勾股定理经典例题(含参考答案)

1、精心整理勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC中，/ C=90 已知 a=6, c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c； (3)已知 c=25, b=15,求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用解析： 在厶ABC中, Z C=90 , a=6, c=10,b=-I22在厶ABC中, Z C=90 , a=40, b=9,c=- : - 1在厶ABC中, Z C=90 , c=25, b=15,a=- 举一反三【变式】如图Z B=Z ACI=90 ,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少【

2、答案】/ AC=90AD=13,CD=12 AC=AD CD=132- 122=25 AC=5又 vZ ABC=90 且 BC=3由勾股定理可得aB=ac- bc=52 - 32=16 AB=4 AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在.:中，川，亠-.求BC的长.精心整理思路点拨：由条件，想到构造含U角的直角三角形，为此作亠一于D,贝U有 ,，再由勾股定理计算出AD DC的长解析：作于D,则因一 -(:一的两个锐角互余)BD - AB = 15n -_（在工中，如果一个锐角等于 一，那么它所对的直角边等于斜边的一半）.根据勾股定理，在中，AD二倔_咄二_壬2二臥g.根据勾股

3、定理，在Ji中，CD 二 J硬-加二二 6 5rm； _n.举一反三【变式1】如图，已知：-门卜，mm 二_二于p.求证：以-kc M A一 ；解析：连结BM根据勾股定理，在 MMP中，.而在庄丄1;匕中，则根据勾股定理有.；匕八 - y. ，：一又L -!（已知）， .在中，根据勾股定理有，.朋胆兽M:f、_ f .NhX【变式2】已知：如图，/ B=Z D=90 ,/ A=60 , AB=4, CD=2求：四边形ABCD勺面积分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC或延长AB DC交于F,或延长AD BC 交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较

4、为简单。解析：延长AD BC交于E。vZ A=Z 60,/ B=90，/ E=30 AE=2AB=8 CE=2CD=4 BU=AE-AB2=82-42=48, BE=v D=C-CD2=42-22=12,a D-S 四边形 ABC=SABE-S CD= AB- BE- CD-类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A点出发，沿北偏东 60方向走了订=工到达B点，然后再沿北偏西30方向走了 500m到达目的地C点。（1）求A、C两点之间的距离（2）确定目的地C在营地A的什么方向解析：(1)过B点作BE/AD/ DABM ABE=

5、60 30 +Z CBAy ABE=180/ CBA=90即厶ABC为直角三角形由已知可得：BC=500m AB=00V3m由勾股定理可得： 二 -一一(2)在 Rt ABC中,_ -/ BC=500m AC=1000m / CAB=30vZ DAB=60/ DAC=30即点C在点A的北偏东30 的方向 举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这 辆卡车能否通过该工厂的厂门？【答案】由于厂门宽度足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CDLAB，与地面交于H. 解：09 1米（

6、大门宽度一半），OB 0.8米（卡车宽度一半）在Rt OCD中，由勾股定理得：CD=0 . 6米，CH=0 . 6 + 2 . 3 = 2 . 9（米）2 . 5（米）. 因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某 地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条 线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分.请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.AD思路点拨：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进

7、行比较，得出结论.解析：设正方形的边长为1,则图（1）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+C=3，AB+BC+C=3图（3）中，在 Rt ABC中aCabGb/二忑同理厂- 图（3）中的路线长为出图（4）中，延长EF交BC于 H,则FH丄BC BH= CH ifipH =由/ FBH=1及勾股定理得：EA= ED= FB= FC= _I F,迺6 EF= 1 2FH= 1:此图中总线路的长为 4EA+E= 1 -：:-1，3 2.8282.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线. 举一反三面的直【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm高ae为4cm精心整理径一只蚂蚁从

8、点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.如图，在Rt ABC中，EC=底面周长的一半=10 cm根据勾股定理得(提问：勾股定理) AC= i二-丄=! !r10.77( cm (勾股定理).答：最短路程约为1 0.77 cm类型四：利用勾股定理作长为丽的线段5、作长为J.、门-；、门的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于 匸，直角边为匸和1* 厂？ IJ 4 .* 的直角三角形斜边长就是 亠;，类似地可作上作直角边为1 (单位长)的等腰直角 ACB使AB为斜边； 以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角丄-二。斜边为丄; I I ; ;.

