现代控制理论 第1章 状态空间描述

1、1896192019872006 第第1 1章章 控制系统的控制系统的 状态空间表达式状态空间表达式 1 本章内容本章内容 2 状态变量和状态空间表达式状态变量和状态空间表达式 系统的外部描述系统的外部描述 系统输入-输出描述 从系统“黑箱”的输 入-输出因果关系中 获悉系统特性 传递函数描述属系统 的外部描述 系统的内部描述系统的内部描述 系统的完全描述 “白箱”系统，完整 地表征了系统的动力 学特征 状态空间表达式属系 统的内部描述 3 基本概念基本概念 状态变量：状态变量：足以完全完全(?)表征系统运动状态的最小个数(?)的一组变量。 如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t=to时输入

2、的时间函数，那么， 系统在t=to的任何瞬间的行为就完全确定了，这组变量称为状态变量。 状态向量（矢量）：状态向量（矢量）：如果n个状态变量用x1(t)、x2(t)、xn(t)表示， 并把这些状态变量看作是矢量的分量，则就称为状态向量（简称状 态）。记作： 状态空间：状态空间：状态向量取值的空间，即以状态变量 x1、x2、xn为坐 标轴所构成的n维空间称为状态空间 021 ,)(,),(),(tttxtxtxx t n 4 状态变量的个数与选择状态变量的个数与选择 n阶微分方程描述的系统，有n个独立的状态变量。 同一个系统状态变量的选择不唯一，但状态变量的个数总是相等；有 的可以直接测量，有的

3、不能直接测量，通常选择容易测量的量。 例如： 机械和液压系统：流量、压力、速度、加速度、位移、力及它 们的导数等；电系统：电压、电流、电荷、磁通及它们的导数等 如果将储能元件的物理变量选为系统的状态变量，则状态变量的个数 等于系统中独立储能元件的个数 5 基本概念基本概念 n状态方程：状态方程：系统状态方程描述的结构图如下图所示 输入引起状态的变化是一个动态过程，每个状态变量的一阶导数与所有 状态变量和输入变量的数学表达(常微分方程常微分方程ode)称为状态方程，一般形式 为： 1111 2211 11 (, ) (, ) ( , , ) (, ) nm nm nnnm xfxxuut xfx

4、xuut xf x u t xfxxuut 标量形式，繁琐! 矢量形式 6 假设：causal system 现在的输出只取决 于现在和过去的输入， 而与将来的输入无关。 基本概念基本概念 n输出方程：输出方程：描述状态与输入一起引起输出的变化是一个代数方程 称为输出方程，其一般形式为 n状态空间表达式：状态空间表达式：状态方程和输出方程合在一起，构成对一个系 统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 1111 11 (, ) ( , , ) (, ) nm ppnm yg xx uut yg x u t ygxx uut (, ) (, ) xfx u t ygx u t 7 系统的分类

5、系统的分类 线性和非线性系统线性和非线性系统(linear/nonlinear) 时变系统和时不变系统时变系统和时不变系统(time-invariant) 连续和离散系统连续和离散系统(continuous/discrete) 非随机系统和随机系统非随机系统和随机系统(stochastic system) 确定性系统和不确定系统确定性系统和不确定系统(uncertain system) 8 线性系统和非线性系统线性系统和非线性系统 线性系统状态空间表达式线性系统状态空间表达式 ( )( ) ( )( ) xa t xb t u yc t xd t u 非线性系统状态空间表达式非线性系统状态空间

6、表达式 1212 1212 ( , ) ( , ) nm nm xf x xx u uut yg x xx u uut 为什么是线性的? 9 时变系统和定常系统时变系统和定常系统 时变系统状态空间表达式时变系统状态空间表达式 定常系统状态空间表达式定常系统状态空间表达式 xaxbu ycxdu 1212 1212 ( ,) ( ,) nm nm xf x xx u uu yg x xx u uu 显含 t, explicitly 隐含 t, implicitly ( )( ) ( )( ) xaxbutt uttycxd 1212 1212 ( , ) ( , ) nm nm xf x xx

7、u uu yg x x t tx u uu 10 连续系统和离散系统连续系统和离散系统 连续系统状态空间表达式连续系统状态空间表达式 离散系统状态空间表达式离散系统状态空间表达式 ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) x ta t x tb t u t y tc t x td t u t 1212 1212 ( , ) ( , ) nm nm xf x xx u uut yg x xx u uut )()()()()( )()()()() 1( kukdkxkcky kukhkxkgkx )()()( )()() 1( kdukcxky khukgxkx t0

