赤平投影原理及讲解(20210413073942)

1、一、序音岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平而滑动的单一楔形断而滑体、单滑块和多滑块分 析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及岩土工程勘察规 范（GB50021-94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和 坡而、坡顶面）或直线（包括平而的法线的地质产状，以及平而与平而、直线与直线、直线与平而 间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测虽获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤 平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如 果采用极射赤平投彤求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就

2、可以简化这些几何参数的计算过程， 而且一般情况卜只需要在现场测虽出各个控制平而的地质产状即可。二、极射赤平投彩的基木原理（一）投形要素极射赤平投彫（以卜简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投彤的各个组成部分称为投 影要索，包括：1. 投影球（也称投射球）：以任总长为半径的球。2. 球面：投影球的表面称为球面。3. 赤平面（也称赤平投影而：过投形球球心的水平面。4. 大圆：通过球心的平面与球而相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW）, 所有大圆的直径相等，且都等丁投球的直径。当平面直立时，与球而相交成的大圆称为直立大圆（如 图一（a）中PSFN）:当平而水平时，

3、与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）； 当平面倾斜时，与球而相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。5. 小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（C）中AB、CD、FG、 PACB） o当平面直立时，与球而相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b中DC）；当平而水平时， 与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为 倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（C）中PACB） 6. 极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和卞极射点（F）。山上极射 点（P）把卜半球的几何要索投影到

4、赤平而上的投影称为卜半球投影：Ifl卜极射点（F）把上半球的几 何要索投影到赤平而上图一：极射赤平投影要素（a）基圆NESW、倾斜大圆ANBS、上极射点P、下极射点比（b）水平小圆 AB、直立小圆CD、倾斜小圆FG;c）过极射点的倾斜平面小圆FACB的投影称为上半球设购。一般采用卜半球投影。7. 极点：通过球心的直线与球而的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、F 两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点：倾斜直线交球而上两点（如图五中A、B）。（二）平面的赤平投膨平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交 各点连线称为相应平面的赤平投

5、影。1. 过球心平面的赤平投影随平而的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投为大圆弧（如图二中的 NB，S）：直立平面的赤平投彤是基圆的一条直径（如图一 （a）中的NS）：水平而的赤平投彤就是基 圆（如图一中的NESW）。2. 不过球心平而的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平而的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如 图三KDZH）:倾斜平而的赤平投影有以F三种情况：当倾斜小圆在赤平而以卜时，投影是一个圆， 且全部在基圆之内（如图三FG） ： （2）当倾斜小圆全部位于上半球时，投彤也是一个圆，但全部在基 圆之外：当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在卜半球时，赤平面以卜部分的投影任基圆之内， 以上部分的投影在基圆

6、之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（C）中 PACB的投影为AB）：水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中AZB9 , 是一个与基圆同心的圆。（三）直线的赤平投膨直线AB的投彤点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平而的交点A* B铅直线的投彤点 位丁基圆中心：过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径：倾斜直 线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹊点，在赤平投影图上两点的角距相 差180 （如图五）。（四）吴氏网及其CAD制作口前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投形网。等角距投网是111吴尔福发明 的，简称吴氏网

7、：等面积投彤网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的上耍区别在于：球而上大小 相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由丁在赤平面上所处位且不同， 投影圆的大小不等，其直径随着投形圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投购则呈 四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形而枳是相等的，且等T球面小圆面枳的一半。使用吴氏 网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏 网时，可以作出而、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助丁对而、线 群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。1. 吴氏网的结构及成图原理吴氏网

8、(图六)由基圆、南北经向大圆弧(NGS、东西纬向小圆弧(ACB)等经纬线组成。标 准吴氏网的基圆3E图二：倾斜平面的极射赤平投影(a)透视图；(b)赤面投影图图三：倾斜和直立球面小圆的极射赤平投影(a)透视图；(b)赤面投影图图四：水平球面小圆的赤平投影图五：过球心的倾斜直线的赤平投影直径为20cm.经、纬线间的角距为2。基圆，由指北方向（N）为0。,顺时针方向刻出360。，这些刻度起着虽度方位角的作用：（2）经向大圆弧是山一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由0。到90 （角距 间隔为2。的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点（E点和W 点）的距离分

9、别代表各平面的倾角。如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平而向西倾斜，倾角 为30J（3）纬向线是ih系列走向东西的直立平面的赤平投彤小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心 o愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圖心o愈近，则半径角距就愈大。相邻纬向 小圆弧间的角距也是2。，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。 如图六所示，ED = SH=WG = NF,角距都为30。2. 吴氏网的CAD图解绘制吴氏网，其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧=那么这些大圆弧和小圆 弧都是怎样是绘制出来的呢？在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用

