一阶常微分方程的解法

1、一阶常微分方程的解法摘要：常微分方程是微积分学的重要组成部分，广泛用于具体问题的研究中，在整个数学中占有重要的地位。本文对一阶常微分方程的解法作了简要的总结，并举例加以分析了变量可分离方程，线性微分方程，积分因子，恰当微分方程，主要归纳了一阶微分方程的初等解法， 并以典型例题加以说明。关键词：变量分离；积分因子；非齐次微分方程；常数变易法Solution of first-order differential equationAbstract: Differen tial equati on s, importa nt parts of calculus, are widely used in

2、 the research of practical problems, which also play important role in mathematics. The solution of a differential equation is summarized briefly, and illustrates the analysis of variable separable equation, linear differential equation, integral factor, exact differential equation, mainly summarize

3、s the elementary solution of first order differential equations, and the typical examples to illustrate. Keywords: variable separati on; in tegral factor; non-homoge neous differe ntial equati on; con sta nt variation method1.引言一阶常微分方程初等解法，就是把常微分方程的求解问题转化为积分问题 能用这种方法求解的微分方程称为可积方程.本文通过对一阶微分方程的初等 解法的归

4、纳与总结，以及对变量分离，积分因子，微分方程等各类初等解法的简 要分析，同时结合例题把常微分方程的求解问题化为积分问题，进行求解.2. 一般变量分离2.1变量可分离方程形如(1.1)(1.2)齐 f(x)g(y)Mjx) M(y)dx 二 M2(x)N2(y)dy的方程，称为变量可分离方程。分别称（1.1 ）、（ 1.2 ）为显式变量可分离方程和 微分形式变量可分离方程.（1）显式变量可分离方程的解法在方程（1.1 ）中，若g（y） = o，（ 1.1）变形为dyg(y)=f(x)dx积分得二 f(x)dx C(1.3 )此为(1.1 )的解.若g(y) =o, yo使 g(y。)=o，则 y

5、 二 y 也是(1.1)的解.注：当y二yo不包含于(1.3)时要特别补上解y = y。.例1:求解方程dy二dx解：当y =二1时，方程的通积分为arcs in yvxx2C,即即 y =s in( arcs in x C).另外，方程还有解y = 1，不包含在通解中.(2)微分形式变量可分离方程的解法方程M1(x)N1(y)dM2(x)N2(y)dy(1.2)是变量可分离方程的微分形式表达式.这时，x和y在方程中的地位是“平等” 的，即x和y都可以被认为是自变量或函数 .在求常数解时，若口()=0,则y=y为方程(1.2 )的解.同样，若M2(x。)=0 ,则x =x也是方程(1.2 )的

6、解.当N1 y M2 x =0时,用它除方程(1.2)两端，分离变量,得N2 yN1 ydy =MdxM2 x上式两端同时积分，得到方程(1.2)的通积分2 yN1 y dx CM 2 x例2:求解方程x y2 一1 dx y X2 一1 dy =0解：首先,易见y二_1,x二_1为方程的解.其次,当(x2 一 1) y2 一1 =0时,分离变量xdx ydyx2 -1y2 -1积分，得方程的通积分In x2 -1 +ln y2 1 =ln C(O 0)x2 -1y2-1(Cm0)以上内容归纳了变量可分离方程的解法,.有些方程虽然不是变量可分离方 程,但是经过变量变换之后，就能化成变量可分离方

7、程，接下来归纳了两类可化为 变量可分离的方程及其解法.2.2可化为变量可分离方程(1)第一类可化为变量可分离的方程：齐次微分方程如果一阶显式方程一(x,y)dx的右端函数f (x, y)可以改写为丫的函数g(-)，那么称方程(1.4 )为一阶齐次(1.4)微分方程,也可以写为=gd)dx x(1.5)作变量变换(1.6)于是y =ux，从而dyduu x dxdx(1.7)把( 1.6 ), (1.7 )代入(1.5 )得唱3曲)du _ g(u) -udx x(1.8)方程(1.8 )是一个变量可分离方程，当g(u) - u=0时，分离变量并积分，得到它的 通积分dudx赢k匚C1(1.9)