8、, , continuous time k0,1, discrete time 11 建立状态方程的步骤建立状态方程的步骤 选择状态变量 根据物理或其它机理、定律列写运动微分方程 化为状态变量的一阶微分方程组 用向量矩阵形式表示 12 状态空间描述举例一状态空间描述举例一 例1：求图示机械系统的状态空间表达式 令 得动态方程组 ku(t) m y(t) b )(tukyybym yxyx 21 1 21 2 21 1 1 xy u m x m b x m k u m y m b y m k yx xx 问题：到底有 何区别？ 13 状态空间表达式为 2 1 2 1 2 1 01 1 010 x

9、 x y u m x x m b m k x x 思考：如何检验？ 14 状态空间描述举例二状态空间描述举例二 例2求图示rlc回路的状态空间表达式 令 rl + _ + _ u(t)uc(t) + _ y i(t) 输入输出 uuri dt di l c i dt du c c ixux c 21 u l i l r u ldt di c 11 i cdt duc1 15 状态空间表达式为 11 22 1 2 1 00 1 1 10 xx c u xxr l ll x y x 16 状态空间表达的系统框图状态空间表达的系统框图(矩阵向量图矩阵向量图) ( )( )( ) ( )( )( )

10、x tax tbu t y tcx tdu t 状态空间表达式 17 状态空间表达的模拟结构图状态空间表达的模拟结构图(标量图标量图) 绘制步骤：绘制步骤： 绘制积分器 画出加法器和比例放大器 用线连接各元件，并用箭头示出信号传递的方向。 例：例：设三阶系统状态空间表达式为 12 23 3123 13 xx xx x6x3x2xu yxx 18 其模拟结构图为： 思考：已经有了前述的系统框图, 为何 还要这种模拟结构图(繁!)? 19 1. 从传递函数方块图出发建立状态空间表达式 思路： （1）将方块图细化到显示出积分，积分之后为状态变量，积分之前为 状态变量的一次微分。 （2）按细化后的方块

11、图逻辑关系，直接写出状态空间表达式。 例、求图示系统的状态空间表达式。 u(t)y(t) - 2 1s s3 1 s 648s 1 2 s 20 u(t)y(t) - 2 1 s3 1 s)8( s 1 s 64 - u(t) y(t) - s 1 s 1 s 1 64 - 2 - 3 - s 1 8 - 1 x2 x 3 x 4 x - - 21 112 213 3134 414 x8xx x64xx xx3xxu xx2xu 1 yx 状态空间描述 由此进一步得到矩阵向量形式的状态空间表达式: 22 11 22 33 44 82000 640100 10311 10021 1000 xx

12、xx u xx xx yx 2. 从系统的物理原理出发(直接)建立状态空间表达式 例 系统如图所示 选择状态变量： x1=il,x2=uc 接下一页 23 dt du c rdt di lui cl l 1 1 )( ur dt du cu dt di l c c l 2 整理得： 21 1 21 21 )( rr r l u rr rr l i l u dt di cll cl c u rrc i rrc r dt du )( 1 )( 2121 1 接下一页 24 状态方程为： 11212 1 1212 21 12 1212 1 () 1 ()() c udxr rrx x dtl rrr

13、rll dxr xx dtc rrc rr 输出方程为： 2 xuy c 接下一页 25 写成矩阵形式： 121 121211 22 1212 1 2 1 ()() 1 0 ()() 01 r rr l rrl rrxx ul xxr c rrc rr x y x 答 26 例 系统如图 图示由弹簧、质量体、阻尼器组成的机械动力学系统的物理模型。 试建立以外力u（t）为系统输入、质量体位移y（t）为输出的状态空 间模型。 见下二页 27 解：设在外力u(t)作用于小车前，小车已处于平衡态。这里 仅考虑外力加入后对小车运动的影响。系统的受力情况如下 图所示。 由牛顿第二定律有： ky dt dy

14、 fu dt yd m 2 2 接下一页 28 1 yx 选择状态变量：对机械动力学系统，常常将位移、速度等选作 状态变量。对本例，有 12 ( )( )( )( )x ty tx ty t 状态变量代入，得： u m x m f x m k x xx 1 212 21 输出方程： 即得如下矩阵形式的状态空间模型： 010 1 y10 xxu kf mmm x 答 29 由输入-输出微分方程确定状态空间描述的问题称为实现问题。实现问题。 设单输入-输出线性定常连续时间系统微分方程描述为 它的传递函数为 为了得到微分方程式或传递函数式所示系统的状态空间描述，首先 选择适当的状态变量，以保证得到前

