大物期末复习

1、练习一 静电场中的导体三、计算题1. 已知某静电场在 xy 平面内的电势函数为 U=Cx/(x2+y2)3/2,其中 C 为常数 . 求(1)x 轴上任意一点 ,(2)y 轴上任意一点电场强度的大小和方 向.解： .Ex= U/ x2 2 3/2 2 2 5/2= C1/(x2+y2)3/2+x( 3/2)2x/(x2+y2)5/22 2 2 2 5/2= (2x y )C /(x +y ) Ey= U/ y2 2 5/2 2 2 5/2 = Cx( 3/2)2 y/( x +y ) =3Cxy/(x +y )2 5 3x 轴上点 (y=0)Ex=2Cx2/x5=2C/x3 Ey=03 E=2

2、Ci/x32 5 3y 轴上点 (x=0)Ex= Cy2/ y5= C/y3 Ey=03E= Ci/y32如图 5.6, 一导体球壳 A(内外半径分别为 R2,R3),同心地罩在一接地导体球 B(半径为 R1) 上,今给 A 球带负电 Q, 求 B 球所带电荷 QB 及的 A 球的电势 UA.静电场中的导体答案解： 2. B 球接地 ,有 UB=U =0, UA=U BAUA=( Q+Q B)/(4 0R3)UBA=QB/(4 0)(1/ R2 1/R1)得QB=QR 1R2/( R1R2+ R2R3 R1R3)UA=Q/(4 0R3) 1+R1R2/(R1R2+R2R3 R1R3)= Q(R

3、2 R1)/4 0(R1R2+R2R3 R1R3)练习二 静电场中的电介质三、计算题AQ11 2图 6.61. 如图 6.6 所示,面积均为 S=0.1m 2的两金属平板 A,B 平行对称放 置,间距为 d=1mm,今给 A, B 两板分别带电 Q1=3.54109C, Q2=1.779 109C.忽略边缘效应 ,求： (1) 两板共四个表面的面电荷密度1, 2, 3, 4;(2) 两板间的电势差 V=UAUB.解： 1. 在 A 板体内取一点 A, B 板体内取一点 B, 它们的电场强度是四导体图 6.7B个表面的电荷产生的 ,应为零 ,有EA= 1/(2 0) 2/(2 0) 3/(2 0

4、) 4/(2 0)=0 EA= 1/(2 0)+ 2/(2 0)+ 3/(2 0) 4/(2 0)=0 而 S( 1+ 2)=Q1S( 3+ 4)=Q2有 1 2 3 4=01+ 2+ 3 4=01+ 2=Q1/S3+ 4=Q2/S 解得1= 4=(Q1+Q2)/(2S)=2.66 10 8C/m2822= 3=(Q1 Q2)/(2S)=0.89 10 C/m 两板间的场强 E= 2/ 0=(Q1 Q2)/(2 0S)BV=U AUBE dlA=Ed= (Q1 Q2)d/(2 0S)=1000V四、证明题1. 如图 6.7 所示，置于静电场中的一个导体，在静电平 衡后，导体表面出现正、负感应电

5、荷 .试用静电场的环路定理 证明，图中从导体上的正感应电荷出发，终止于同一导体上 的负感应电荷的电场线不能存在 .解： 1. 设在同一导体上有从正感应电荷出发，终止于负感 应电荷的电场线 .沿电场线 ACB 作环路 ACBA ,导体内直线 BA 的场强为零 ,ACB 的电场与环路同向于是有AE dlE dlE 2 dl= E dl 0l ACB B ACB 与静电场的环路定理 E dl 0 相违背 ,故在 同一导体上不存在从正感应电荷出发，终止于负感应电荷的电场 线.练习三 电容 静电场的能量三、计算题1. 半径为 R1的导体球带电 Q ,球外一层半径为 R2 相对电容率 为 r 的同心均匀介

6、质球壳 , 其余全部空间为空气 . 如图 7.1 所示 . 求: (1)离球心距离为 r1(r1R1), r2(R1r1R2)处的 D 和 E； (2)离球心 r1, r2, r3,处的 U；(3)介质球壳内外表面的极化电荷 .图 7.1解：1. (1) 因此电荷与介质均为球对称 ,电场也球对称 ,过场点作与金属球同心的球形高斯面 ,有SD dSq0i4 r2D= q0i 当 r= 5cmR 1, q0i=0 得 D1=0, E1=0 当 r=15cm(R1rR1+d ) q0i=Q= 1.0 10 8C 得D3=Q/(4 r2)=1.27 10 8C/m224E3=Q /(4 0r2)=1.

