圆锥曲线综合练习题有答案

1、圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 22 1已知椭圆 x y1的长轴在 y 轴上，若焦距为 4，则 m 等于（） 10 m m 2 A4B5C 7D8 42 【解析】由 m 2 （10 m） （ ）2 ，得 m 8 ，故选： D 2 22 xy 2直线 x 2y 2 0经过椭圆 2 2 1（a b 0） 的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离 ab 心率为（） 2 5 1 5 2 A BCD 5 2 5 3 【解析】直线 x 2y 2 0与坐标轴的交点为 （ 2，0） ，（0 ，1） ，依题意得 c 2，b 1，a 5 所以 e 2 5 ，故选 A 5 22 3设双曲线 x2 y 1（a 0）的渐近

2、线方程为 3x 2y 0，则 a的值为（ ） a2 9 A 4B3C2D1 答案： C 2 4若 m是 2和 8的等比中项，则圆锥曲线 x2 y 1的离心率是（ ） C 3 或 5 22 D 23 或 5 m 3 A 2 答案： D 5已知双曲线 M ，N 两点， A 1 3 2 答案： D 22 x2 y2 1（a 0，b 0） ，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于 ab O 为坐标原点若 OM ON ，则双曲线的离心率为（ D 1 5 2 B 13 2 C 12 5 6已知点 F1，F2 是椭圆 x2 2y2 2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 |PF1 PF2 |的

3、最小值是 A0 B1 C 2D 2 2 答案： C 22 7双曲线 x y 1 上的点到一个焦点的距离为 12，则到另一个焦点的距离为（ 25 9 A22 或 2B7C 22D2 解析】由双曲线定义知， | PF1 | |PF2| 10，所以 |PF1| 22或|PF2 | 2，故选 A 22 8 P为双曲线 x y 1的右支上一点， M ，N分别是圆 (x 5)2 y2 4和(x 5)2 y2 1 9 16 上的点，则 |PM | |PN |的最大值为() A 6B7C8D9 22 【解析】 设双曲线 x y 1的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，则圆 (x 5)2 y2 4 的圆心为 F1

4、， 9 16 半径 r1 2圆 (x 5)2 y2 1 的圆心为 F2，半径 r2 1 所以 |PM |max |PF1| r1 |PF1| 2，|PN |min |PF2| r2 |PF2| 1 由双曲线定义得 |PF1 | |PF2| 6， 所以（|PM | | PN |） max |PF1| 2 （| PF2 | 1） 9故选： D 9已知点 ) B4 ( A2 解析】准线方程为 P(8，a) 在抛物线 y2 4px上，且 P 到焦点的距离为 10，则焦点到准线的距离为 C8D 16 由已知得 8 p 10，所以 p 2 ，所以焦点到准线的距离为 2p 4 10在正 ABC 中， D A

5、B ， E AC ，向量 DE 1 2 BC ，则以 B，C 为焦点，且过 D，E的 2 双曲线离心率为( 5 A 3 B C 2 1 D 3 1 解析】设正 ABC 的边长为 2，向量 DE 由双曲线定义知 |BE| |EC | 2a， 所以 a 3 1，又 c 1 2 所以离心率 e c 3 1故选： a 11两个正数 a，b 的等差中项是 9 ，一个等比中项是 2 5 ，且 a b ，则抛物线 y2 b x 的 2a 1 D （1，0） 5 焦点坐标是( A ( 156，0) 2 B （ 2 ，0） 5 1 C （ BC，则 D ，E分别是 AB，AC 的中点 ，0） 5 ab9 解析】

6、依题意得 ab 20 ，解得 a 5，b 4 ， ab 所以抛物线方程为 5 4x， 其焦点坐标为 ( 1 5 ，0) ，故选： C 12已知 A1 ，A2 分别为椭 22 C:x2 y2 1(a b 0)的左右顶点，椭圆 C上异于 A1，A2的点 P ab 恒满足 4 kPA1 kPA2 9 则椭圆 C 的离心率为( A4 9 C D 35 解析】设 P(x0，y0)， y0 y0 x0 a x0 a 4 ，化简 9 22 x022y022 1， 2 2， a 4a 9 2 可以判断 b2 a2 故选： D e 5 3 13已知 F1、 F2分别是椭圆 22 ax22 by2 2 1(a b