8、duGx = e 亦x 二 Ce (u)其中讣金吩以u = 丫代入，得到原方程(1.5)的通积分x,得y = ux是原若存在常数uo,使g(uo)-u=O,则u=u是(1.8)的解,由 方程(1.5 )的解.例3:解方程x2史二xy - y2dx解：将方程化为凹二丫一丄dx x Vx j令y=u，代入上式得u+xdux u u dx2,即悄2易于看出，-o为这个方程的一个解,从而八0为原方程的一个解.当u = 0时，分离变量得理二鱼.两端积分后得u x1=In x +Cuu =In x +CIn x +C(2.1 )将u换成-,并解出y ,便得到原方程的通解y -x(2)第二类可化为变量可分离

9、的方程形如dy aix b y & dx a2x by c2的方程是第二类可化为变量可分离的方程 其中印,b|,G,a2,b2,C2均为常数.分如下情况:(i)C| = g = 0dy _ aix b ydx a2x b2ydydxaibi xa? b2 x用变量代换丫二u即可化为可分离变量的微分方程.xc_b?C2令u = a2x b?y则竺2也鱼七“2dxdxu是可分离变量的微分方程.a1b1(iii ) 11a2b2若sc?不全为零，则qx Qy q = 0 a2x b2 y q = 0代表oxy平面上的两条相交的直线有且只有唯一的交点，设为:,-X = x _ r-令-,则上述方程变为

10、Y =y - 飞丫 =0 a2X b2Y = 0则（1.7 ）变为=一bY g 为可分离变量的微分方程.dY a2X+pYly 丿注：若&二C2 =0，则为i的情形.例4：求方程业=x_y 5dx x y 2解：令u =x y 2 ,贝U dy = dx _du ，代入得到1 _空=，有dx uudu = -7dx，所以2-7x C (C为常数)，2(C为常数)。把u代入得到色 7x二C2例5:求方程矽=空口dx x 2y +1解：由丿SV,们x 2y +1 = 01x =3131u = X +3,有丿v = y 一3d dV，代入得到dx = du2-u1 -2 -u有dv = tdu ud

11、t，代入得到t u空 dudv2uVdu u - 2v二鳥，化简得到,du=-2t 2dt =u 2 -2t 2t2d(1-t t2)2(1-t t2)，有In2In(1 -t t )C (C为常数),C1所以有 u ：C12 ,(G 二-eC)11t+t2故代入得到Ci2, (G 式 0)1 2y -一31x33常数变易法一阶线性微分方程的一般形式2+p(x)y=f(x)(2.2 )其中p(x), f (x)在考虑的区间上是x的连续函数.当f x =0时,即(2.3 )巴 P x y=0dx称为一阶线性齐次微分方程，当f(x)=O，称为一阶线性非齐次微分方程.3.1齐次方程通解的解法：一般变

12、量分离对p x y = 0分离变量，得 dx丄 dy=-p x dx两边同时积分，得In y - - p x dx ci4p x dx“ J (c 式 0)3.2非齐次方程通解的解法：常数变易法不难看出,(2.3 )是(2.2 )的特殊情形,两者既有联系又有差别，因此可以 设想它们的解也应该有一定的联系而又有差别，现试图利用方程的通解的形式去 求出方程的通解，显然，如果中c恒保持为常数，它们不可能是的解.可以设想在 中将常数c变易为x的待定函数，使它满足方程，从而求出c x ,为此，令(2.4 )IP(x)dxy =c(x)e为方程(2.2 )的解，其中c(x)待定，将(2.4 )代入(2.2