15、面描述形式的状态方程 nm asasas bsbsb su sy sg n n n m m 01 1 1 01 )( )( )( ( )(1)(m) 11010 nn nm yaya ya yb ubub u 30 implementation/realization 传递函数没有零点（输入信号不包涵导数时） (1)选择 为状态变量，即 (2)要将高阶微分方程化为一组一阶微分方程 ( )(1) 1100 nn n yaya ya yb u )1( , n yyyy 1 2 3 (1)n n xy xy xy xy 31 12 23 (1) 1 011210 n nn n nnn xyx xyx

16、 xyx xya xa xaxb u 11 22 0110 010 010 nnn xx xx u xaaaxb 100yx (3)化为向量形式 状态方程为: 输出方程为: 32 例 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型 61162yyyyu 解 本例中 因此，可得状态空间模型如下 0100 0010 61162 100 xxu yx a2=6 a1=11 a0=6 b0=2 接下一页 33 其系统结构图如下所示 思考：“1”和“2”能 否互换位置？ 答 34 问题：那个“6”是 a0 ? 特点：各系数 需要通过“追赶法”计算得到。 过程：要通过函数框图的等效便换函数框图的等效便换（详见教

17、材p27-30页， 过程略为复杂，请自学，下次讨论）。 01 , n -1 -2 01-10 010 001 - 100 n n n n xxu aaa yxu (1.33) 规范型实现规范型实现 35 注意：图中系数下标顺 序与本教材不同! 输入无无导数 输入有有导数 36 10 1 110 ( ) ( ),() ( ) m m nn n b sbsby s g smn u ssasa sa 教材(p25)系数下标：逆序逆序 mce5，ogata，p29系数下标：顺序顺序 011 11 1 0 1 ( ) ( ),(0 possible) ( ) nn n nn nn n b sbsbsby

18、 s g sb u ssa sasa proper mn和m=n意味什么？ 0 0 0 0strictly proper mnb mnb 注意：系数下标顺序 与本教材不同! 37 1 2 nn-11n 0 010 001 - 100 xxu aaa yxu 00 1 11 21 n nn-11 1 1 1 1 n b a b aa b aaa 其中 i 满足方程 传递函数有零点时的状态实现 注意：系数下标顺序 与本教材不同! natural 47 存在任意一个非奇异矩阵t，将原状态向量作线性 变换，设变换关系为 得到新的状态空间表达式 ztx udzcty xtxtzubtzattz 0 11

19、11 )0()0(; 48 例 下列系统作线性变换： 111 222 022 ,03 130 xxx uy xxx 给定变换： 62 20 xtzz 见下一页 49 1 1 0 62 2 , 2013 22 tt 解： 状态空间表达式变为： 11 11 00 02622 22 z+ 131320130 2222 010 231 ztatzt bu u zu 62 0360 20 yctzdu zz 答 50 1.系统特征值系统特征值 设给定系统的状态方程为 系统的特征值定义为如下特征方程 的根。 2.特征值的不变性特征值的不变性 同一系统经非奇异变换后，其特征值是不变的。 3.系统的不变量系统

20、的不变量 由于特征值全由特征多项式的系数唯一地确定，而特征值经非奇 异变换是不变的，那么特征多项式的系数为系统的不变量。 udxcy ubxax 0)det( ai 51 如果对一个非零向量 成立 称非零向量 为矩阵a的属于特征值 的特征向量。 特征向量不是唯一的。当n个特征值 为两两相异时， 任取的n个特征向量 必是线性无关的。 ()0, ii ia p n , 21 n ppp , 21 i p i p i 52 对系统，如其n个特征值 为两两相异，利用它 们的特征向量组成变换矩阵 ，那么系统的状态 方程在变换 下，必可化为如下的对角线规范型： n , 21 n pppp , 21 xpz

21、 1 11 1 zp apzp bu zp bu 其中， n 2 1 为什么？ 见下一页 53 12 12 1 2 112212 , , , n n nnn n apa p pp ap apap pppp pp p 证明： 证毕 54 例：试将下列普通状态空间模型变换为对角规范形 0110 61160 61151 100 xxu yx 见下三页 55 解：先求a的特征值。由特征方程可求得特征值为 求特征值所对应的特征向量： 由前述的方法可求特征值1、2和3 所对应的特征向量： 123 1,2,3 31 21 11 31 21 11 1 31 21 11 5116 6116 110 p p p