10、圆规、直 尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。而在CAD制图系统软件卜，绘制大圆弧和小圆弧是非常简 的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。（1）绘制大圆弧的原理与步骤要绘制大圆弧，应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B，（如图二所示），其中N、S点是每条 大圆弧都必须经过的，是己知点。现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点BX问题就迎刃 而解。 计算OB，长度根据倾斜平而的倾角、基圆的直径，可按卜式计算点O与点B，之间的距离OBr = R45-a）2 （公式一）式中r基圆的半径；a大圆弧所代表平面的倾角（）- 以基圆的圆心为圆心，OB，长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线EW交丁点。 过

11、N、S、B，三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。（2）绘制小圆弧的原理与步骤要绘制半径角距为的小圆弧，同样也应至少知逍小圆弧上的三个点（如图六所示的A、C、B 三个点）。根摇吴氏网的结构与原理，町以通过CAD制图确定A、C、B三个点的位亘. 确定点C,首先用公式一计算点0与点C间距离，但其中为小圆弧的半径角距：然后以基圆 的圆心为圆心，OC长为半径画圆，该圆与基圆的南北径向线NS交丁C点。 以基圆的圆心为基点，将南北径线ON分别逆时针和顺时针旋转角度，得两条直线，分别与 基圆交于A、B点。 过A、C、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。三、赤平投购网CAD

12、图解的应用利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是：把透明纸(或透明胶片等)蒙在 吴氏网上，画基圆及十字网心，并用针固定丁网心上，使透明纸能够绕网心旋转。然后在透明纸上 标出E、S、W、N.以正北(N)为0。，顺时针数到360。东西直径EW确定倾角，一般是圆周为0。, 至圆心为90。.这样做具有以卜缺点：一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而 移位：三就是准确性不高；四是效率低。如果用CAD制图，则可避免上述不足，且使作图更简化， 用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。1. 平面赤平投影的CAD图解(如图七)例1： 一平而产状126

13、Z30.绘制其赤平投影图。(1) 绘制一直径为20cm的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出E、S、W、No后面的 例子均需耍这一步，画法与之相同，所以不再重复。(2) 平而的倾向是126。则其走向为36。将南北径线绕基圆的圆心O顺时针旋转36。到达AB 位迓，与基圆交丁 A、B两点,则AB就是平而的走向线。(3)在事先画好的赤平大圆上画出平面的走向线鉅和倾斜线；(“也赤平大圆的圆心0为圆心，以R为半径画圆，该圆交(D于点C； (c)画过人B. C三点的大圆弧(3) 以基圆的圆心O为基点，将射线ON顺时针旋转126。到达OD位逻，与基圆相交丁点D, 则OD即为该平而的倾向线。(4) 用公式

14、一计算线段OC长度。以基圆的圆心O为圆心，OC为半径画圆，交OD T C点。(5) 采用三点法，即过A、C、B三点画圆，并切掉基圆外部分，所得大圆弧ACB即为该平面的 赤平投形。2. 直线赤平投影的CAD图解(如图八)例2： 直线产状330Z40,绘制其赤平投影图=将ON绕圆心0顺时针旋转330。后到达OA位亂 与基圆交丁点A,则OA即为该直线的 倾伏向。(2)用公式一计算O值。以基圆的圆心0为圆心，0A，为半径画圆，交OA T Az点，则点 即为该直线的赤平投彤。图八：直线的赤平投影CAD图解步骤炳在事先LSJ好的赤平大圆上回出直线OA； (bJ以赤平大圆的圆心0为圆心，以R为半径画圆，该圆

15、交泌于点图九：平面法线的赤平投影C如图解(Q透视图；(b)赤平图3. 平而法线赤平投彤的CAD图解(如图九例3： 平面产状为105Z40.绘制其法线的赤平投影。(1) 按例1所述方法，绘制产状为105Z40平而的赤平投影大圆弧NB，S(2) 平而法线的倾角与平而的倾角之和等T- 90,因此平面法线的倾角为50=用公式一计算 OA，。以基圆的圆心0为圆心，OA，为半径画圆，交B9的延长线丁 A，点，则A，点为该平而法线的赤 而投形，也称其为平而的极点。111 丁平面法线倾向与平面倾向相反，相差180,平面法线的倾角与平面的倾角之和等丁 90。， 因此也町根据平面法线产状与平面产状间的这种关系，首

