dx + Ey + F = 0,(D = -If 解得 E=SfF = 6,4-2D + F = Of 则 9 +3D+F = 0,36 6E + F = 0,所以圆C的方程为%2y2-% + 5y-6 = 0方法二：设圆C的方程2+y2 + Dx + Ey + F = 0. 令y = 0,得2 + Dx + F = 0 因为圆C经过抛物线y = %2-%-6与轴的交点， 所以2 + Dx +F = 0与方程/ -x-6 = 0同解，所以D = 1, F = 6.因此圆C: / +y2

26、+ Ey _ 6 = 0因为抛物线y = %2-%-6与y轴的交点坐标为(0,-6),又所以点(0,-6)也在圆C上，所以36-6E-6 = 0,解得E = 5.所以圆C的方程为%2+y2-% + 5y-6 = 0.(2)由(1)可得，圆：C: (x-1)2+(3, + )2 = .故圆心C(P-半径旷=青 因为圆C在4, B两点处的切线互相垂直，所以ACB = P所以C到直线啲距离d =青X号=?当直线Z的斜率不存在时，Lx =-2 ,符合题意： 当直线Z的斜率存在时，设Z：y-5 = /c(%+2),即c%-y+(2c + 5) = 0, 所以+5 _ st解得k=4kl23A所以直线 Z

27、：y-5 = -K%+2),即 4% + 3y-7 = 0.综上，所求直线Z的方程为 =2和4% + 3y 7 = 0方法三：当直线Z的斜率存在时，设直线Z的方程为y-5 = k(x + 2), AcXlIyIy F(%2,y2),将直线Z的方程代入圆C的方程得：X2 + (kx + 2上 + 5)2 % 5(cx + 2上 + 5) 6 = 0,即(1 + k2)x2 + (4k2 + 15/c - l)x + (4k2 + 30k + 44) = 04k2+15k-l4k2+30k+44%】+七=_ -，%声2 =屮2因为圆C在点儿B两点处的切线互相垂直，所以G4丄CB, 所以SJ CB

28、= 0. BP(XI - )(%2 -+ Oi + )(372 +=0,所以(1 扌)Cv2 一 扌)+ (XI 2k +y)(fX2 + 2上 + )= 0,I!卩(1 + c2)x1%2 + (2c2 + /c (% + %2)+ 4以 + 3 Ok += 0,即4以 + 30k +44 + (2k2 + 存-(4fe211) + 4k2 + 30fc + =0,(1 + k2)(16fc2 + 120/c + 201) - (4fc2 + ISk -l)2 = 0,即 150k + 200 = 0,解得k=所以直线人 y 5 = ?(% +2),即4% + 3y - 7 = 0.当直线Z

29、的斜率不存在时，Z： % =-2,符合题意：综上，所求直线啲方程为x = _2和4x + 3y-7 = 0.【点睛】30 aI本题考查圆的方程的求法，注意运用待定系数法和方程思想，考查直线和圆的位置关系，注 意运用分类讨论思想方法和点到直线的距离公式，考查运算能力，属于中档题18. (1) V = (x) = -(60x-5x3) XE 0【分析】(1) 设半圆形铁皮的半径为几自下而上两个矩形卷成的圆柱的底面半径分别为写 出丫关于X的函数关系，并写出X的取值范I韦1；(2) 利用导数判断V (%)的单调性，得出V (X)的最人值【详解】(1)设半圆形铁皮的半径为厂，自下而上两个矩形卷成的圆柱的

30、底面半径分别为人，乙因为半圆形铁皮的面积为15龙，所以；龙尸=15龙，即尸=30.2因为2rl = 2r- 所以=l30- ,同理2力=2Jrz -(2jv),，即 ri = 30-4x2 .,所以X的取值范围是0,所以卷成的两个圆柱的体积之和V = /() = (t + Tng= -(60x-5x3).因为0 2x0;当x 2,时，z(x)0,所以/(%) = 9x+l在l,+s)上单调递增, XX所以当尸+1 = 1，即r=o时,9(尸+ 1)+Jr取最小值io. 7 / + 1即当r = O时，AB的面积取最人值，此时直线/的方程为X = I.方法二：AFIB 的面积 5 = y1-y2

31、 = y1-y2乙Gt9,)2 一 E =4屁山亠打V 3+4 2丿因为3尸+44,所以OV-,3 广+443F4 = 即T时WF的面积取最大值.因此，AAFIB的面积取最人值时，直线/的方程为x = l.【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查直线与椭圆位置关系的应用，训练了利用换元法及导数求函 数的最值，考查计算能力，属难题.20. (1) m = Q (2) l,+o) (3) (2,e + -e【分析】(1) 代入d的值，根据切线方程得到关于XO的方程，求出切点坐标，解出加即可：(2) 问题转化为+- 10,记g (x) =alnx+-l,通过讨论。的范围，求出函数XX的单调区间，从而确定

32、d的范围即可；(3) 法一：求出力(X2)- Ii (x)的解析式，记7 (x) =2 (x+ )加1+丄一Xn .心1,XX根据函数的单调性求出a的范I韦I即可； 法二：由力(X) =/ (x) - x=alnx+丄一x, x0,以及力(X)有两个极值点小X2 (xl),从而 h(%：)- h (M) 等价于 h (r) = U 总+ - ) z+-r-, r,记加() = (+-)加+丄一,根据函数的单调性求tteXX出d的范闱即可.【详解】191(1)当 a = 2 时，f( = 2nx + - , f,(x) =XX X1 ) 设直线y = Xrn与曲线y = (x)相切于点0,21hv0 + -,AO即兀2Xq + 1 = 0,解得x0 = l,即切点为(14),因为切点在y = x+?上，所以1=1+加