7、44 104N/CD和 E的方向沿径向 (2) 当 r= 5cmR 1时 U1= E dlR R dr E1dr R E2dr R d E3dr=Q/(4 0 rR) Q/4 0 r ( R+d )+ Q/ 4 0(R+d )=540V当 r= 15cmR 1 时 RdU2= r E dl r E2dr R d E3dr=Q/(4 0 rr) Q/4 0 r(R+d )+ Q/4 0(R+d )=480V当 r= 25cmR 1 时U3= E dlE3dr =Q/ (4 0r )=360V(3)在介质的内外表面存在极化电荷 ,Pe= 0 E= 0( r 1)E= Penr=R 处 , 介质表面

8、法线指向球心=Pen =Pecos = 0( r 1)E22q = S= 0( r 1) Q/(4 0 rR2)4 R2= ( r 1)Q/ r= 0.8 10 8Cr=R+d 处 , 介质表面法线向外=Pen =Pecos0= 0( r 1)E22q= S= 0( r 1) Q/(4 0 r(R+d)24 (R+d)2=( r 1)Q/ r=0.8 10 8C2.两个相距很远可看作孤立的导体球，半径均为10cm，分别充电至 200V 和 400V ，然后用一根细导线连接两球，使之达到等电势 . 计算变为等势体的过程中，静电力所作的功 . 解;2. 球形电容器C=4 0RQ1=C1V1= 4

9、0RV1Q2=C2V2= 4 0RV22 2 2 2W0=C1V1 /2+C2V2 /2=2 0R (V1 +V2 ) 两导体相连后C=C1+C2=8 0RQ=Q 1+Q2= C1V1+C2V2=4 0R(V1+V2)2 2 2 W=Q2/(2C)= 4 0R(V1+V2) 2/(16 0R)= 0R(V1+V2)2 静电力作功 A=W 0 W2 2 2 2 =2 0R (V12+V22) 0R(V1+V2)2= 0R(V1 V2)2=1.11 10 7J练习六 磁感应强度 毕奥萨伐尔定律三、计算题1. 如图 10.7 所示 , 一宽为 2a 的无限长导体薄片 , 沿 长度方向的电流 I 在导

10、体薄片上均匀分布 . 求中心轴 线 OO 上方距导体薄片为 a 的磁感强度 .解： 1.取宽为 dx 的无限长电流元 dI=I dx/(2a)dB= 0 dI/ (2 r)= 0I dx/(4 ar)dBx= dBcos = 0Idx/(4 ar )( a/r )= 0I dx/(4 r2)= 0I dx/ 4 (x2+a2)22 dBy= dBsin = 0Ixdx/4 a(x +a )BxdBx0Idxa 4 x2 a2= 0I/(4 )(1/ a)arctan(x/a)BydByaa = 0I/(8a)a 0Ixdx22 a4 a x2 a2a= 0I/(8 a)ln(x2+a2) a

11、=02. 如图 10.8 所示，半径为 R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈覆盖住半个球面 . 设线圈的总匝数为 N，通过线圈的电流为 I. 求球心 O 的磁感强度 . 解： 2. 取宽为 dL 细圆环电流 , dI=I dN=I N/( R/2)Rd =(2IN/ )d2 2 2 3/2dB= 0dIr 2/2(r2+x2)3/2图 10.8r=R sinx=R cosdB= 0NIsin2 d /( R)0NI sin2 dB dB 02R= 0NI/ (4R)练习 七 毕奥萨伐尔定律 (续) 磁场的高斯定理三、计算题1.在无限长直载流导线的右侧有面积为S1 和 S