16、先计算法线的产状为285Z50.然后再按 例2方法绘制法线的赤平投影。4 相交两条直线所构成平面的产状例4：己知两直线180。/20。和90。/323。相交，用赤平投彤法求解这两条直线所构成平而的产状（如图十（a） . （b） ） o透视图；两相交直线确定平面的赤平图;（c）两相交直线夹角平分线的赤平图为很好地利用CAD制图解决这个问题，引入两条直线倾角与平而倾角间的关系式： tan2Psin2y=tan2a 1+tana2-2tana ltana2cosy 公式二） 式中B两条相交直线所构成平而的倾角（）:al、a2分别为两条直线的倾伏角（。）：Y两条直线倾向夹角（）o用公式二计算两条直线所

17、构成平面的倾角为3=36.13%（2）确定投影大圆弧的圆心0，,点0,应在线段UF的垂直平分线上。要确定点0,的位逻，需要 用卜列公式计算平而的赤平投购大圆弧的半径。计算出赤平投彤大圆弧的半径后,再以点C，或者点1+伽（4亍“）R =2 R2Lan（45-Z?）F为圆心画圆.与二.UF的匝讥平分线相交丁点0S21 （公式：）式中R赤平投影大圆弧的半径；R基圆的半径。（3）确定平面的走向AB：以0,为圆心，以为半径画圆，与基圆相交丁两点A、B,则AB即为 所求平面的走向，为30。曲此算出该平面的倾向为120%因此所求平而产状为120Z36c此外，两条直线所构所平面的倾向，也可由卜式计算确定：呼

18、=i_2（嗨伽巧+（鸣ycos 4tanqtan a.111（公式四）式中平面倾向与直线1倾向之差：其余符号意义同公式二。5. 相交两条直线的夹角及其角平分线例5：用赤平投影法求解例4两条直线的夹角及其角平分线（图十（C） ） o（1）按例4作法，确定两条直线所构成平面的赤平投彤，即大圆弧AFUB.其产状约为120。/ 36 o（2）虽取大圆弧上C，与F，间的角距为54。，即相交两条直线的夹角为54。该圆弧UF，段的角 距平分点&（27）就是相交两条直线夹角平分线的赤平投彤，由此可以确定两条相交直线夹角平分 线的产状为139.67。上34.51。除上述作图法外，还可用卜式计算两条相交直线的夹角

19、：cos人cos/1= 1sin 7, sin 徨tang tan冬（公式五）式中一两条相交直线的夹角（。：其余符号的意义同前。6. 平面上一直线的倾伏和侧伏（如图十一）例6：己知平而产状180Za （ a = 36），平面上一条直线AC的侧伏向巳侧伏角B（ P=44, 是指该平而走向线与该直线所夹的锐角），用赤平投形法求解该直线的倾伏向和倾伏角。（1）按例1做法，绘制平而的赤平投影大圆弧ED0V。（2）以EW为南北向径线（假定），作半径角距等丁 0 （ B=44。）的纬向小圆弧GDK （应为 两条，另一条未画出），与平而的赤平投影大圆弧EDW相交丁C点。连接点O与点C,并延长， 与基圆相交T

20、U点。3）点C即所求直线的赤平投形。图上虽得线段OC的长度，然后用公式一求得直线的倾伏 角 24.713（4）点U对应的角度为127.64。，即为所求直线的倾伏向。因此该直线的产状为127.64。/24.713平面上一条直线的倾伏或侧伏，可以相互换算.除采用上而的CAD制图十一：平面上一直线的赤平投影CAD图解（小立体图；（b）透视圏；（J赤平图图方法外，也可用卜列公式计算：= sin./?sina （公式六） tan刃=cos5tana（公式式中一平面倾角（）:平而上直线的侧伏角（。）：直线的倾伏角（。）：平面倾向与直线倾向之差（） O7. 两个平面交线的产状（如图十二（a）例7：已知两个平

21、而70Z40和290。/30。.用赤平投形法求解这两个平面交线产状。（1）按例1做法，分别绘制出两个平面的赤而投影大圆弧APB和CPD,两条大圆弧相交丁P 点，该点即为两个平而交线的赤平投影。（2）连结0P,并虽得0P的长度。然后用公式一求得交线的倾伏角为P=13.14O： 0P所在径 线方向即为交线的倾伏向，虽得交线的倾伏向为365.15%即两个平面交线产状为365.15OZ13.14。,8. 两个平面的夹角及其夹角的等分面（如图十二（b）例8：己知条件同例7,用赤平投影法求解两个平面的夹角及其夹角的等分面。（1）绘制两个平面的公垂面，由丁以点P为投影的直线就是公垂而的法线，因此公垂而的产状