7、 0) 的左、右焦点， A 是椭圆上位于第一象限内 的一点，点 B 也在椭圆 上，且满足 OA OB 0 O 为坐标原点) ， AF2 F1F2 0 ，若 椭圆的离心率等于 , 则直线 AB 的方程是 ( C 3 yx 2 D y3x 2 答案： A 14已知点 P 是抛物线 2x 上的一个动点， 则点 P 到点 M (0，2) 的距离与点 P 到该抛物 线准线的距离之和的最小值为 17 2 A3 B 答案： B 15若椭圆 2 y 1 与双曲线 n x2 2 y 1(m，n， q p ，q 均为正数)有共同的焦点 F1， F2，P 是两曲线的一个公共点，则 |PF1| |PF2 |等于 A

8、m pB p m C m2 2 p2 答案： C 16若 P(a，b) 是双曲线 4x2 16y2 m(m 0) 上一点， 且满足 a 2b 0 ， a 2b 0 ，则该 点 P 一定位于双曲线( A 右支上 答案： A ) B上支上 C右支上或上支上 D不能确定 17如图， 在 ABC 中， CABCBA 30 ，AC ，BC 边上的高分别为 BD ，AE ，则以 A ，B 为焦点， 且过 D ，E 的椭圆与双曲线的离心率的倒数和为( B1C 2 3 D 答案： A , 而在双曲线中 , 解析】设 |AB | 2c, 则在椭圆中 , 有 c 3c 2a, 3c c 2a, 31 2 2 si

9、n 3 cos 2 x轴上的椭圆 y轴上的椭圆 2 3 , 0 sin 2 sin 3. 0 2, 22 表示的曲线是椭圆。 e2 解析】 2 x 18方程 sin A 焦点在 C焦点在 2 y cos e1 1 e1 e2 1表示的曲线是( B焦点在 D 焦点在 y 轴上的双曲线 32 x 轴上的双曲线 2, cos(2 31 2) cos( 3 ), 即 3 , cos 2 0,cos 3 0, cos 2 cos 3 0, 方 程 (sin 2 sin 3) (cos 2 2 3 2 3 2 0, sin 2 0, 2 cos 3) 2 2sin 2 3 3 24 2 3 2 sin(

10、22 3 2 3 . 4 2 4 3 )( ) 4)( ) 23 sin( ) 0, 4 ( )式 0. 即 sin 2 sin 3 cos 2 cos 3. 曲线表示焦点在 y 轴上的椭圆， 故选： C x|F1O |OQ| 1 |OQ| 2, F1Q 2QP, xp2 1 p y2 19已知F1，F2是椭圆 a2 b2 1(a b 0)的左、右焦点，点P在椭圆上，且 F1PF2 2 记 线段 PF1与 y轴的交点为 Q ， O为坐标原点，若 F1OQ与四边形 OF2PQ 的面积之比为 1: 2 ，则该椭圆的离心率等于 ( A 2 3 B 2 3 3 C 4 2 3 D 31 解析】由题意知

11、点 P 在圆 x2 y2 c2上， x2 y2 c2 x2 y2 消y 得 21 b2 2 xP 2 2 4 2c a a 又 因 为 F1OQ 与 四 边形 OF2PQ 的面积之 1: 2 ， 可 得 |F1F2 |yp | 3 |yP| 2 2 4 2c a a 2 c 2 c 4, e4 8e2 4 0, e2 4 2 3,e2 4 2 3(舍 ), e 3 1 ，故选： D 2 20已知双曲线方程为 x2 y 1 ，过P（2 ， 1） 的直线 L 与双曲线只有一个公共点， 则直线 4 l 的条数共有（ ） A4条B3 条C2条D1条 答案： C 21已知以 F1（ 2，0） ， F2（

12、2 ，0） 为焦点的椭圆与直线 x 3y 4 0有且仅有一个交点，则 椭圆的长轴长为 （ ） A 3 2B2 6C2 7D 4 2 答案： C 2 2 2 2 22 双曲线 轴上， C 与抛物线 y2 16x 的准线交于 A ，B 两 点，|AB| 4 3，则 C的实轴长为（ ） 2 y2 1与椭圆 x2 y2 1 （a 0，m b 0）的离心率互为倒数，那么以 a b m b a ，b， m 为边长的三角形是 （ ） A 锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等边三角形 答案： C 23已知点 A（ 1，0） ，B（1，0）及抛物线 y2 2x ，若抛物线上点 P满足 PA mPB ，则m的

