山东省2013年七年级数学下册(实数综合讲义

1、实数第1课 平方根1.乘方:“”.乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，读作a的n次方或a的n次幂.2.平方:“”，读作a的平方或a的二次方.3.平方的性质:任何数的平方都是非负数；算术平方根概念：一般地，如果一个正数的平方等于a，那么这个数叫做a的算术平方根，也就是说，如果x2=a，（x0）那么x 叫做a 的算术平方根.则算术平方根性质：(1)当0时0（由定义得出）即非负数的算术平方根是非负数（由定义得出）(2)个数性质：正数和0的算术平方根据都只有一个(3)还原性质：当时，即非负数算术平方根的平方等于该非负数完全平方数：能够完全开方开的尽的数。如1,4,9,16，.平方根概念：一般地，

2、如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根或二次方根，也就是说，如果x2=a，那么x 叫做a 的平方根.则开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方.即求的运算叫开平方.表示方法：一个正数的平方根表示为；若x2=(0)则x=。平方根的性质：(1)个数性质：正数有两个平方根，它们互为相反数,0只有一个平方根就是0本身.负数没有平方根(2)还原性质：（由定义得出）当0时()2= 即：非负数的平方根的平方等于该数（三）的含义：当0时，表示的算术平方根：当0时，表示的算术平方根的相反数：当0时，表示的平方根平方根的求法： 逆运算法，查表法，计算器，式子计算 查表法的理论根据： 如果正数的小数点向右

3、或向左移动2位，那么它的算术平方根的小数点就相应地向右、向左移动一位.查表外数小数点移动法则：（1）被开方数的小数点要两位两位地移动，移动到使被查数成为有一位或两位整数的数（2）被开方数的小数点每移动两位，查得的算术平方根的小数点要向相反方向移动一位。例1.计算： 12= ；22= ；32= ；42= ；52= ；62= ；72= ；82= ；92= ；112= ；122= ；132= ；142= ；152= ；162= ；172= ；182= ；192= ；202= ； 212= ；222= ；232= ；242= ；252= ；262= ；272= ；282= ；292 ； ； ； ； ；

4、 例2.求下列各数的算数平方根。(1)169 (2)0.09 (3)0.64 (4) (5) (6) 0.0064 (7) (8) (9) (10)例3.因为102 =100，(-10)2=100 ，所以100的平方根是 。 探索交流:（1）的平方根是 ，它们的关系是 ； （2）0.16的平方根是 ，它们的关系是 ； （3）0的平方根是 ，它们的关系是 ； （4）9的平方根是 ；9的算术平方根是 . （5）11的平方根是 ；11的算术平方根是 . （6）的平方根是 例4.求下列各数的平方根：（1）81 （2） （3） （4）0.49例5.下列各数有平方根吗？如果有，求出它的平方根；如果没有，要

5、说明理由。（1）64 （2）0 （3） （4）例6.求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）例7.（1）已知正方形的边长为5cm，求这个正方形的面积；(2)已知正方形的面积是25cm2，求这个正方形的边长例8.判断下列语句是否正确，正确的打“”，错误的画“”，并将错误改正。（1）7是的算术平方根；（）（2）的平方根是； （）（3）等于；（） （4）的平方根是；（）（5）6是的平方根；（） （6）是10的一个平方根； （）（7）正数的平方比它的算术平方根大。（）例8.求下列各式中x的值：（1） （2）（3）（2x-1）2-169=0； （4）4（3x+1）2-1=0；例9.已知，开平方时，

6、被开方数的小数点向左（或向右）每移动两位，平方根的小数点相应的移动一位即可。（1）求的值； （2）若，求的值。 例10.如果一个正数的两个平方根为和，请你求出这个正数例11.若，求、的值。例12.已知：，求的值。例13.当x满足什么条件时，下列各式有意义？ （1） （2） （3） （4） 例14.已知的整数部分为a，小数部分为b，求2a-b的值。例15.在数轴上表示对应的点。（尺规作图） 课堂练习：1.平方根是它本身的数是_ 若m的平方根是3，则m=_；若5x+4的平方根是1，则x=_ 若的算术平方根是3，则a=_ 92的算术平方根是 2.(1)0.0016的算术平方根是_ (2)3.-3是_

