导数知识点总结及应用

1、最新资料推荐导数及其应用知识点总结一、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数/Xx)在区间心xj上的平均变化率为：./(些丁 匹。X2 X2. 导数的定义：设函数y = f(x)在区间(“上)上有立义，儿(“0),若无限趋近于0时，比值 若=/(耳+丁./(宦无限趋近于一个常数A,则称函数兀V)在x =兀处可导，并称该常数X为函数f(x)在 X = xo处的导数，记作r(A0)o函数f(x)/x = xo处的导数的实质是在该点的瞬时变化率。3. 求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增Ay = /(x0+zlx)-/(x0) :(2)求平均变化率：/(兀 W(U (3)取极限，当山无限

2、趋近与0时，八矿 八也无限趋近与一个常数月,则 广4. 导数的几何意义：函数_f(x)在x = 处的导数就是曲线)u/(x)在点(xJ(x。)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求 曲线的切线方程，具体求法分两步：(1) 求出y = /(X)在及处的导数,即为曲线y = f(x)在点(x0,/(x0处的切线的斜率；(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y-y=f(x)(x-心)。当点PU(py0)不在y = f(x)上时，求经过点尸的y = /(A)的切线方程，可设切点坐标，由切点坐标得到 切线方程，再将尸点的坐标代入确左切点。特别地，如果曲线y = f(x)点处的切线平行与y

3、轴,这时导数不存在，根据切线泄义，可得切线方程为A=Aoo5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间r的函数S(f),则V = S(t)表示瞬时速度，“ = “(/)表示瞬时加速度。二、导数的运算1. 常见函数的导数：(1) (kjc+by = k(k, b为常数);(2) C=O(C为常数):(3)(灯=1；(4) (x2Y = 2xiX);日护(7)(8) (xay = oxa1 (。为常数)：(9 ) (ax )r = ax In a(a 0, * 1) ：(10 ) (log x)f = loge= (a 0,*1)： x 6 xna(11) (exY = e (12) (ln

4、xy = l；x(13) (sinx)r = cosx :(14) (cosx)r = -sinx。2. 函数的和、差、积、商的导数：(1)(/(X)g(x)r=r(x)g)； (2)icr(A)r=ya)(c 为常数)：(3) .f(x)g(x)丄厂(x)g(x) + /(x)g3； (4)普号，=厂&(琴;f 朗/ (劝工)。3. 简单复合函数的导数：若 y = /(w), u = ax+b，则 y； = y： ”:即 y； = y* - a。三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求函数单调性的基本方法：设函数y = f(x)在区间(“丄)内可导，(1) 如果恒.厂(x)0,则函数y

5、 = f(x)在区间(“0)上为增函数：(2) 如果恒r(A) 0 ,解集在左义域内的不间断区间为增区间；解不等式r(x)0 (其中使/V) = 0的兀值不构成区间)；(2) 如果函数y = /(x)在区间(“上)上为减函数，则/V)- = /(a)在心及其附近有泄义，如果对入附近的所有的点都有f(x) f(x0)(或/(a-X/U0), 则称/(兀)是函数/(x)的极小值(或极大值)。可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是：(1)确定函数子(0的定义域;(2)求导数f(x)； (3)求方程ff(x) = 0的全部实根，x,x2.xfl,顺次将建义域分成若干个小区间，并列表：x

6、变化时，f(x)和/&)值的变化情况：X（-00,片）Cvnx2） （,+oc）f（x）正负0正负0正负/(X)单调性单调性单调性(4)检査.厂(x)的符号并由表格判断极值。3.求函数的最大值与最小值：如果函数/(x)在左义域Z内存在入，使得对任意的*/,总有/(a-)/(x0),则称/(兀)为函数在左义 域上的最大值。函数在左义域内的极值不一左唯一，但在左义域内的最值是唯一的。2 / 6最新资料推荐求函数/(X)在区间仏甸上的最大值和最小值的步骤：(1) 求/(X)在区间(“上)上的极值：(2) 将第一步中求得的极值与f(afb)比较，得到/(X)在区间心上的最大值与最小值。4. 解决不等式