12、2 的两个矩形回路回路旋转方向如图 11.6所示 , 两个回路与长直载流导线在同一平面内 且矩形回路的一边与长直载流导线平行 . 求通过两矩形回路的磁通量S1S2baa2a图 11.6及通过 S1 回路的磁通量与通过 S2回路的磁通量之比 解： 1.取窄条面元 dS=bdr, 面元上磁场的大小为B= 0I/(2 r), 面元法线与磁场方向相反.有2a 0Ibdr cos0bIln2a2r4a 0I0bI2= 0 bdr cos0 ln22a 2 r2R 0 r 3dr 0 R 2 2 2 B02r2x2 3/2r2d r2 x2 = 0 R r0 r2 x2 32 = 4R 2 x2 d r2

13、 x20 r2 x2 3 20 R x2d r 2 x24 0 r 2 x2 32=0=22 xR0QR2 2x22 R2R2 x22x1/ 2=1(2)求磁距 . 电流元的磁矩22dPm= dIS= rdr r = r drR3r dr42= R /4= QR /4练习八 安培环路定律三、计算题2RROd图 12.51. 如图 12.5 所示，一根半径为 R 的无限长载流直导体，其中电流I 沿轴向流过，并均匀分布在横截面上 . 现在导体上有一半径为 R 的圆 柱形空腔，其轴与直导体的轴平行，两轴相距为 d . 试求空腔中任意 一点的磁感强度 .解： 1. 此电流可认为是由半径为 R 的无限长

14、圆柱电流 I1和一个同电流 密度的反方向的半径为 R 的无限长圆柱电流 I2组成.2 2 2 2 I1=J R 设有两无限大平行载流平面 , 它们的电流密度均为 j,电流流向相反 . 求：(1) 载流平面之间的磁感强度；(2) 两面之外空间的磁感强度 .I2= J R 2 J=I/ (R2 R 2)BrdRI Bx它们在空腔内产生的磁感强度分别为B1= 0r1J/2B2= 0r2J/2方向如图 .有Bx=B2sin 2 B1sin 1=( 0J/2)(r2sin 2 r1sin 1)=0By =B2cos 2 B1cos 1=( 0J/2)(r2cos 2 r1cos 1)=( 0J/2)d

15、所以B = By= 0dI/2 (R2R 2)方向沿 y 轴正向解 ;2. 两无限I1产生的磁场I2在平面 的I2电流在空间产生的磁场为B2= 0J/2在平面的上方向左 , 在平面的下方向右 .大平行载流平面的截面如图 .平面电流在空间 为 B1= 0J/2上方向右 , 在平面的下方向左 ;(1) 两无限大电流流在平面之间产生的磁感强度方向都向左,故有 B=B 1+B2= 0J(2) 两无限大电流流在平面之外产生的磁感强度方向相反,故有 B=B 1 B2=0练习九 安培力三、计算题21. 一边长 a =10cm 的正方形铜导线线圈 (铜导线横截面积 S=2.00mm 2, 铜的密度 =8.90

16、g/cm 3 ), 放在均匀外磁场中 . B竖直向上, 且B = 9.40 103T, 线圈中电流为 I =10A . 线圈 在重力场中 求 :(1) 今使线圈平面保持竖直 , 则线圈所受的磁力矩为多少(2) 假若线圈能以某一条水平边为轴自由摆动 少.解： 1. (1) Pm=IS=Ia 2 方向垂直线圈平面 . 线圈平面保持竖直 ,即 Pm与 B 垂直.有 M m=P m B2Mm=P mBsin( /2) =Ia 2 B=9.4 10 4m N(2) 平衡即磁力矩与重力矩等值反向2Mm=P mBsin( /2 )=Ia 2Bcos MG= M G1 + M G2 + M G3= mg(a/

17、 2)sin + mgasin + mg(a/2)sin2=2( Sa)gasin =2 Sa2gsin22Ia2Bcos =2 Sa2gsin tan =IB/ (2 Sg)= 0.2694=15,当线圈平衡时 ,线圈平面与竖直面夹角为多2. 如图 13.5所示，半径为 R的半圆线圈 ACD通有电流 I2, 置于电流为 I1的无限长直线电流的磁场中 , 直线电流 I1 恰过半圆的直径 , 两导线相互绝缘. 求半圆线圈受到长直线电流 I1的磁力 .解： 2.在圆环上取微元I2dl= I2Rd 该处磁场为B= 0I1/(2 Rcos )I2dl 与 B 垂直 ,有 dF= I 2dlBsin(