22、 为176.15Z76.86,按例1做法绘制公垂面的赤平投影大圆弧FIHG,与两个已知平而的赤平投影 大圆弧分别相交于点H、点1这两点所代表的直线产状分为：直线 H 为 96.27OZ36.96；直线 I 为 259.48Z26.44。图十二：相交平面的赤平投影C如图解步骤平面交线产状求解赤平图；（b）两平面夹角及其等分面求解赤平图（2）点H、点I所代表的两条直线的夹角就是两个平而的夹角，可根据两条直线的产状，山公 式五计算求得，结果为114.66%也可先用公式六分别求出两条直线在公垂面上的侧伏角，分别为： 直线H的侧伏角为38.128；直线I的侧伏角为27.209o则两条直线的夹角为 180

23、- （3& 128+27.209） =114.66。（3）公垂面的投影大圆弧上点H、点I间弧段的中点K在两个平而的等分而的投影大圆弧上， 投影点K的直线产状204.74。乂75.11。点P也在等分面的投彤大圆弧上，其产状也己求得（例7）。 己知投影大圆弧上的两个点，就町按例4做法计算出等分平而的倾角和其赤平投购大圆弧的半径，并 绘制出经过这两点的大圆弧QKM。该大圆弧对应的平而即为已知两个平而夹角的等分而，其产状为 267.76Z83.12=9. 一条直线与一个平而的夹角（如图十三）图十三；直线与平面夹角的赤平投影CAD图解步骤例9： 一平面产状120Z50, 一直线产状320Z20,用赤平投

24、影法求解直线与平而的夹角。（1）按例1做法绘制已知平而的赤平投影大圆弧ADB。2）按例2做法绘制已知直线的赤平投影，即投形点C。（3）按例3做法绘制已知平面法线的投影极点P。（4）按例4做法绘制经过点C、P的大圆弧CPD.其所代表的平而与已知平面垂直，其产状为 244.06Z56.28o用公式六分别求出直线C和克线P在平面CPD上的侧伏角，直线C的側伏角为24.280.直线 P的侧伏角为50.606。，也就是平而法线与已知直线的夹角为50.606。一24.280。= 26.33。，因此已知 直线与平而的夹角为90.00。一26.33。= 63.67。四、用赤平投影求解边坡稳定问题在岩质边坡稳定

25、性分析与计算中，赤平投购町用来初步判定边坡稳定性，求解边坡稳定性系数 计算所需的几何参数。（一）边坡稳定性初步判别图十四所示的边坡楔体，假定只有摩擦力抵抗滑动，且两个结构而的摩擦角相同，且都等于， 则楔体町能滑动的条件是两个结构面交线的赤平投影，即它的投点应落在坡面大圆呱与摩擦圆所甬 成的范围内（图十四（b）中阴形部分），即（其中为在正交交线视图上的坡面倾角：为结构面交线 倾角：为结构面内摩擦角。据此可以迅速判别楔体是否会产生滑动。图十四：不考虑粘聚力的边坡稳定性分析的赤平投影CAD图解 （韵楔体立体图；（b）赤平图；（c）沿滑动方向的剖面图（二）求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数边坡稳定性

26、系数计算所需的几何参数包括平面和直线的产状，以及平面与平而、直线与直线、 直线与平而夹角等。除平面和直线的产状可现场虽测外（平而和平面交线、平而法线也可用赤平投影 法求解），其余几何参数都可用赤平投形法求解。前而已经介绍过这些几何参数的赤平投影求解方法， 卜面举例说明赤平投彤在边坡稳定性系数计算中的具体应用。如图十五所示的边坡楔体，坡面、坡顶 而、结构而A和B等产状及其它技术参数如表1。图十五：考虑粘橐力和水压影响的边坡稳定性分析的赤睪投影CAD图解（R楔体立体图；（b）沿滑动方向的剖面图表1边坡楔体稳定性计算己知参数平面名称平面严状其它己知参数倾角（ ）倾向 ）A45105他=30，c” =

27、25kPaB70235陶二20 ,J=50kPa坡面65185劝坡岩石重度/=25kN/m3.水的重度 nr =10kN/m3；楔体总高度刃=45坡顶面12195注：楔体稳定性分析时，应将倾角较缓的平面做为A平血。图十六:楔体稳定分析所需参数的赤平投影CAD图解计算楔体稳定系数之前，首先应绘制四个平面的赤平投彤大圆弧以及两个结构面的法线投影极 点（如图十六），并求得各交线及法线的产状如2法线 PA： 285Z45：法线 PB： 55Z20：交线 121.55Z43.79：交线 2： 195.19Z64.65：交线 3： 183.00Z11.75：交线 4： 148.03Z&25。；交线 5： 157.73Z31.20o然后，再用公式五计算楔体稳定分析所需的备角度参数值，计算结果如卜：两个结构面交线的倾角：31.20。