含参二次不等式因式分解

1、、公式法 必会的乘法公式【公式 1】 (ab c)2a 2 b2c22ab 2bc 2ca【公式 2】 (ab)(a2ab b2)a3b3 (立方和公式)【公式 3】 (ab)(a2ab b2)a3b3 (立方差公式)【公式 4】 (a b)3 a3 b3 3a2b 3ab2【公式 5】 (ab)3 a33a2b 3ab2b3例 1】 用立方和或立方差公式分解下列各多项式：(1) 8 x3 (2) 0.125 27b3【例 2】 分解因式： (1) 3a3b 81b4(2) a7 ab6二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项 式而对于四项以上的多项式，

2、如 ma mb na nb 既没有公式可用，也没有公因 式可以提取因此，可以先将多项式分组处理这种利用分组来因式分解的方法 叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式【例 3】把 2ax 10ay 5by bx分解因式【例 4】把ab(c2 d2) (a2 b2)cd 分解因式2分组后能直接运用公式【例 5】把 x2 y2 ax ay 分解因式【例 6】把 2x2 4xy 2y2 8z2分解因式十字相乘法分解因式1二次三项式(1) 多项式 ax2 bx c ，称为字母 的二次三项式， 其中 称为二次项， 为一次项， 为 常数项例如： x2 2x 3和 x2 5x 6都是关于

3、 x的二次三项式(2) 在多项式 x2 6xy 8y2 中，如果把看作常数， 就是关于 的二次三项式； 如果把 看作常数，就是关于 的二次三项式(3) 在多项式 2a2b2 7ab 3 中，把 看作一个整体，即 ，就是关于 的 二次三项式同样，多项式 (x y)2 7(x y) 12 ，把 看作一个整体，就是关于 的二 次三项式2十字相乘法的依据和具体内容 (1)对于二次项系数为 1 的二次三项式 x2 (a b)x ab (x a)(x b) 方法的特征是“ 拆常数项，凑一次项 ”当常数项为正数时 ，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时 ，把它分解

4、为两个异号因数的积， 其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符 号相同(2) 对 于 二 次 项 系 数 不 是 1 的 二 次 三 项 式22ax bx c a1a2x (a1c2 a2c1) x c1c2 (a1x c1)(a2x c2) 大家知道， (a1x c1 )( a2 x c2 ) a1a2 x (a1c2 a2c1) x c1c2 反过来，就得到： a1a2 x2 (a1c2 a2c1) x c1c2 (a1 x c1)(a2 x c2 ) 我们发现，二次项系数 a分解成 a1a2 ，常数项 c分解成 c1c2 ，把 a1,a2,c1,c2写成 a1 c1a1 c1 ，这里按

5、斜线交叉相乘，再相加，就得到a1c2 a2c1 ，如果它正好等于a2 c2ax2 bx c的一次项系数 b，那么 ax2 bx c就可以分解成 (a1x c1)(a2x c2) ，其中 a1, c1位于上一行， a2,c2 位于下一行十字相乘法的要领是：“头尾分解，交叉相乘，求和凑中，观察试验”。 这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法必须注意，分解因数及十字相乘都有多种可能情况，所以往往要经过多次尝试，才能确定一个二次三项式能否用十字相乘法分解它的特征是“ 拆两头，凑中间 ” 当二次项系数为负数时 ，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数

6、项为正数时 ，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同； 常数项为负数时 ，应将它分解为两异号因数， 使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数 的符号相同注意： 用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两 个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母【例1】把下列各式因式分解：(1)2 x7x6(2) x213x36(3)2 x5x24(4) x22x15(5)2 xxy6y22(6) (x2x)228(x2 x) 12竖分二次项与常数项 交叉相乘，和相加 检验确定，横写因式 顺口溜：竖分常数交叉验， 横写因式不能乱例