9、| 顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边J、二、二1、匸一的长度就是 匸、门、J-、罷。举一反三【变式】在数轴上表示L的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边， 匸 111，为了有利于画图，让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是 3和1。作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3作AC丄OA且截取AC=1以OC为半径,以O为圆心做弧，弧与数轴的交点 B即为h精心整理。作法：如图所示精心整理精心整理类型五：逆命题与勾股定理逆定理6写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 原命题：猫有四只脚.（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线

10、上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC的三边分别为a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c判断 ABC的形状。思路点拨：要判断 ABC勺形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2

11、+50=6a+8b+10c 故只有从该条件入手，解决问题。2 2 2解析：由 a+b+c +50=6a+8b+10c 得：2 2 2a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25=0,.一 I- -Ji999（a-3） 2+（b-4） 2+（c-5） 2=0。2 2 2 （a-3） 0,（b-4） 0,（c-5） 0。y 1 A. l . - I X、弋 za=3， b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举一反三【变式1】四边形ABCD，Z B

12、=90，AB=3 BC=4 CD=12 AD=13求四边形ABCD勺面 积。【答案】:连结AC-B=90，AB=3 BC=4 AC=AB+BC=25 （勾股定理） AC=5 AC+CD=169, aD=169 ac+cD=aD Z ACD=90 （勾股定理逆定理）気纯CD =豳+九CD =扑-恥=36【变式2】已知： ABC的三边分别为mi n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数,且n）,判断 ABC是否为直 角三角形分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可证明：门-/） +（2祕）=m -2桝 + +4沪并二用+4=(w?+a)a所以 ABC是直角三角形.【变式3

13、】如图正方形ABCD E为BC中点，F为AB上一点，且BF AB请问FE与DE是否垂直？请说明【答案】答：DEL EF0证明：设 BF=a 贝U BE=EC=2a,AF=3, AB=4a, EF=BF+BE=a2+4a2=5a2;D=C+d5=4a2+16ai=20a2o连接DF（如图）D=A+AD）=9a2+16a2=25aio dU=eF+dE, FEL DE经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是 3: 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数, 再根据勾股定理列出方

14、程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是 3x，4x，根据题意得：(3x) 2+ (4x) 2= 202化简得X = 16;1 - -I ；直角三角形的面积二1 X 3xX 4x = 6x2 = 96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【答案】如图，等边 ABC作ADL BC于 D则：BD- BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) A吐AO BO 2 (等边三角形各边都相等) BD- 1在直角三角形 ABD中,AD+BD，即：AD=Ab BD= 4- 1 =

15、 3 AD=Saabc=1 BC- AD=精心整理注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为 a,则其面积为- ao精心整理【变式2】直角三角形周长为12cm斜边长为5cm求直角三角形的面积。【答案】设此直角三角形两直角边长分别是 x， y，根据题意得：x +y + 5 = 12(1)2+b 二宁(2) 由(1)得：x+y= 7,(x+y) 2 = 49, x2+2xy+y2= 49(3)(2)，得：xy二 121 1直角三角形的面积是 .xy12= 6 (cnf)【变式3】若直角三角形的三边长分别是 n+1, n+2, n+3,求n。 思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2=( n+3) 2化简得：n=4n=2,但当 n= 2 时，n+1= 1JC解：在 Rt ABC中，/ A=60,Z B=90 - / A=30 ,则一丄，由勾股定理，得： -：- 0因为3 - -，十心，所以 一-_-；掀+1)好x/5+l，二屯b 二屯书二3，c 二比二 2爲。总结升华：在直角三角形中，30的