解析几何新题型的解题技巧总结

1、第七讲 解析几何新题型的解题技巧 【命题趋向】 解析几何例 命题趋势： 1. 注意考查直线的基本概念，求在不同条件下的直线方程，直线的位置关系，此类题大多都属中、低档题，以选择、 填空题的形式出现，每年必考 2. 考查直线与二次曲线的普通方程，属低档题，对称问题常以选择题、填空题出现 3. 考查圆锥曲线的基础知识和基本方法的题多以选择题和填空题的形式出现，有时会出现有一定灵活性和综合性较强 的题，如求轨迹，与向量结合，与求最值结合，属中档题 分值一般在 17-22 分之间，题型一般为 1 个选择题， 1 个填空题， 1 个解答题 . 【考点透视】 一直线和圆的方程 1理解直线的斜率的概念，掌握

2、过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件 熟练地求出直线方程 2掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的 宀护 R 位置关系 3了解二元一次不等式表示平面区域 4了解线性规划的意义，并会简单的应用 5了解解析几何的基本思想，了解坐标法 6掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程 二圆锥曲线方程 1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质 2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质 3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 4了解圆锥曲线的初步应用 【例题解

3、析】 考点 1. 求参数的值 求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,构造方程解之 . 例 1（ 2006 年卷）若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ A B C D 考查意图 : 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质 . 解答过程：椭圆的右焦点为 (2,0) ，所以抛物线的焦点为 (2,0) ，则，故选 D. 考点 2. 求线段的长 求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手 ,找出点的坐标 ,利用距离公式解之 例2 . (2007年卷文)已知抛物线y-x2+3上存在关于直线 x+y=0对称的相异两点 A、B,则|

4、AB|等于 A.3B.4C.3D.4 考查意图 : 本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用 . 解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出， ,由弦长公式可求出. 故选 C 例 3( 2006 年卷)如图，把椭圆的长轴 分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部 分于七个点，是椭圆的一个焦点， 则 . 考查意图 : 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用 . 解答过程：由椭圆的方程知 故填 35. 考点 3. 曲线的离心率 曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用 : 椭圆的离心率e = (0,1) (e越大则椭圆越扁); (2)双曲线的离心

5、率e = (1,) (e越大则双曲线开口越大). 结合有关知识来解题 . 例 4(2007 年全国卷)文( 4)理( 4)已知双曲线的离心率为2，焦点是，则双曲线方程为 A BCD 考查意图 :本题主要考查双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念. 解答过程： 所以故选 (A). 尤其对双曲线的焦点位置和双曲 小结：对双曲线的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念，要注意认真掌握 线标准方程中分母大小关系要认真体会 例5.（2006年卷）已知双曲线，则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（） A.B. C. 2D.4 考查意图：本题主要考查双曲线的性质和离

6、心率e= （1, +s）的有关知识的应用能力. 解答过程：依题意可知. 考点4.求最大（小）值 求最大（小）值，是高考题中的热点题型之一其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大（小）值:特别是，一些题目 还需要应用曲线的几何意义来解答. 例6. （2006年卷）已知抛物线y2=4x,过点P（4,0）的直线与抛物线相交于A（xi,yi）,B（X2,y2）两点，贝U yi2+y22的最小值 是L 考查意图：本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大（小）值的方法. 解:设过点P（4,0）的直线为 故填32. 考点5圆锥曲线的基本概念和性质 圆锥曲线第一定义中的限制条件、圆锥曲线第

7、二定义的统一性，都是考试的重点容，要能够熟练运用；常用的解 题技巧要熟记于心 例7 . （2007年卷文） 在平面直角坐标系 xOy中，已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点 O椭圆=1与圆C的一个 交点到椭圆两焦点的距离之和为10. （1）求圆C的方程； （2） 试探究圆C上是否存在异于原点的点 Q,使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段 OF的长.若存在，请求出点 Q的 坐标；若不存在，请说明理由 考查目的本小题主要考查直线、椭圆等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决 问题的能力 解答过程 设圆C的圆心为(m, n) 则 解得 所求的圆的方程

8、为 (2) 由已知可得 ， 椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ; 假设存在 Q 点使 , 整理得 ， 代入 得 : , 因此不存在符合题意的 Q 点 . 例 8( 2007 年卷理) 如图，曲线G的方程为以原点为圆心，以 为半径的圆分别与曲线 G和y轴的正半轴相交于 A与点B.直线 AB 与 x 轴相交于点 C. (I)求点 A的横坐标a与点C的横坐标c的关系式； (H)设曲线 G上点D的横坐标为,求证：直线 CD的斜率为定值. 考查目的 本小题综合考查平面解析几何知识，主要涉及平面直角坐标素中的 两点间距离公式、直线的方程与斜率、抛物线上的点与曲线方程的关系 ，考查运算能力与思维

9、能力，综合分析问题的能力 . 解答过程(I)由题意知， 因为 由于 (1) 由点B (0 , t), C (c, 0)的坐标知，直线 BC的方程为 又因点 A 在直线 BC 上，故有 将( 1 )代入上式，得解得 . (II)因为，所以直线 CD的斜率为 C 和直线 所以直线 CD 的斜率为定值 . 例 9 已知椭圆， AB 是它的一条弦，是弦 AB 的中点，若以点为焦点，椭圆 E 的右准线为相应准线的双曲线 AB 交于点，若椭圆离心率 e 和双曲线离心率之间满足，求： (1)椭圆E的离心率；(2 )双曲线C的方程. 解答过程：( 1 )设 A 、B 坐标分别为， 则，二式相减得： 所以， 则； ( 2)椭圆 E 的右准线为，双曲线的离心率， 设是双曲线上任一点，则： 两端平方且将代入得：或， 当时，双曲线方程为： ，不合题意，舍去； 当时，双曲线方程为： ，即为所求 . 小结：( 1 )“点差法”是处理弦的中点与斜率问题的常用方法； ( 2)求解圆锥曲线时，若有焦点、准线，则通常会用到第二定义. 考点 6 利用向量求曲线方程和解决相