近世代数习题解答(张禾瑞)四章

1、近世代数习题解答第四章整环里的因子分解1素元、唯一分解1. 证明：0不是任何元的真因于。证当dHO时若（/ = Ob则a = 0故矛盾当4=0时，有0 =現）（是单位）就是说0是它自己的相伴元2. 我们看以下的整环/, /刚好包含所有可以写成等伽是任意整敌，0的整数） 形式的有理数，/的哪些个元是单位，哪些个元是素元？证1） /的单位总可以把加表为m = 2kp（p是0或奇数,比非负整数）我们说P = 时，即= 2A是单位，反之亦然2） /的素元依然是m = 2kp（p,k的限制同上）我们要求i ）卩工0ii）卩工1iii）2丈卩只有平凡因于满足i）iii）的“是奇素数故m = 2k p而卩是

2、奇素数是号 是素元，反之亦然，3. /是刚好包含所有复数+仞（“0整数）的整环，证明5不是/的素元，5有没有 唯一分解？证（1）/的元g是单位，当而且只当h2=1时，事实上，若 = a + bi是单位贝iJl = - 片=|卄f即1咔闊$但同彳=/ +沪是一正整数,同样也是正整数,因此，只有|才=1反之，若 =a2+b2 = ,则 a = ,b = O或a = O,b = 这些显然均是单位此外，再没有一对整数a、b满足，+/异=1,所以/的单位只有1出。 （2 ）适台条件|af =5的/的元Q 定是素元。事实上，|2=5则aHO又由（l）a也不是单位若a = 0/l,5 = pf = |0fp

3、q2则|/?2| = 1或叶5|0= =卩是单位亠=旷a =兄是的相伴元|0=5 =吋= 12是单位n卩=fan卩是a的相伴元不管哪种情形，a只有平凡因于，因而Q是素元。（3） /的元5不是素元。 2 2 样网呵 这当当若5 = 0a则25 = |0吋 |0|只可能是1,5,25=5由（1） 0是单位=5刽才=1由几是单位此即0,兄中有一是5的相伴元现在看府=5的情形占=4 +仇,0f = / +厅=5可能叭情形是 a = 庆2 b = =（2+/）a-/）、由（2）知|0=5的0是素元，故知5是素元之积&= 一1方三2b = a = 1.1=2I b = a = 10三蝇/? = -!显然（

4、4） 5的单一分解5 = (1 + 2/)(1 - 2i) = (-1)(1 + 2/)(-1)(1- 2/)=(-0(1 + 20(0(1 - 2/) = (i)(l + 2/)(-/)(1 - 2/)1,土，均为单位2唯一分解环1 证明本节的推论证本节的推论是；一个唯一分解环/的个元5皿2,a”在/里一定有最大公因于， q，“2的两个員大公因于只能査一个单位因于。用数学归纳法证当11 = 2时，由本节定理3知结论正确。假定对“ -1个元素来说结论正确。看”的情形设 纠,“2有是大公因于为仇_1。心，厲的最大公因于为即 |d,i 而 dn_fi(Z = 1,2,“ 一 1)=(/ = 1,2

5、,，一 1)又 da故d是axa2an_van的公因于礼 又也 前这就是说，是5的最大公因于若d是ae -an_van的是大公因于那么dd 且d|d=d = ud d =vd nd = uvd若 d=0 则d =o(/ H 0则uv = 1即是单位故 d = d2 .假定在一个唯一分解环里q = dbva2 =血2,= dbn证明 当而且只当是厲宀，”的一个最大公因于的时候，勺上2,，仇互素 证亠假定是q,，勺的一个是大公因于若勺,乞,$不互素则有* =dcr 9bn=dcn而d不是单位那么 q = ddq (/ = 1,- n)这就是说dd是5的公因于所以水/*/即d=ddd 故d d =

6、1d是单位矛盾y假定勺,互素令是q,4”的最大公因于则有外/ 即d*/q =d ci =dde (i=l,2,-n)勺=4q=4是久也的公因于于是m是单位d = sd那么d是4,，色的黒大公因于3. 假定/是一个整环，（“）和（仍是/的两个主理想证明（“）=（b）当而且只当b是I的相伴元的时候证”亠“假定S） = （b）a = cb,b = caa = cc acc = 1c,c是单位所以方是的相伴元假定 = &/（ 单位）Z?e（）, （”）ua = b,（a） u （a）故（a） = 9）3主理想1 假定/是一个主理想环，并且（小 =d证明 是和“的一个最大公因于，因此和b的何是大公因于都

7、可写成以下形式：d =sa+tb （5,/g/）证由于（） = （）有已（）, = 4b e （db = bd是，b的公因于 仿由（， = （）知化（a,b）故有 d = sa + tb设仏是的任一公因于由（A）知d*/即d是gb的最大公因于又d =引（0单位）= （sa + /b） = （ss ）“ + （Q ）b = sa + tb,（s,t e /）2 . 一个主理想环的每一个最大理想都是由一个元素所生成的。证 设（卩）是主理想环/的最大理想，并设（）工0若P是单位,则（P）= 1若P不是素元则 =be ,b,c是p的真因于（“）u（b）大理想.（）= /Di是单位，矛盾。3.我们看两个

8、主理想环/和人 是/的于环，假定和b是人的两个元,是这两个元在/里的一个呈大公因于。证明：d也是这两个元在I里的一个最大公因于。证/()是主理想环的子环，所以在人里由本节习题1知是。上的景大公因于，而且最大公因于有以下形式：(1 = sa + tb(s.t e /0)A)u I.d也是匕方在/里的公因于。设/是在/里任意公因于则 a = aldl9b = bdi那么 =sax + 仏=(sat + tbx) dd故是在/里的最大公因于。4欧氏环1. 证明:一个域一定是一个欧氏环.证设F是域，则F定是整环gfmn是某一个固定20的整数，这符台条件(i )ii) a e F,“ H 0对 F 的任

9、何元 Z?都有b = a(aih) + O这里r = 02. 我们看有理数域F上的一元多顼式环Fx理想等于怎样的一个主理想? 证 我们说(x2+1,x任取0 = c +山 c,d 整教+x证明由所有复数a + bia,b是整数)所作成的环是一个欧氏环 取(处7)= ”|) 证 a = a +bia,b 整数令 0(a) = |a=a +b设 a 工 0 则 |a=a2 +b2 0 + 1) = Fa X2 + 1,X5 + A3 + 1 互素-x3(a2 + 1) + 1(x5 + + + 1) = 1即 1 e (x2 +l,x5 +x +1)因而(x2 + l,x + x3 + 1) =

10、(1) = F(x)ac + bd f ad 一 be 其中Q =一 上=r t . cr + b cr+Zr 故小是有理数取A = x+yi.x.y是有理数，且满足条件则 J3 = Aa+rja因为卩入g的实部与虚部系救均为整数，所以&的实部与 虚部系数亦均为整数2=|2-A|2= (a - a)2 + (b - y)2 (|)2 + (21 T |询何 ,设 qa = r J3 = Aa + r |厂| 即0(门如) “I 使 G X -2忑y是可以做到的ac + bd er +b2x注意:取 A = x + yi 忆一)慎的整敢 例如p -A| 只要取x = 即可使t/ -X ! )anx1 + + ()=(n + m)abx + + (ajb + 5%)故有(ii) fWgM = f WgW + g (x)f(x)现在证明 IfW1 =tf(xy-lf(x)用数学归纳法证f =