7、的有关问题：(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。f(x)(xeA)的值域是a,b时,不等式gvO恒成立的充要条件是/(a-U 0恒成立的充要条件是/(x)mln 0,即“ 0。/(x)(xe A)的值域是(d,b)时，不等式/(x)0恒成立的充要条件是/70恒成立的充要条件是6/0(2)证明不等式/(X)0可转化为证明.f(x)叭0,或利用函数/(X)的单调性，转化为证明 /(A)/(X0)0。5. 导数在实际生活中的应用：实际生活求解最大(小)值问题，通常都可转化为函数的最值.任利用导数来求函数最值时，一左要注意，极值点唯一的单峰函数，极值点就是最值点，在解题时要加以说明。1

8、. (本小题满分13分)已知函数/co二_ ,其中agRzrr +4工 + 4(I) 若a = 0,求函数/(x)的极値；(II) 当“ 1时，试确走函数用)的单调区间.2-(本小题满分13分)已知国数加=存；-曲：aER .(I )求国数刃的单调区间,(II)若函数刃在区间1的最小值为1,求a的值.3. (本小题共13分)已知曲线/(x)=.(I )求曲线在点(0，他)处的切线方程；(II)若存在忌使得/(无)10,求a的取值范围.1.(本小题满分13分)解：函数金上启的畝域加gR,且*71分6 / 6/(%=e(4x+4)-4er(4x+ 4)2-4xeK(4x + 4)23分令/3=0,

9、得“o,当H变化时，八上)和厂(”的变化情况如下:工(f-l)(7 0)0(0宀8)g0斗/(X)/$分故/(乂)的单调减区间対(一禺-1), (-L0),单调増区间为(0; + x).所叹当0时，lBM/(x)有极小值/(0)壬6分4(II)解：因为d 1,所以 /十4jr-t-4 = (x-b2): +(a-l)x:0,所以酬f(x)的定义域为R7分求导，得r(x)=严双衣+4-2(zir +4x+4)5严+牛+4)-尹：(2心十)(ox5 +4x+4)24令fg = Q，得可=0，勺“一：，9分当 1 a2时，花 +00+/7、z故函数几工）的单调减区间为（2-.0）,单调増区间为（-亚

10、2-丄），Qz） aa11分当 a = 2日寸，x2=x1=O ,2严F因为/（力=（2，十4卄孑八当且仅当*0时，r=o所以函数/（X）在R单调递増.12分当c2时，花 西，当x变化时，和fx）的娈化情况如下：X(-叫 0)0(0,2-1) a2-1a(2-一* a斗00+/故函数念）的单调减区间为杏令里调増区间対（5）, （2弓+2. （本小题浦分13分）解：函数mo的走义域罡（0,0）, r（x）=加-丄=竺二1.天H1）0当“0时，nx）=-lo,故函数/在上单调递孤A（2）当xo时，rw，所以函数f(刃在(,V)单调递増综上所述，当dWO时，函数用)的单调减区间是(0卞)，当a0时，

11、国数/的里调减区间罡)，单调憎区间为(宀7分0,舍去-(2)当a084,由(I )可知， 当wi,即心1时，函数介)在“上单调递増，所以函数他)的最4、值为AD =加=1,解得2 . 当lvgve,即”函数/衽(l)上单调递漏，在( 上里调逾所以函数/(r)的最小值为/)=丄*讥=L,解得a = e ,舍去. 当沢，即OvaW 扣，因数几0在l,eM调遠威， 所沁数/(X)的最小值为/(e)=lae:-l = b得a=,舍去.ZC综上所述,a = 213分3解；(I )因为/=1,所以切点为Q7 /(x) =0, A0)=a-l,所以曲线在点(QJ(。)处的切线方程为；y = (-i)x-l分(ID (1)当 QA0 时，令广(Q = o,则 x=lna.因为f