13、 ),- p(x) dx- p(x)dx- p (x)dxc(x)ec(x)e - p(x) p(x) c( x)ep(x)dxc(x)二 f (x)e-p(x)dxdx +cc(x)二 f (x)e故，方程(2.2 )的通解为ip(x)dx p(x)dxy = ceef (x)e从而p(x)dxdx注：一阶非齐次微分方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个 特解之和4 O(2.5 )例6:求解方翌=1 x2dx x解：方程(2.5 )所对应的齐次方程为dy ydx(2.6)其通解为_ Jdxy=ce x=ce 叫“ =cx.由常数变易法，令y=c(x)x为方程(2.5 )的通解，

14、并代入(2.5 )2c(x) x c(x) = c(x) x即c(x)二X ,. c x =-x2 c，则方程(2.5 )的通解为2.13y = ex x .24.恰当微分方程若一阶微分方程M (x, y)dx N(x, y)dy =0(2.7 )的左端恰好是某个二元函数的全微分，即.u、uM (x, y)dx N(x, y)dy 二 du(x, y) dx = dyexcy则(2.7 )为恰当微分方程，其中M(x, y) , N(x, y)为某矩形区域上连续且具有连续的一阶偏导数1.:u：:y对(2.8 )，(2.9 )分别求关于y ，x的偏导数，有;:Ny:x由巡，也的连续性，可知y :x

15、-2:u-:x:y，此即为判定微分方程是那么如何判定一个微分方程是否为恰当微分方程呢，下面给出其判别方法.若(2.7 )为恰当微分方程，则(2.8 )(2.9 )否为恰当微分方程的充要条件. 下面来讨论(2.7)的通解形式 由(2.8)知u 二 M (x, y)dx (y)y是y的可微函数，下面来求-y ,使y也满足(2.9)M (x,y)dx=N由此知:y:ydyd (y)N - M (x, y)dx dy鋼下证N - M (x, y)dx与x无关即可. -:yC I CI L-xJyM M(x，y)dx.NN一 N - JM (x,y)dx= |一 fM (x,y)dx = 次& Sx f

16、y L所以左边与x无关.积分得(沪十M(x,y)dx dy所以u(x, y)二 M(x,y)dx NfM (x, y)dx dy 纠一从而，原方程的通解为u(x, y)二 M (x, y)dx N 1一 M(x,y)dxdy=C yC为任意常数.例 7: (3x2 6xy2)dx (6x2y 4y3)dy 二 0解：由题意得到，M (x, y) = 3x2 6xy2, N (x, y) = 6x2y 4y3,由二 12xy 二得 cyex到，原方程是一个恰当方程；下面求一个 G(x, y), st ：G(x, y)二 M (X , y), x, y)二 N(x, y)，由 excyG(x, y

17、) = m (X , y)二 3x? 6xy2，得 .xG(x, yx3 3xy2(y)，两边对y求偏导得到:G;:y=6x2y (y)二 6x2y 4y3，得到：(y)=4y3，有：(y)=y4，故 G(x, y)=x3 3x2y2 y4，由 dG = 0，得到x3 3x2y2 yC,(C 为常数).5.积分因子恰当微分方程可以通过积分求出它的通解.因此能否将一个非恰当微分方程 化为恰当微分方程就有很大的意义积分因子就是为了解决这个问题引进的概 念.如果存在连续可微函数 - x,y =0,使得二x,y M x, y dx ： i ：x, y N x, y dy = 0为一恰当微分方程，即存在

18、函数u ,使Mdx 叮=Ndy =du ,则称x,y为方程M x, y dx N x,y dy = 0的积分因子；积分因子不唯一 2函数丄jx, y为M x, y dx N x,y dy = 0积分因子的充要条件是:,M).:y；x假设原方程存在只与(;M?N;xx有关的积分因子=0 ,则丄为原方程r：M ；:N）的积分因子的充要条件是（卫-迥W , 即- x二二 0仅是关于x的 -X : y : xN函数.此时可求得原方程的一个积分因子为丄-e xdx .同样有只与y有关的积（：M ;N）分因子的充要条件是y是仅为y的函数，此时可求得方程（1.1）-M的一个积分因子为e y3.例&求解方程ydx （y -x）dy