7、的一个平方根;的平方根是_(3)任何数的平方都是 ，(4)9的平方是 ，9的平方根是 。(5)如果，则x=，x=。(6)0的算术平方根是，是的算术平方根。(7)1.21的平方根是，算术平方根是。(8)的平方根是，的平方根是。(9)的平方根是 ，15的算术平方根是 。(10)的平方根的和是3.求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）（5） （6） （7） （8）（9）4.求下列各式中x的值.x2=361； 81x249=0； 49(x2+1)=50； (3x1)2=(5)25.下列各组数中,互为相反数的一组是( ) A.-2与 B.-2与 C.-2与- D.-2与26.下列说法正确的是 (

8、 ) A.1的平方根是1 B.1的算术平方根是1 C.-2是2的平方根 D.-1的平方根是-17.若和都有意义，则的值是（ ） A. B. C. D.8.4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A.4 B. C.- D.9.的平方根是（ ） A.6 B. C. D. 10.下列五个命题：只有正数才有平方根；2是4的平方根；5的平方根是；都是3的平方根；(2)2的平方根是2；其中正确的命题是( )A. B. C. D.11.一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是（ ）A.x+1 B.x2+1 C.+1 D.12.下列命题中，正确的个数有( )1的平方根是1；1是1的算术平方根；(1

9、)2的平方根是1；0的算术平方根是它本身A1个 B2个 C3个 D4个13.已知x，y是实数，且+（y-3）2=0，则xy的值是（ ）A4 B-4 C D-14.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（ ）A-3 B1 C-3或1 D-115.若，那么= ( )A.22.91 B.72.46 C.229.1 D.724.616.若= 2.449，= 7.746，=244.9，= 0.7746，则x、y的值分别为( )A.x=60000，y=0.6B.x=600，y=0.6 C.x=6000，y=0.06 D.x=60000，y=0.0617.已知，那么，0.4567的平方根是( )

10、A B0.06758 C0.2137 D0.675818.一个正方形的面积扩大为原来的n倍，则它的边长扩大为原来的（ ） A.n倍 B.2n倍 C.倍 D.倍19.的平方根是 当，= = , 20当x 时,有意义；当x 时,有意义。21.，则abc= 22.的算术平方根是_23.若，且，则2a+3b的值为 24.的最小值是_，此时的取值是_25.已知,则：，。26.在和之间的整数是_27.设、为实数，且，则的值是 28.求下列各数的平方根: (1)81 (2) (3)1.44 (4)2 (5) （6） （7）（8） （9） （10）29.求下列各式x的值。 (1) (2) (3) (4) 30

11、.已知,求的值。31.a0时，才有意义，表示a的算术平方根.由此你会求下列各式有意义时x的取值范围吗？试试看: （1）; （2）; （3）; （4）+。32.若则x_ ；若则_课后练习：1.（1）_的平方等于25，所以25的平方根是_; （2）如果一个数的算术平方根是，则这个数是，它的平方根是; (3)若的平方根是5，则= ; （4）121的平方根_，它的算术平方根是 ; （5）的平方根_，它的算术平方根是_ (6)如果，则x= ;若，则x= ;若，则x= 2.写出一个3和4之间的无理数_ 3.填空：(1)一个正数有平方根，它们是互为；0有平方根，它是本身；负数平方根。（2）正数a有两个平方根

12、，它们是，其中叫做a的算术平方根。4.已知则:，。5.的平方根是，算术平方根是;的平方根是。6.如果，则的取值范围是。7.数轴上表示的点到原点的距离是_8.当时，有意义；当时，有意义； 当时，有意义；当时，式子有意义；9.若有意义，则能取的最小整数为 10.若，则的取值范围是 11.若一个正数的平方根是2a-1和-a+2，则a=_，这个正数等于 12.的相反数是_；的绝对值是_ 13.已知，则xyz=_14.若，则x=_，y=_15.比较大小： （1） ； （2） 0.5； （3） 16.下列说法正确的个数是（ ） 0.25的平方根是0.5；-2是4的平方根；只有正数才有平方根；负数没有平方根

13、 A.1 B.2 C.3 D.417.下列说法中不正确的是（ ） A.9的算术平方根是3 B.的平方根是 C.81的平方根是9 D.-1的平方根是118.的算术平方根是（ ）A. B.4 C. D.219.下列各数中，互为相反数的是（ ） A.-3和 B.|-3|与 C.|-3|与 D.与-20.不使用计算器，你能估算出126的算术平方根的大小在哪两个整数之间吗？（ ） A.1011之间 B.1112之间 C.1213之间 D.1314之间21.已知x，y是实数，且，则xy的值是（ ） A.4 B.-4 C. D.22.设a是实数，则|a|-a的值（ ） A.可以是负数 B.不可能是负数 C.