18、/2) dF= 0I1I2d /(2 cos ) dF x= dFcos = 0I1I2d /(2 )dF y= dFsin = 0I1I2sin d /(2 cos )Fx0I1I 2d2= 0I1I2/2因对称 Fy=0. 故 F= 0I1I2/2方向向右练习十 洛仑兹力三、计算题1. 如图 14.6 所示，有一无限大平面导体薄板， 自下而上均匀通有电流， 已知其面电流密度为 i(即单位宽度上通有的电流强度 )(1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向 .图 14.6(2) 有一质量为 m，带正电量为 q 的粒子，以速度 v 沿平板法线方向 向外运动 . 若不计粒子重力 . 求：(A)

19、 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞(B) 需经多长时间，才能回到初始位置 . 解： 1. (1) 求磁场 .用安培环路定律得B= 0i/2在面电流右边 B 的方向指向纸面向里 ,在面电流左边 B 的方向沿纸面向外 .2(2)F = qvB= maqvB=ma n=mv /R带电粒子不与平板相撞的条件是粒子运行的圆形轨迹不与平板相交,即带电粒子最初位置与平板的距离应大于轨道半径 .R=mv/qB= 2mv/( 0iq)(3) 经一个周期时间，粒子回到初始位置 .即 t=T=2 R/v= 4 m/( 0iq)2. 一带电为 Q 质量为 m 的粒子在均匀磁场中由静止开始下落,磁场的方

20、向 (z 轴方向 ) 与重力方向 (y轴方向 )垂直,求粒子下落距离为 y 时的速率 .并讲清求解方法的理论依据 .解：2. 洛伦兹力 QvB 垂直于 v,不作功 ,不改变 v的大小；重力作功 .依能量守恒有 mv2/2= mgy，得v=(2gy)1/2.练习 十一 磁场中的介质三、计算题1. 一厚度为 b 的无限大平板中通有一个方向的电流,平板内各点的电导率为 ,电场强度为E,方向如图 15.6 所示 ,平板的相对磁导率为 r1,平板两侧充满相对磁导率为r2的各向同性的均匀磁介质 , 试求板内外任意点的磁感应强度 .解： 1. 设场点距中心面为 x,因磁场面对称 以中心面为对称面过场点取矩形

21、安培环路，有l H dl =I02 LH= I0lHEH(1) 介质内 ,0xb/2. I0=b lJ=b l E,有H=b E/2 B= 0 r2H= 0 r2b E/2图 15.6 图 15.7H dl =I02. 一根同轴电缆线由半径为 R1 的长导线和套 在它外面的半径为 R2 的同轴薄导体圆筒组成，中 间充满磁化率为 m 的各向同性均匀非铁磁绝缘介 质，如图 15.7所示 . 传导电流沿导线向上流去 , 由 圆筒向下流回，电流在截面上均匀分布 . 求介质内 外表面的磁化电流的大小及方向 解： 2. 因磁场柱对称 取同轴的圆形安培环路，有 在介质中 (R1 r R2)，I0=I ，有2

22、 rH= I H= I/(2 r ) 介质内的磁化强度M= mH = m I/(2 r)介质内表面的磁化电流JSR1= M R1nR1 = MR1 = mI/(2 R1)ISR1=JSR1 2 R1= mI(与 I 同向 )介质外表面的磁化电流JSR2= M R2nR2 = MR2 = mI/(2 R2)ISR2=JSR2 2 R2= mI(与 I 反向 )练习十二 电磁感应定律 动生电动势1. 如图 17.8所示，长直导线 AC中的电流 I 沿导线向上，并以 dI /dt = 2 A/s 的变化率均匀图 17.9三、计算题 增长 . 导线附近放一个与之同面的直角 三角形线框，其一边与导线平行