7、2、因式分解与系数的关系若多项式 a2+ka+16能分解成两个系数是整数的一次因式的积，则整数k 可取的值有 ( )A.5 个 B.6 个 C.8 个 D.4 个分析：因为二次项系数为 1，所以原式可分解为 (a+m)(a+n) 的形式，其中 mn=16， k=m+n，所以整 数 k 可取值的个数取决于式子 mn=16的情况 .( 其中 m、 n 为整数 )因为 16=28， 16=(-2) (-8)16=4 4， 16=(-4) (-4)16=1 16， 16=(-1) (-16) 所以 k= 10， 8， 16 答案： B2一般二次三项式 ax2 bx c 型的因式分解【例 2 把下列各式

8、因式分解：2 2 2(1) 12x2 5x 2 (2) 5x2 6xy 8y2说明：用十字相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是 1 时较困难， 具体分解时，为提高速度，可先对有关常数分解，交叉相乘后，若原常数为负数，用减法”凑”，看是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号练习 1：分解因式2(1) 2x2 15x 7(2)3a28a4(3)25x 7x6(4) 6y2 11y 10(5)5a2b223ab10(6)3a2b217abxy10x2y2(7) x2 7xy 12y2(8)4 x7x218(9)4m28mn3n2(10) 5x5 15x3y练

9、习 2 分解因式20xy242(1) x4 10x2 9 ；(2) 7(xy)35(xy)22(xy)；2(3)(a28a)2222(a2 8a) 1204、 (x2 2x 3)(x22x 24)90 5 6x4 5x338x25x 6 226 x 2xy y 5x 5y 6 7 ca(ca)bc(bc)ab(ab)三、十字相乘与其它知识综合例1. 分组分解后再用十字相乘把 2x2-8xy+8y 2-11x+22y+15 分解因式22解：原式 =(2x 2-8xy+8y 2)-(11x-22y)+152=2(x-2y)2-11(x-2y)+15=(x-2y)-32(x-2y)-5=(x-2y-

10、3)(2x-4y-5) 说明：分组后运用十字相乘进行因式分解，分组的原则一般是二次项一组，一次项一组， 常数项一组 . 本题通过这样分组就化为关于 (x-2y) 的二次三项式，利用十字相乘法完成因式分解 .例 2. 换元法与十字相乘法 22把 (x 2+x+1)(x 2+x+2)-6 分解因式 分析：观察式子特点，二次项系数和一次项系数分别相同，把(x 2+x)看成一个“字母” ，把这个式子展开，就可以得到关于 (x 2+x)的一个二次三项式 (或设 x2+x=u，将原式化为 (u+1)(u+2)-6=u 2+3u-4 ，则更为直观 )再利用十字相乘法进行因式分解 .解：(x 2+x+1)(x

11、 2+x+2)-6 22=(x2+x)+1(x 2+x)+2-62 2 2=(x+x) +3(x +x)-422 =(x2+x+4)(x 2+x-1)说明：本题结果中的两个二次三项式在有理数范围内不能再分解了，若能分解一定要 继续分解，例 3 、 把 10x2-27xy-28y2-x+25y-3 分解因式 分析：在本题中，要把这个多项式整理成二次三项式的形式 解法一、 10x2-27xy-28y2-x+25y-3 =10x2- ( 27y+1)x - (28y2-25y+3 )4y -37y -1 =10x2- （ 27y+1） x - （ 4y-3 ）（ 7y -1 ）2 - （7y 1 ）

12、5 4y - 3=2x - （7y -1 ）5x + （4y -3 ） =（2x -7y +1 ）（5x +4y -3 ）说明：在本题中先把 28y2-25y+3 用十字相乘法分解为（ 4y-3 ）（7y -1 ），再用十字相乘法把 10x2- （27y+1）x - （4y-3 ）（ 7y -1 ）分解为： 2x - （7y -1 ）5x + （4y -3 ）解法二、 10x2-27xy-28y2-x+25y-32 -7y5 4y=（2x -7y ）（ 5x +4y ）-（x -25y ）- 32 x -7y 15 x +4y -3=（2x -7y ）+1 （5x +4y ）-3 =（2x -

