轴对称及最短路径问题(20210303094808)

1、最短路径问题（一）利用轴对称解决最短路径问题问题类型一B作法连接AB，与I 的交点即为点P图形原理PA+PB的最小值为AB的值， 两点之间，线段 最短类型二IBAAP+PB 的最小值为A B的值， 两点之间，线段 最短作点A关于I的 对称点A,连接 A B,与I的交点 即为点P类型三Li在直线li，I2上分别找点M,N，使 PMN周长最 小分别作点P关于 两直线Ii，I2的 对称点P,P,连 接PP,与两直 线的交点为M,NPM+PN+MN 的 最小值为P与 的值，两点之间， 线段最短类型四P1QL2在直线Li丄2上分别找点M,N，使四边形 PMNQ做点P,Q分别关 于直线Li,L2的 对称点

2、P,Q，连 接PQ,与两直 线的交点M,NPM+MN+PN 的 最小值为PQ与勺 值，两点之间线 段最短在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小?问题就进的周长最小（二）用平移解决造桥选址问题例1,如图，a/b, N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M，当点N由于MN的长度是固定的，因此当 AM+NB最小时,步转化为：当点 N在直线b的什么位置时，AM+NB最小?详解：将AM沿与a垂直的方向平移，点 M移动到点N，点A移动到点A与贝UAA与MN,AM+NB=A N+NB.这样，问题就转化为： 当点N在直线b的什么位置时，AN+NB最小?如图，在连接A,B两点的线中，线段 A

3、最短。因此，线段 A最短。因此，线段 A与直线b的交点N的位置即为所求，即在点N处造桥MN，所得路径 AMNB是最短的。L2P村到Q村，要经过两座桥例2,在P、Q两村之间有两条河，且每条河的宽度相同，从MN、EF。现在要设计一条道路，并在两条河上分别架这两座垂直于桥的大桥，问：如何设 计这两座桥 MN,EF的位置，使由P村到Q村的路程最短？LiL2(1)过点P作PA垂直于L1,垂足为A，过点Q作QB垂直于L3，垂足为B ；分别在PA和QB上截取PC=QD=河的长度；连接CD，分别交L2和L4于点E和M ；过点E和点M分别作L1和L3的垂线段，垂足分别为F和N ; 连接PF和QN,则路线Pt F

4、tM t Nt Q就是满足题意的从 P到Q的最短路线(三) 求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优设计方案。例：一点到圆上的点的最大距离为 9，最短距离为1，则圆的半径为多少?（四）点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽.可求出最短路程例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面,点爬行到C点，那么，最近的路程长为（五）、在长方体（正方体）中，求最短路程1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，2）将前表面展开与上表面在同一平面内，3）将上表面展开与左侧面在同

5、一平面内， 然后进行比较大小，即可得到最短路程例：有一长、宽、高分别是AABJ点A处沿长方体的表面爬到长方体上和（）A 5应cm B.求得其路程求得其路程 求得其路程了5cm, 4cm, 3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体的一个顶A相对的顶点B处，则需要爬行的最短路径长为cm C. 4 Hcm D. 3_ icm例：如图是一个长 4m宽3m高2m的有盖仓库，在其内壁的 A处（长的四等分）有一只壁 虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处最短距离为（4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的.諛士蛍. *羊* % *E*头I亘aW夕. /地面亠=-*地面j/2米，

6、宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体的木块，它的例：如图，在一个长为棱长和场地宽 AD平行且AD木块的正视图是边长为 0.2米的正方形，一只蚂蚁从点 A处, 到达C处需要走的最短路程是 米.（精确到0.01米）例：如图，AB为O O直径，AB=2, 点P为0C上的动点，求 AP+PD0C为半径，OCL AB,D为AC三等分点, 的最小值。（七）、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案例：如图，一直圆锥的母线长为 QA=8底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从 A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到 A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是（八）、题中

7、出现一个动点。（结果保留根式）当题中只出现一个动点时，可作定点关于动点所在直线的对称点，利用两点之间线段最短，或三角形两边之和小于第三边求出最值例：如图，在正方形 ABCD中，点E为AB上一定点，且 BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最 小值。（九）、题中出现两个动点当题中出现两个定点和两个动点时，应作两次定点关于动点所在直线的对称点利用两点之间线段最短求出最值。例：如图，在直角坐标系中有四个点，A（-8,3）,B（-4,5）C（0长最短时，求m/n 。（十）、题中出现三个动点时。在求解时应注意两点：（1）作定点关于动点所在直线的对称点 线之间的最短问题，n）,D（m,0）,当四边形 ABCD周,（2）同时要考虑点点，点线，线例：如图