14、必是正数 D.可以是正数也可以是负数23.若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m的值是（ ） A.-3 B.1 C.-3或1 D.-124.求下列各式中的值.（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 25.解下列方程，求未知数。（用平方根知识来解）（1） （2） （3）26.某数的平方根是和，那么这个数是多少？27.已知：，计算的值。提高练习：1.下列叙述中正确的是（ ） A（-11）2的算术平方根是11 B大于零而小于1的数的算术平方根比原数大 C大于零而小于1的数的平方根比原数大 D任何一个非负数的平方根都是非负数2.的算术平方根是（ ） A. B. C

15、. D.3.当0时，表示（ ） A.的平方根 B.一个有理数 C.的算术平方根 D.一个正数4.若规定误差小于1, 那么的估算值为（ ） A. 3 B. 7 C. 8 D. 7或85.满足的整数x是（ ） A. B. C. D.6.若、为实数，且，则的值为（ ）A. B.4 C.3或5 D.57.若，且，则的值为（ ）A.-2 B. C. D.8.如果是个整数，那么最小正整数等于9.已知，且，则，。10.已知：，则11.使有意义的取值范围是_ 12.当1时，x的取值范围是_13.若则x_14.已知2a-1的平方根是3,3a+b-1的平方根是4,求a+2b的平方根.15.已知，求的值。16.已知

16、： 实数a、b满足条件试求: 的值。17.设都是实数，且，试求的值。18.是否存在这样的实数，它的平方等于34？如果不存在，请说明理由；如果存在，指出等于多少？并用作图的方法在数轴上找出表示这样的实数点。第2课 立方根1.立方：“”，读作a的立方或a的三次方.2.立方的性质：正数的立方是正数，零的立方是零，负数的立方是负数.注意：开立方和立方是互为逆运算。；例1.计算： 23= ；33= ；43= ；53= ；63= ；73= ；83= ；93= 例2.判断下列语句是否正确？在后面的括号内，对的打“”，错的画“”。（1）8的立方根是。（）（2）0.001的立方根是0.1。（）（3）的立方根是。

17、（）（4）64的平方根的立方根是2。 （）例3.求下列各式的值：（1） （2） （3） （4）（5）216 （6）-343 （7） （8）0例4.求下列各式中的x：（1） （2）例5.（1）已知正方体的棱长是8cm，求这个正方体的体积；（2）已知正方体的体积是512cm3，求这个正方体的棱长。例6.（1）求81的4次方根。（2）求-128的7次方根。例7：已知：，,计算的值。例8.（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 例9.（1）如果的立方根是4，求的算术平方根；（2）已知的平方根是，求的立方根；（3）求的值。例10.（1）若与互为相反数，求的值； (2)已知和为同一

18、个正数的两个平方根，求的值。课堂练习：1.正数有个 的立方根，负数有 个 的立方根，0的立方根仍旧是。2.的立方根是;的立方根是;是的立方根;3. (9) (10) (11) (12) 4.的立方根是 ;的立方根是 ; 的立方根是 的立方根是 ;5.;6.已知，则 ， 7.若，则是y的，y是的8.若与互为相反数，则，。9.已知1550的立方根是11.57，若，则等于（）A.0.00155B.1.55C.15.5D.0.10.下列语句中，正确的是（ ）A.一个实数的平方根有两个，它们互为相反数 B.一个实数的立方根不是正数就是负数C.负数没有立方根 D.如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数

19、一定是-1，0，111.若一个数的立方根与它的平方根完全相同；则这个数是（）A.1 B.-1 C.-1或1 D.012.在实数范围内，下列运算中，不是总能进行的是（ ）A.平方 B.立方 C.开平方 D.开立方13.下列说法中，正确的是（ ）A带根号的数是无理数 B无限小数是无理数C不能写成分数形式的数是无理数 D不能在数轴上表示的数是无理数14.求下列各数的立方根：(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7)0. (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (16) （17） (18) （19） (20)（21） （22）15.解下列方程，求x的值。 (1) (

20、2) (3)16.若，计算的值。课后练习：一、判断题：1的立方根是；（ ）2没有立方根；（ ）3的立方根是；（ ）4是的立方根；（ ）5负数没有平方根和立方根；（ ）6a的三次方根是负数，a必是负数；（ ）7立方根等于它本身的数只能是0或1；（ ）8如果x的立方根是，那么；（ ）9的立方根是；（ ）108的立方根是；（ ）11的立方根是没有意义；（ ）12的立方根是；（ ）130的立方根是0；（ ）14是的立方根；（ ）15是立方根；（ ）16a为任意数，式子，都是非负数（ ）二、选择题：1.下列说法正确的是（ ）A.27的立方根是 B.的立方根是 C.的立方根是 D.的立方根是22.下列说法

