赛车道路况分析问题

1、赛车道路况分析问题赛车道路况分析问题数学10-03班 王玉刚10104477 吴曦 10104478 徐晓 10104479一、题目。现要举行一场山地自行车赛，为了了解环 行赛道的路况，现对一选手比赛情况进行监测， 该选手从A地出发向东到B,再经C D回到A 地（如下图）。现从选手出发开始计时，每隔15min 观测其位置，所得相应各点坐标如下表（假设其 体力是均衡分配的）：由Af B各点的位置坐标（单位：km）横 0.3 4.56 6.45 9.71 13.17 16.23坐 18.36 20.53 23.15 26.49标x纵6.56 5.28 4.68 5.19 2.34 6.94坐5.5

2、5 9.86 5.28 3.87标y横28.23 29.1 30.65 30.92 31.67 33.03坐34.35 35.01 37.5标x纵3.042.883.682.382.06坐2.58 2.16 1.45 6标y由Cf B各点的位置坐标（单位：km）横1.84.906.519.7313.18坐16.20 18.92 20.50 23.23 25.56标X纵19.89 24.52 34.82 40.54 37.67 41.38坐30.00 19.68 14.56 18.86标y横28.31 29.45 30.00 30.92 31.67 33.31坐34.23 35.81 37.5标

3、x纵18.55 22.66 18.28 15.06 13.42 11.86坐7.68 9.45 6标y假设： 1. 车道几乎是在平原上，但有三种路况 （根据平均速度 v（km/h） 大致区分）：平整沙土路（v30）、坑洼碎 石路（10v30）、松软泥泞路（v10）;2. 车道是一条连续的可以用光滑曲线来近 似的闭合路线;3选手的速度是连续变化的 .求解： 1. 模拟比赛车道的曲线和选手的速度曲 线;2估计车道的长度和所围区域的面积;3分析车道上相关路段的路面状况（在车道上用不同颜色标记出来） ;4对参加比赛选手提出合理建议 . 二、问题分析以及求解。1. 赛道：根据图可知直接求解出 y=f（x

4、） 比较 困难，故可采用参数函数的形式。 这里使用了插 值法以及多项式拟合法。（ 1 ）多项式拟合： 程序： x=0.3,4.56,6.45,9.71,13.17,16.23,18.36 ,20.53,23.15,26.49,28.23,29.1,30.65,30.92 ,31.67,33.03,34.35,35.01,37.5;y=6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6;a,s=polyfit(x,y,9);xx=0:0.001:38.1;yy=po

5、lyval(a,xx);plot(x,y,o:m,xx,yy,LineWidth ,2)hold on;x=0.3,1.8,4.90,6.51,9.73,13.18,16.20,18.92,20.50,23.23,25.56,28.31,29.45,30.00,30.92,31.67,33.31,34.23,35.81,37.5;y=6.56,19.89,24.52,34.82,40.54,37.67,41.38,30.00,19.68,14.56,18.86,18.55,22.66,18.28,15.06,13.42,11.86,7.68,9.45,6;a,s=polyfit(x,y,11)

6、;xx=0:0.001:38.1;yy=polyval(a,xx);plot(x,y,o:m,xx,yy,LineWidth ,2)图象：(2)插值法：程序：x=0.3,4.56,6.45,9.71,13.17,16.23,18.36 ,20.53,23.15,26.49,28.23,29.1,30.65,30.92 ,31.67,33.03,34.35,35.01,37.5,35.81,34.23 ,33.31,31.67,30.92,29.65,29.8,28.31,26.56 ,23.23,20.50,18.32,16.20,13.18,9.73,6.51, 4.90,1.8,0.3;y

7、=6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9 .86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2. 58,2.16,1.45,6,9.45,7.68,11.86,12.42,14.0 6,17.28,20.66,17.55,19.86,14.56,18.68,35.24,42.38,38.67,41.54,35.82,24.52,19.89,6.56;t=0:0.25:9.25;tt=0:0.01:9.25;xx=spli ne(t,x,tt);yy=spli ne(t,y,tt);plot(x,y,-ms,xx,yy,k,L in

8、eWidth,1 ,MarkerEdgeColor,k,MarkerFaceColor, g)图像：由以上两种方法的对比可以看出，插值法的效果 明显好于多项式拟合。2. 速度曲线，赛道长度。根据相邻两点求出直线斜率，及该段内的平均速度，利用自动插值可求出速度变化曲线。x=0.00,0.00,0.3,4.56,6.45,9.71,13.17,16.23,18.36,20.53,23.15,26.49,28.23,29.1,30.65,30.92,31.67,33.03,34.35,35.01,37.5,35.81,34.23,33.31,31.67,30.92,29.65,29.8,28.31,

9、26.56,23.23,20.50,18.32,16.20,13.18, 9.73,6.51,4.90,1.80,0.30;y=0.00,0.00,6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6,9.45,7.68,11.86,12.42,14.06,17.28,20.66,17.55,19.86,14.56,18.68,35.24,42.38,38.67,41.54,35.82,24.52,19.89,6.56;dx=diff(x)./0.25;dy=dif

