知识点典型例题平面向量

1、知识点典型例题平面向量（一） 、向量的有关概念 1. 向量:既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小叫向量的模（也就是用来 表示向量的有向线段的长度）. 2. 向量的表示方法r： r r 字母表示法：如a,b,c,L等. uuu uuu 几何表示法：用一条有向线段表示向量.如AB , CD等. 坐标表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA的起点0为在坐标原点，终点 uuuuuu A坐标为x, y ,贝U x, y称为OA的坐标,记为OA= x,y . 注:向量既有代数特征，又有几何特征，它是数形兼备的好工具. 3. 相等向量:长度相等且方向相同的向量.向量可以自由平移,平移前后的向量 相等.两向

2、量a与b相等，记为a b. 注:向量不能比较大小，因为方向没有大小. 4. 零向量:长度为零的向量叫零向量.零向量只有一个，其方向是任意的. 5. 单位向量:长度等于1个单位的向量.单位向量有无数个，每一个方向都有一 个单位向量. 6. 共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量.任一组共线向量都可以 移到同一直线上.规定:0与任一向量共线. 注:共线向量又称为平行向量. 7. 相反向量：长度相等且方向相反的向量. 向量的加减法，实数与向量的乘积，两个向量的数量积，这些运算 的定义都是 自然的”它们都有明显的物理学的意义及几何意义. 其中向量的加减法运算结果仍是向量，两个向量数量积运算结果

3、是数 量。研究这些运算，发现它们有很好地运算性质，这些运算性质为我们用向量研 究问题奠定了基础，向量确实是一个好工具.特别是向量可以用坐标表示，且可 以用坐标来运算，向量运算问题可以完全坐标化. 刻划每一种运算都可以有三种表现形式：图形、符号、坐标语言。主要 内容列表如下： 运算 图形语言 符号语言 坐标语言 加法与 减法 Br OA+OB=OC OB OA= AB 记 O鈔厨uy1),B=(x1,w) 则 OA OB=(x1+x2 y1+y2) uiru uu OB OA= (x2-x1,y2-y1) OA+AB=OB 实数与 向量的 乘积 才, A xr B AB = X a 入 R 记

4、a =(x,y) 则入 a =( X x, X y) 两个向 b/ 1 1 i 1. 11 i ill. a b a b|coSa,b； 记a (x1,y1),b (X2,y2) 量的数 / ! Illi / 贝 U a b =x1x2+y1y2 量积 n1 （二）运算律r r r rrrr rrr 加法：abb a （交换律）;（ab）c a（bc）（结合律） 实数与向量的乘积： （a b） a b;（）a a a;（a） （ ）a 两个向量的数量积：a b = b a ;（入a ） b = a （入b）=入（a b）; （a + b ） c = a c + b c 注：根据向量运算律可知，

5、两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的 运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算， 2 2 例如（a 士 b ）2= a2 a b b . 三.例题分析 例1.如图，四边形 ABCD为矩形，且BE = AB.写出图中， DC ABE （1）与向量AB共线的向量；与向量AB相等的向量；与向量EC模相等的向量. 例 2.化简(1)(AB MB) OM BO AB DF CD BC FA 例3.在五边形 ABCDE中，若四边形 ACDE是平行四边形，且 AB a，AC b， AE c，试用a、b、c表示向量BD、BC、BE和CE . 例 4.化简：(1)a b 5 丄 b _3a 25

6、 -(2a 3b) 6a -(9a 6b) 23 例5.设OADB是平行四边形，其对角线相交于C点，BM 1 -BC , CN 3 -CD， 试求向量MN与向量OA、OB的关系. 例6. 若 A、B、 例7. 设a、b是不共线的两个向量，已知AB D三点共线，求k的值. 在平行四边形 ABCD中，点N在BD上, 2a kb , CB a 3b , CD 2a b , BN -BD 3 M为AB中点, 求证：M、 N、C三点共线. 课后练习 、选择题（每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的 1.化简AB AC BC等于（） B. 2 BC C . 2BC D . 2AC 2 .已知四边形

7、 ABCD是菱形，有下列四个等式： AB |AB CD| |AD BC| AB BC| |AB BC |，其中正确等式的个数是 （） C. 2 B. 3 3.如图, A . BC 1 - 1 - C. BC -BA D. BC -BA 2 2 4.已知向量 a、b, 且 MN a 2b , NQ 5a 6b , QR 7a 2b，则 定共线 的三点是（） A . M、N、Q B. M、N、R C. N、 Q、R D . M、Q、R 5.下列各题中，向量 a与b共线的是（ ) 1 1 A. a= e1+ e2, b = e1 e2 B . a 尹 e2, bee? 2 1 1 2 1 C. a = e1, b = e2 D . a ei e2 ,bi e2 3 10 3 5 、填空题 6飞机从甲地按南偏东15的方向飞行了 2000千米到达乙地，再从乙地按北偏西 75的方向飞行 2000千米到达丙地，则丙地相对于甲地的位置是 . 211 7化简一（4a 3b）-b（6a7b） . 334 &已知数轴上三点 A、B、C,其中A、B的坐标分别为一3、6，且丨CB |= 2,则| AB | =，数轴上点 C的坐标为 9. 已知2a + b= 3c, 3a b = 2c,贝U a与b的关系是 三、解答题 10. 已知向量 a、b，求作a+ b, a b. 11. 如图所示， D、E