21、正确的是（ ）A.的立方根是0.4 B.的平方根是 C.16的立方根是 D.0.01的立方根是0.3的立方根是（ ） A.4 B.2 C.2 D.-24的平方根是（ ） A.2B.2C.D.5-27 的立方根与的平方根之和是（ ）A.0 B.6 C. 0或-6 D.-12或6 6.下列计正确的是（ ）A. B. C. D.7.下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 8.在下列各式子中，正确的是（ ）A. B. C. D.9.下列计算或判断：3都是27的立方根； ； 的立方根是2； ，其中正确的个数有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.下列四种说法中共有（ ）个是错误的（1

22、）负数没有立方根；（2）1的立方根与平方根都是1；（3）的平方根是；(4） A.1 B.2 C.3 D.4 11下列说法正确的是( ) A一个数的立方根有2个，它们互为相反数 B非零数的立方根与这个数同号 C如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D一个数的立方根是非负数12若是的立方根，则下列说法正确的是（ ） A.是的立方根 B.是的立方根 C.是的立方根D.是的立方根13.的平方根是x， 64的立方根是y，则的值为（ ）A.3 B.7 C.3或7 D.1或714若a是的平方根，则（ ） A.B.C.D.15若，那么的值是（ ） A.64B.-27C.-343D.34316若，则（ ） A

23、.9B10C.11D1217如果一个数的平方根与立方根是同一个数,那么这个偶数是( ) A8 B.4 C.0 D.1618.若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为( ) A.x0B.x0 C.x0 D.x0且x119.的平方根是 ，的立方根是 ；20.若，则；21.若有意义，则的取值范围是 22.若，则= 23.若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是 24.一个正方形的边长变为原来的倍，则面积变为原来的 倍；一个立方体的体积变为原来的倍，则棱长变为原来的 倍。25. 计算： （1） （2） （3）（4） （5）-+ （6）-+26.解下列方程: (1) （2） (3) （4） (

24、5) （6） (7) (8) (9) 27.若和互为相反数，求的值。28.已知，求的值。能力提高：1.如果是a的立方根，那么下列结论正确的是（ ） A.也是的立方根 B.b也是a的立方根 C.b也是的立方根 D.都是a的立方根2.设n是大于1的整数，则等式中的n必是（ ） A大于1的偶数 B大于1的奇数 C2 D33.x取何值时，下面各式有意义？ （1） （2） （3） （4）4.计算5.已知，其中x，y为实数，求的值实数 1. 无理数的引入。无理数的定义无限不循环小数。 实数综合测试题 一一、选择题：1.的平方根是 （ ） A2 B. 1.414 C. D.2.下列式子中，正确的是（ ） A

25、. B. C. D. 3.下列说法正确的有（ ） 一个数的立方根的相反数等于这个数的相反数的立方根；64的平方根是8，立方根是4； 表示a的平方根，表示a的立方根；一定是负数 A. B. C. D.4.数轴上全部的点表示的数是( ) A.自然数 B.整数 C.实数 D.无理数 E.有理数 5.下列命题中，真命题是( ) A绝对值最小的实数不存在 B无理数在数轴上的对应点不存在 C与本身的平方根相等的实数不存在 D最大的负数不存在 6.若|a-1|=1-a，则a的取值范围为（ ） A.a1B.a1C.a1D.a17.某种生物孢子的直径为，用科学记数法表示为（ ） A. B. C.D.8.已知，那

26、么的值为（ ）A.-1 B.1 C. D.9.-8的立方根与4的平方根之和是（ ）A0 B.4 C.0或-4 D.0或410.若数轴上表示数x的点在原点左边，则化简的结果是 （ ） A.-4x B.4x C.-2x D.2x11.有个数值转换器，原理如下：12.当输入x为64时，输出y的值是（ ） A. 4 B. C. D.13.在下列条件中不能保证是实数的是（ ） An为正整数，a为实数； Bn为正整数，a为非负数； Cn为奇数，a为实数； Dn为偶数，a为非负数14.将下列各数的序号填在相应的集合里。 ，3.，0.456，3.（每相邻两个3之间0的个数逐渐多1），0，有理数集合： ；无理数