13、7y+1 ）（5x +4y -3 ）说明:在本题中先把 10x2-27xy-28y2 用十字相乘法分解为（ 2x -7y ）（5x +4y ）,再把（ 2x -7y ） （5x +4y）-（x -25y ）- 3 用十字相乘法分解为 （2x -7y ）+1 （5x +4y ）-3.（ 试比一下“分组分解”与“十字相乘”适用的题目的类型特点，从各项的次幂的次数及各项 系数去分析 ）例 4. 因式分解与十字相乘法2 2 2 2 已知（x 2+y2）（x 2-1+y 2）=12 求： x2+y2 的值 解： （x 2+y2）（x 2-1+y 2）=122 2 2 2（x2+y2）（x 2+y2）-1

14、-12=02 2 2 2 2（x2+y2） 2-（x 2+y2）-12=02 2 2 2（x2+y2）-4（x 2+y2）+3=0x2+y20例 5 把下列各式分解因式：42（1） x4 10x2 9 ；（2）7（x y）3 5（x y）2 2（x y） ；（3）（a2 8a）2 22（a2 8a） 120 22点悟： (1) 把 x 2看作一整体，从而转化为关于x2 的二次三项式；(2) 提取公因式 ( xy)后，原式可转化为关于 (xy)的二次三项式；(3) 以 (a2 8a)为整体，转化为关于 (a2 8a) 的二次三项式解：（1） x4 10x2 9 （x2 1）（x2 9）(x1)(

15、 x1)( x3)( x3) (2) 7(x y)3 5(x y)2 2(x y)(xy)( xy) 17( xy)2 (xy)( xy1)(7 x7y 2)(3) (a2 8a)2 22(a 2 8a) 120点拨： 要深刻理解换元的思想，这可以帮助我们及时、准确地发现多项式中究竟把哪一个看成整 体，才能构成二次三项式，以顺利地进行分解同时要注意已分解的两个因式是否能继续分解，如能 分解，要分解到不能再分解为止例 6 分解因式： (x2 2x 3)(x2 2x 24) 90 点悟： 把 x 2 2x 看作一个变量，利用换元法解之解： 设 x2 2x y ，则原式 ( y3)( y 24) 9

16、0(y18)( y9)22(x2 2x 18)( x2 2x 9)点拨： 本题中将 x2 2x 视为一个整体大大简化了解题过程，体现了换元法化简求解的良好效果此外， y2 27y 162 (y 18)(y 9) 一步，我们用了“十字相乘法”进行分解例 7 分解因式 6x4 5x3 38x2 5x 6 点悟： 可考虑换元法及变形降次来解之2 2 1 1解：原式 x26(x2 12 ) 5(x 1) 38 xx2 1 2 1 x26(x )2 5(x ) 50 ， xx令 x 1 y ，则x原式 x2(6y2 5y 50)(x 2)(2x 1)(x 3)(3x 1) 点拨： 本题连续应用了“十字相

17、乘法”分解因式的同时，还应用了换元法，方法巧妙，令人眼花，这是一个重要环节了乱但是，品味之余应想到对换元后得出的结论一定要“还原”例 8 ：解关于 x 方程： x2- 3ax + 2a2 ab -b2=0 分析： 2a2ab-b2 可以用十字相乘法进行因式分解 解： x2- 3ax + 2a2 ab -b2=0x2- 3ax + (2a2ab - b2 ) =01 -b2x2- 3ax + +b2a+b)( a-b )=01 -（2a+b）1 -（a-b）x-（2a+b） x-(a-b )=0所以 x1=2a+b x2=a-b例9已知 x46x2x 12 有一个因式是点悟：因为 x46x2x

18、12 是四次多项式可知道另一个因式 是 x2 bx4 x6x2x 12(x22ax 4) (x bx解： 设另一个多项式为 x2 bx 3，则x2 ax 4，求 a 值和这个多项式的其他因式2有一个因式是 x2 ax 4 ，根据多项式的乘法原则3 （ a 、 b 是 待 定 常 数 ）， 故 有3） 根据此恒等关系式，可求出 a， b 的值x4 (a b)x3 (3 4 ab)x2(3a4b)x 12，6x2x 12 与 x4 (a32b)x3 (3 4 ab)x2 (3a 4b)x 12是同一个多项式， 所以其对应项系数分别相等即有 由、解得， a 1，b 1， 代入，等式成立a 1，另一个