22、p p p p p p 112131 112131 112131 0 61060 61160 ppp ppp ppp 3111 21 0 pp p 取： 1p11 1 0 1 1 p 接下一页 56 同理可得： 23 11 2 ,6 49 pp 取a的特征向量组成变换矩阵p并求逆阵p-1 ，即有 1 5 32 111 2 026 ,343 1493 11 2 pp 接下一页 57 计算各矩阵 11 1002 020,3 0031 1 1 1 ap apbp b ccp 系统在新的状态变量下的状态空间表达式为： 1002 0203 0031 1 1 1 xxu yx 答 58 1. 在对角线规范

23、形下，各个状态变量间实现了完全解耦，可表成 为n个独立的状态变量方程。 2.如果系统矩阵a具有标准形式 且其特征值为两两相异，则此时化状态方程为对角线标准形的 变换阵是一个范德蒙德（vandermonde）矩阵 110 10 10 n aaa a 11 1 1 11 n n n n p 如有重根、共轭复根时, 详见p40 59 如果系统的特征值为非互异的，则其状态方程不能转化为对 角线规范形，但可以构造特定的变换矩阵使之化为准对角线规范 型，即约旦(jordan)规范型。 设系统的特征值有q个1的重根，其余（n-q）个根为两两相 异，则变换矩阵的计算公式如下 121 , qqn pp pppp

24、 nq pp , 1 12 , q p pp 111 2121 11 0 qqq app appp appp 广义特征向量广义特征向量 其中， 是对应于（n-q）个相异特征值的特征向量，对应于q个1的 重根的特征向量 的求取根据下式计算 60 11 1 zp apzp bu jzp bu 1 1 1 1 1 10 0 0 1 00 0 0 0 q n jp ap 其中， 为什么？ 见下一页 61 11 121 111121111 1 1 11211 1 , , ,(),(), 10 0 0 1 00, 0 0 0 qqn qqn qqqqnn qqqn q n apa pppp apapapa

25、pap ppppppp pppppp 证明： 证毕 62 n n n m m m m n n n m m m m s c s c s c sss bsbsbsb asasas bsbsbsb sw 2 2 1 1 21 01 1 1 01 1 1 01 1 1 )()( )( uxx n 1 1 1 0 0 2 1 xcccy n 21 u c c c xx nn 2 1 2 1 0 0 xy 111 1、具有互异根的情况 或 63 n n n m m m m n n n m m m m s c s c s c s c s c sss bsbsbsb asasas bsbsbsb sw 4 4

26、 1 3 2 1 2 3 1 1 4 3 1 01 1 1 01 1 1 01 1 1 )()( )()()( )( 1 1 1 4 12 100 0100 001 01 0 01 n n xxu ycccx 2、具有重根的情况 64 例: 将下述传递函数变换为状态空间模型 6116 2 23 sss sg 见下二页 65 解：由系统特征方程 32 61160sss 可求得系统极点为 123 1,2,3 于是： 312 c2 ( ) (1)()(3)123 cc g s sss ssss 其中： 1 1 2 2 3 3 ( )(1)1 ( )(2)2 ( )(3)1 s s s cg ss c

27、g ss cg ss 接下一页 66 故当选择状态变量为g(s)分式并联分解的各个一阶惯性环 节的输出。可得如下状态空间模型： xy uxx 121 1 1 1 300 020 001 将此结果与前面能控标准型的例题结果相比较也说明： 对于同一个系统，若采用不同的建立状态空间模型的方法， 将得到不同的状态方程，即状态空间模型不具有唯一性。 答 67 对应于系统 的传递函数矩阵为 同一个系统，尽管其状态空间表达式可以作各种非奇异变 换而不是唯一的，但它的传递函数矩阵是不变的。 udxcy xubxax 0)0(, dbasicsw 1 )()( 68 例：求如下系统的传递函数 512 315 1

28、2 xxu yx 见下一页 69 解：先计算逆矩阵(si-a)-1 51 =(2)(4) 31 s siass s 5111 adj()adj 3135 ss sia ss 1 11 adj()1 () 35(2)(4) s sia sia ssiass 所以： 1 ( )() 11212 1259 355(2)(4)(2)(4) g sc siab s s sssss 答 思考：其他方法？思考：其他方法？ 70 给定状态空间描述的系数矩阵a，b，c，d，求出 1 110 det() nn n siasasa sa 和 cbabcaabcae cbabcaabcae cbacabe cbe n n n n n n nn n 1 2 1 1 1 2 3 1 2 2 12 1 则相应的传递函数矩阵可按下式定出： 12 1210 1 ( ) det() nn nn g sesese sed sia 71 n系统状态空间描述在坐标变换下的特性系统状态空间描述在坐标变换下的特性 n如果两个状态空间描述之间存在非奇异线性变换关系，则称它们是 代数等价的，即它们具有相同的一些代数特性。 n同一系统采用不同的状态变