27、集合： ；正实数集合： ；整数集合： ；15.（1）49的算术平方根是_（2）62的平方根是_（3）0.0196的算术平方根是_（4）4的算术平方根是_；（5）9的平方根是_（6）64的算术平方根是_（7）36的平方根是_；（8）4.41的算术平方根是_（9）4的平方根是_，4的算术平方根是_（10）256的平方根是_（11）的算术平方根是 16.如图，数轴上表示数的点是 17.比较大小： 1.7 ; ; 218.若, 则= ；,且,则 .19.已知，则 20.数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为_21.已知，那么的值为 22.若，则化简的结果是 23.函数中，自变量的取值范围是

28、_24.函数的自变量的取值范围为25.如果正方体的体积扩大为原来的27倍，则边长扩大为原来的 倍；若体积扩大为原来的2n倍，则边长扩大为原来的 倍.26.如果，都是有理数，且，则= ，= 27.比较与的大小28.已知一个正方形ABCD的面积是4a2 cm2,点E、F、G、H分别为正方形ABCD各边的中点，依次连结E、F、G、H得一个正方形.(1)求这个正方形的边长；(2)求当a=2cm时，正方形EFGH的边长大约是多少厘米？29.观察下图，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？估计边长的值在哪两个整数之间。把边长在数轴上表示出来。30.已知的平方根是，的算术平方根是4

29、，求的平方根.31.已知，为实数，且满足，则的值时多少？32.已知，满足，求的平方根.33.已知，求的值.34，阅读下面的文字,解答问题. 大家知道是无理数,而无理数是无限不循环小数,因此的小数部分我们不可能全部地写出来,于是小明用-1来表示的小数部分,你同意小明的表示方法吗? 事实上,小明的表示方法是有道理的,因为的整数部分是1,将这个数减去其整数部分,差就是小数部分. 请解答:已知:10+=x+y,其中x是整数,且0y1,求x-y的相反数.实数综合测试题 二1.有下列说法:带根号的数是无理数;不带根号的数一定是有理数;负数没有立方根;是17的平方根,其中正确的有( )A.0个 B.1个 C

30、.2个 D.3个2.若a2=(-5)2,b3=(-5)3,则a+b的值为（ ）A.0B.10C.0或10D.0或103.若a,b为实数，下列命题中正确的是（ ）A.若ab,则a2b2B.若ab,则a2b2C.若ab,则a2b2D.若a0,ab,则a2b24.在实数范围内,下列各式一定不成立的有( ) (1)=0; (2)+a=0; (3)+=0; (4)=0.A.1个 B.2个 C.3个 D.4个5.若式子是一个实数，则满足这个条件的有（ ）. A.0个 B.1个 C.4个 D.无数个6.如图,数轴上表示1,的对应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C,则点C表示的数是（ ）A. B C D

31、7.填空题(1)的平方根是_；(2)(-)2的算术平方根是_；(3)一个正数的平方根是2a-1与-a+2，则a=_，这个正数是_；(4)的算术平方根是_；(5)92的算术平方根是_；(6)的值等于_，的平方根为_；(7)(4)2的平方根是_，算术平方根是_.(1)如果一个数的立方根等于它本身，那么这个数是_.(2)=_， ()3=_(3)的平方根是_. (4)的立方根是_.8.9的平方根的绝对值的相反数是 9.在数轴上离原点距离是的点表示的数是_.毛10.的相反数是_,-的相反数是_.11.化简：|2-| =_,|3-|=_.12.计算大于-而的所有整数的和_.13.若+有意义，则=_.14.

32、若x=()3，则=_15.已知:=102,=0.102,则x=_16.比较大小:3_, 7_6,-_-3,_()317.若互为相反数，互为倒数，则 18.根据右图拼图的启示: (1)计算+=_; (2)计算+=_; (3)计算+=_.19.化简：（1） （2） （3） 20.若y=则的值为多少？21.已知，求的值.22.已知+|b327|=0,求(ab)b的立方根.23.若|2x+1|与互为相反数，则-xy的平方根的值是多少？24.比较与的大小。25.已知第一个正方体纸盒的棱长为6 cm，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大127 cm3,求第二个纸盒的棱长.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm，宽为8cm的矩形，要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形，问边长应为多少cm。拼一拼，画一画： 请你用4个长为a，宽为b的矩形拼成一个大正方形，并且正中间留下的空白区域恰好是一个小正方形。（4个长方形拼图时不重叠） （1）计算中间的小正方形的面积，聪明的你能发现什么？ （2）当拼成的这个大正方形边长比中间小正方形边长多3cm时，大正方形的面积就比小正方形的面积多24cm2，求中间小正方形的边长.26.甲、乙两人计算算式x+的值，当x=3的时候，得到不同的答案，其中甲的解答是x+=x+=x+1-x=1乙