19、因式为 x2 x 3 点拨： 这种方法称为待定系数法，是很有用的方法待定系数法、配方法、换元法是因式分解较为常用的方法，在其他数学知识的学习中也经常运用希望读者不可轻视4 2 2练习 3、1、已知 x4 6x2 x 12有一个因式是 x2 ax 4，求 a 值和这个多项式的其他因式2、若 x y176， xy 1376，则代数式 x3y 2x2 y2 xy3的值为 _提高版练习 1、把下列各式分解因式：(1) x47x2 6 ；42(2) x 4 5x2 36 ；4(3) 4x 465x2y216y4；(4)a67a3b3 8b6 ；(5) 6a4 5a3 4a2 ；(6) 4a637a 4b

20、 29a2b4练习 2、(1) ( x2 3)2 4 x2；(2)x2(x2)2 92(3) (3x 2 2x1)2 ( 2x23x3)2；(4)(x2 x) 217(x2x) 60 ；(5)(x2 2x)27(x2 2x)82(6) (2a b)214(2a b)48 33练习 3已知 xy2，xya4， x3 y3 26 ，求 a 的值 四、其它因式分解的方法1配方法2【例 11】 分解因式 x2 6x 16解： x 2 6x 16x2 2 x 3 32 32 16 ( x 3)2 52说明： 这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解

21、当然，本题还有其它方法，请大家试验2拆、添项法32【例 12】 分解因式 x3 3x2 4 分析： 此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0 了，可考虑通过添项或拆项解决解： x3 3 x2 4 (x3 1) (3x2 3)说明： 本解法把原常数 4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将3x2 拆成x2 4 y2 ，将多项式分成两组 (x3 x2) 和 4x2 4一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1

22、) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解， 那么可以尝试用分组或其它方法 ( 如十字相乘 法)来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止1把下列各式分解因式：(1) a3 27(4)138p31364q2把下列各式分解因式：34(1) xy xA组(2)83 m(3)27x3 88x3311 3 313(5)y(6)xyc12521627n3n3(2)xxy32x)(4)2 y(3) a2(m n)3 a2b322 y (x3把下列各式分解因式：(1)x2 3x 2(2)2x3

23、7x36(3)x211x26(4)x2 6x 27(5)2 m4mn5n2(6) (ab)211(ab) 284把下列各式分解因式：(1)543 ax 10ax 16ax(2)n2 aan 1bn26a b (3)(x22x)29(4)x4 7x2 18(5)6x27x 3(6)8x226xy15y2(7)7(a b)2 5(ab)2(8)(6x2 7x)2255把下列各式分解因式：(1)3ax 3ay xy2 y(2) 8x3 4x22x 1 (3) 5x215x2xy 6y(4) 4a2 20ab 25b2 36 (5) 4xy 1 4x2 y2 (6) a4b a3b2 a2b2 ab4

24、 6 6 3 2(7) x y 2x 1 (8) x (x 1) y(xy x) B 组1把下列各式分解因式：(1) ab(c2 d2 ) cd(a2 b2 )(2) x2 4mx 8mn 4n2(3) x4 64 (4) x3 11x2 31x 21 (5) x3 4xy2 2x2y 8y32已知 a b 2,ab 2 ，求代数式 a2b 2a2b2 ab 2的值33证明：当 n为大于 2的整数时， n5 5n3 4n能被 120 整除4已知 a b c 0，求证： a3 a2c b2c abc b3 0 第二讲 因式分解答案A组1 (a 3)(a2 3a 9),(2 m)(4 2m m2 ),(2 3x)(4 6x 9x2),1 2 2 1 2 2 2 1 1 2 2 21 (2pq)(4 p22pq q2 ),(2 xy1)(4x2y22xy 1 ), 1 (xy2c)( x2 y 22xyc 4c2)6455 25 2162 2 n 2 22 x(x y)(y xy x ),x (x y)(x xy y ),3),( x 3)(x 3)(x2 2)3 (x 2)(x 1),(x 36)(x 1),(x 13)(x 2),( x 9)(x 3)(2x3)(3x1),(2 xy)(4x 15y),(7 a 7b 2)(a b 1),(2