转圈问题答案

1、“转圈几何”的研究性探究引例：若一个半径为1米的圆从A地滚动到B地，AB成一直线，该圆需滚动5 圈，则A地到B地相距多远？上例问题若刚讲过圆周长，此问题很容易解决，即：5 2 1=10米.下面我们从另一角度来研究此类问题。1803探究1:如图1,若一个半径为1米 的圆从A地滚动到B地，AB成一 直线，又A地到B地相距10米, 则该圆需滚动多少圈？ 解：该圆所转圈数=5圈.2 1AB探究2:如图2,个圆作滚动，它 从A位置开始，滚动与它相同的 六个圆的上部，到达B位置，则 该圆滚过多少圈？解析:此例易错解为2口 32 1实践探究：用7枚硬币滚动，结合量角器得8圈.圈.出错在于此类为曲线上滚动，不

2、同于直线上的滚动探究3:如图3, 一个等边三角形的边长与它的一边相 切的圆的周长相等，当这个圆按箭头方向从某一位置 沿等边三角形的三边作无滑动旋转，直至回到原出发 位置时，问这个圆转了几圈？ 实践探究：制作一圆与一边长为圆周长的正三角形 通过转圈得答案为4圈.探究4:把探究3中的等边三角形改成正方形、正五边形、正六边形、正 n边形，其余条件不变，则结论又如何?实践探究:类似探究3的方法，得所转圈数分别为5、6、7、n+1圈.探究5:把探究3、4中的等边三角形、正方形、正五边形、正六边形、正n边形，改成一般的三角形、四边形、五边形、六边形、凸 n边形，已知C其周长为C,滚圆周长为C，其余条件不变

3、，则该圆转了几圈？实践探究：类似探究3的方法，把一根Ccm长的铁丝制成一个一般的凸n边形, 把C长的铁丝制成圆，滚动得到结果都为 6圈.5探究6:把探究3中的等边三角形改成圆0,其余条件不变，则结论又如何？若 沿圆的内沿滚动，则答案又如何？实践探究：类似探究3的方法，得结论仍为4圈.若沿圆的内沿滚动得结论为 2 圈般结论：由以上6个实践探究结果分析，我们不难得到以下若圆沿未封闭曲线滚动，则所转圈数滚动圆圆心所经过的路 程滚动圆周长若圆沿封闭的凸多边形的外沿滚动，则所转圈数滚动圆圆心所经过的路 滚动圆周长程=凸多边形周长 滚动圆周长+1若圆沿封闭的圆的外沿滚动，则所转圈数滚动圆圆心所经过的路程=

4、圆周长滚动圆周长滚动圆周长若圆沿封闭的圆的内沿滚动，贝U所转圈数滚动圆圆心所经过的路程=圆周长i 滚动圆周长滚动圆周长结论证明：借用物理知识，可把滚动圆看成一质点，重心在圆心，故圆的滚动 可看成是圆心的移动，结合数学公式立即得证 .应用举例:例1.以上探究2 .解：如右图所示，圆心 A经过的路程为A C D E F G,且分别是半径为 2 的圆弧，由图易得圆心所经过的路程为1206060606012016耐2 ，则16由结论得二8圈23例2.如图所示，如果。O的周长为20 cm,有两同样大小的小球 A B,其半径为 2cm,小球A沿。O的内壁滚动，小球B沿。O的外壁滚动，小球B转动几圈后回 到原来位置，小球A要转动几圈后回到原来的位置？解：因为小球A或B本身沿圆0内壁和外壁自身滚动 一周时，圆心A或B移动的弧长为4 (cm),又圆0的 半径为10(cm)所以圆心A在以0为圆心，8cm为半 径的圆上，而圆心 B在以0为圆心，12cm为半径的 圆上.所以，小球A沿内壁滚动一圈回到原位时，圆心 A移动的弧长为16 cm,小球B沿外壁滚动一圈回到 原位时，圆心B移动的弧长为24 cm,所以