23、，位置 及线框尺寸如图所示 . 求此线框中产生 的感应电动势的大小和方向 .解： 1. 取顺时针为三角形回路电动势正向 ,得三角形面法线垂直纸面向里 .取窄条面积微元 dS=ydx=( a+b x)l/b d xm= B dSa b 0I a b xldx=a 2 x b= 0Il a b ln a b b2 b ai = d m/dt=20bl b a b ln= 5.18 108Va b dI a dt负号表示逆时针2. 一很长的长方形的 U 形导轨，与水平面成 角，裸导线可在导轨上无摩擦地下滑，导 轨位于磁感强度 B垂直向上的均匀磁场中， 如图 17.9所示. 设导线 ab的质量为 m，

24、电阻为 R， 长度为 l，导轨的电阻略去不计 , abcd 形成电路 . t=0 时， v= 0. 求：(1) 导线 ab 下滑的速度 v 与时间 t 的函数关系 ; (2) 导线 ab 的最大速度 v解：2. (1) 导线 ab 的动生电动势为i = l vBdl=vBl sin( /2+ ) =vBl cos I i= i/R= vBlcos /R 方向由 b 到 a. 受安培力方向向右 ,大小为F= l (Iidl B) = vB2l2cos /R F 在导轨上投影沿导轨向上 , 大小为2 2 2 F = Fcos =vB 2 l2cos2 /R 重力在导轨上投影沿导轨向下 ,大小为 m

25、gsinmgsin vB2l 2cos2 /R=ma=m dv/dt2 2 2 dt=dv/gsin vB2l 2cos2 /(mR) sinvB2l 2 cos2 mRt 0 dv gv mgR sin 1 e B2l 2cos2 t mRv B2l 2 cos2 1 e(2) 导线 ab 的最大速度 vm= m2g2Rsin2.B l cos练习十三 感生电动势 自感三、计算题1. 在半径为 R 的圆柱形空间中存在着均匀磁场 的金属棒 MN 放在磁场外 且与圆柱形均匀磁场相切 , 切点为金属棒的中点 ,金属 棒与磁场 B 的轴线垂直 .如 图 18.6 所示 .设 B 随时间的 变化率 d

26、B/dt 为大于零的常量 .求 : 棒上感应电动势的大2R图 18.610B,B 的方向与柱的轴线平行 .有一长为 2R图 18.7小, 并指出哪一个端点的电势高 (分别用对感生电场的积分 i= lEidl 和法拉第电磁感应定律 i=d /dt 两种方法解 ). .解： (1) 用对感生电场的积分 i= lEidl 解:在棒 MN 上取微元 dx( Rx0,故 N 点的电势高 . (2) 用法拉第电磁感应定 沿半径作辅助线 OM,ON 组=R3(dB/dt)/2(1/R)arctan(x/R) RR律i =d /dt 解:成三角形回路 MONM NM= MNEi dl = NM Ei dlEi

27、dl+OMOEiNdl + O Ei dl=(d mMONM /dt) =d mMONM /dt而 mMONM = SB dS= R B/4i= R2(dB/dt)/4N 点的电势高2. 电量 Q 均匀分布在半径为 a,长为 L(La)的绝缘薄壁长圆筒表面上 ,圆筒以角速度 绕 中心轴旋转 .一半径为 2a,电阻为 R总匝数为 N的圆线圈套在圆筒上 ,如图 18.7 所示.若圆筒转速 按 = 0(1 t/t0)的规律 ( 0,t0 为已知常数 )随时间线性地减小 ,求圆线圈中感应电流的大小和流向.解：2. .等效于螺线管B 内= 0 nI= 0 Q /(2 )/L= 0 Q /(2 L)B 外 =0= SB dS=B a2= 0Q a2 /(2 L)i =d /dt= 0Q a2 /(2 L)d /dt = 0 0Q a2 /(2 L t0) Ii=i /R= 0 0Q a2 /(2 LR t0) 方向与旋转方向一致 .练习十四 自感(续)互感 磁场的能量11三、计算题1. 两半径为 a 的长直导线平行放置 ,相距为 d,组成同一回路 ,求其单位长度导线的自感系 数 L0.解： 1. 取如图所示的坐标 ,设回路有电流为 I ,则两导线