10、f(y)./0.25;v=(dx.A2+dy.A2).A(1/2);t=0:0.25:9.5;tt=0:0.01:9.75;vv=interp1(t,v,tt,cubic);plot(t,v,*,tt,vv,r)L=0;for i=1:975L=L+vv(i)*0.01; endL所以，L= 180.457140120100閱6040203. 所围面积x1=0.3,4.56,6.45,9.71,13.17,16.23,18.36,20.53.23.15.26.49.28.23.29.1.30.65.30.92,31.67,33.03,34.35,35.01, 37.5;x2=0.3,4.90,

11、6.51,9.73,13.18,16.20,18.32,20.50.23.23.26.56.28.31.29.8.29.65.30.92,31.67,33.31,34.23,35.81, 37.5;y1=6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6;y2=19.89,24.52,35.82,41.54,38.67,42.38,35.24,18.68,14.56,19.86,17.55,20.66,17.28,14.06,12.42,11.86,7.68, 9

12、.45,6;xx=0.2:0.1:37.5;yy1=interp1(x1,y1,xx,cubic);yy2=interp1(x2,y2,xx,cubic);plot(xx,yy1,r,xx,yy2,b)s1=trapz(xx,yy1);s2=trapz(xx,yy2);s=s2-s1所以，S= 750.20034. 赛道路面情况，以及对选手的建议。方法一clear;clc;x1=0.30,4.56,6.45,9.71,13.17,16.23,18.36 ,20.53,23.15,26.49,28.23,29.10,30.65,30.9 2,31.67,33.03,34.35,35.01,37.

13、50;y1=6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6.00;x2=0.30,1.80,4.90,6.51,9.73,13.18,16.20,18.92,20.50,23.23,25.56,28.31,29.45,30.00 ,30.92,31.67,33.31,34.23,35.81,37.50;y2=6.56,19.89,24.52,34.82,40.54,37.67,41.38,30.00,19.68,14.56,18.86,18.55,22.66,

14、18.28,15.06,13.42,11.86,7.68,9.45,6.00;axis(-5 40 -5 45);grid;for i=1:length(x1)-1l=0;t1=x1(i):0.01:x1(i+1);d1=spline(x1,y1,t1);for ii=1:length(d1)-1l=l+sqrt(0.01)八2+(d1(ii+1)-d1(ii)八2);endv1(i)=l*4;if v1(i)30hold on;plot(t1,d1,m,linewidth,4);elsehold on;plot(t1,d1,r,linewidth,5);endend for j=1:leng

15、th(x2)-1ll=0;t2=x2(j):0.01:x2(j+1); d2=spline(x2,y2,t2);for jj=1:length(d2)-1ll=ll+sqrt(0.01)八2+(d2(jj+1)-d2(jj)八2); endv2(j)=ll*4;if v2(j)30hold on; plot(t2,d2,g,linewidth,3);elsehold on; plot(t2,d2,r,linewidth,4);endEnd45-505101520253Q3540可以看出，这个程序比较复杂。于是，我们又用 了另外一种方法，程序如下：方法二clear;clc;x=0.3,4.56,

16、6.45,9.71,13.17,16.23,18.36,20.53,23.15,26.49,28.23,29.1,30.65,30.92,31.67,33.03,34.35,35.01,37.5,35.81,34.23,33.31,31.67,30.92,29.65,29.8,28.31,26.56,23.23,20.50,18.32,16.20,13.18,9.73,6.51,4.90,1.8,0.3;y=6.56,5.28,4.68,5.19,2.34,6.94,5.55,9.86,5.28,3.87,3.04,2.88,3.68,2.38,2.06,2.58,2.16,1.45,6,9.

17、45,7.68,11.86,12.42,14.06,17.28,20.66,17.55,19.86,14.56,18.68,35.24,42.38,38.67,41.54,35.82,24.52,19.89,6.56;t=0:0.25:9.25;tt=0:0.01:9.25;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);dx=diff(xx)./0.01;dy=diff(yy)./0.01;vv=(dx.A2+dy.A2).A(1/2);for i=1:1:925if vv(i)0&vv(i)10&vv(i)30plot(xx(i),yy(i),r+,markersi

18、ze,2);hold on;elseplot(xx(i),yy(i),ko,markersize,2); hold on;endEndFile dit View Insert Tools desktop Vindw Helpn因此，选手要想取得优异的成绩，必须在 不同路段选择不同的速度。也就是要在不用的时 间段选择不同的速度，只要这样才可以顺利的完 成比赛，不至于造成危险。课题总结： 在本次实验中我们可以明显看到， 这是一道 综合性的题目， 但仔细分析就可以发现， 这其实 是我们最近几次实验内容的有机组合。 因此，在 解决问题的时候， 我们可以应用最近几次实验的 方法，将复杂问题分解为一个个简单问题， 一点 一点来解决。 由此，我们也深刻体会到了平时训 练的重要性， 只有做好了平时每一次训练， 才可 以解决难题； 只有掌握了每一种方法， 并将其融 会贯通，才可以熟练的应用这些方法去解决综合 性的问题。另外，我们应该注意培养自己分析问 题的能力， 这是至关重要的， 这也是解决问题的 关键。至于MATLAB勺一些基本操作