13、最大值为（ ） A3B 2C 3D 2 【答案】 C x2 y23 24设 F1，F2 是椭圆 E : x2 y2 1（a b 0）的左、右焦点， P 为直线 x 3 a上一点， F2PF1 a b2 是底角为 30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（ ） 4 D 34 C 12 25等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在 B 2 2 C 4D 8 答案： C 26已知直线 l过抛物线 C的焦点，且与 C的对称轴垂直， l 与 C 交于 A，B 两点， |AB| 12， P为 C准线上一点，则 ABP的面积为（ ） A 18B 24 C36 答案： C 27中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的

14、一条渐近线经过点 D48 （4， 2） ，则它的离心率为 （） A 6 B 5 C D 答案： D 22 28椭圆 ax2 by2 1 与直线 A. 23 B. 2 3 C. 93 23 D. 27 y 1 x交于A，B两点，过原点与线段 AB中点的直线的斜率 则 a 的值为（ b 答案】A 解 析 】 设 A(x1，y1)，B(x2，y2) ,AB 的中 点 M（x0，y0） ，代入椭圆方程作差整 理后得 y2 y1 a x 1 x 2 x2 x1 b y1 y 2 a 2x 0 a 1 1 ， a 3 b 2y 0 b 3 b2 22 29若椭圆 x y 1（m 0，n 0） 与曲线 m

15、x2 y2 |m n |无焦点，则椭圆的离心率e的取 值范围是（ A(23 ，1) B (0， 23) C D (0 ， 22) 答案： D 22 30已知 F1 ，F2分别是椭圆 4 x y3 1的左、右焦点， A是椭圆上一动点，圆 C与 F1A的延 3 长线、 F1F2的延长线以及线段 AF2相切，若 M （t，0） 为一个切点，则（ A t 2 答案： A B t 2 C t 2 Dt 与2的大小关系不确定 31如图，过抛物线 y2 2px（p 0） 的焦点 F的直线 l交抛物线于点 A，B ，交其准线于点 C， 若|BC| 2| BF |，且 |AF | 3，则此抛物线方程为（ A y

16、2 9x B y2 6x C y2 3x D y2 3x 解析】 分别过点 ） A，B作准线的垂线，垂足为 E ，D ，因为 |BC| 2| BF |， 所以由抛物线的定义可知 BCD 30 ，|AE| |AF| 3，所以 |AC| 6， 1 3 2 即F为AC的中点，所以 p 21|EA| 23 ，故抛物线的方程为 y2 3x ，故选： C 32已知椭圆 x y2 1的焦点为 F1、F2 ，在长轴 A1A2上任取一点 M，过 M 作垂直于 A1A2 的 4 直线交椭圆于 A 2 3 B 2 6 3 C 1 2 D 6 3 33以 O 为中心， F1 ，F2为两个焦点的椭圆上存在一点 M，满足

17、 |MF1| 2|MO| 2|MF2|， 则该椭圆的离心率为（ A 3 3 B 2 3 ) C 6D 2 5 35 P，则使得 PF1 PF2 0 的 M 点的概率为（ D ） 解析】过 M 作 x轴的的垂线，交 x轴于 N 点，则 N点坐标为 （c，0）， 2 并设 |MF1| 2|MO| 2|MF2| 2t ，根据勾股定理可知， 2 2 2 6 3t c 6 | MF1 |2 | NF1 |2 |MF2|2 | NF2 |，得到 c t，而a ，则e ，故选： C 2 2 a 3 34 已知点 F1 ，F2 是椭圆 2 2y2 2 的两个焦点，点 P 是该椭圆上的一个动点，那么 |PF1

18、PF2 |的最小值是 A 2 2 B2 C1 D0 解析】由 x2 2y2 2，即 x y2 1，可得 F1（ 1，0），F2（1，0），设P（x，y）（x 2， 2 ） 2 则 PF1 PF2 ( 1 x， y) (1 x， y) ( 2x， 2y) x2 所以， |PF1 PF2 |= 4x2 4y2 4x2 4(1 x )2x2 4 当且仅当 x 0时，|PF1 PF2 |取得最小值 2故选： B 2 35在抛物线 y x2 ax 5（a 0） 上取横坐标为 x1 4，x2 2 的两点，过这两点引一条割 线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆 5x2 5y2 36 相切，则抛物线的

19、顶 点坐标为（ ） A（ 2， 9）B （0， 5） C (2 ， 9) D (1， 6) 解析】令抛物线上横坐标为 x1 4，x2 2的点为 A（ 4，11 4a） ， B（2 ，2a 1）， 则 kAB (11 4a) (2a 1) 12 6a a 2 ，则切线方程可设为 y (a 2)x b 6 42 y x2 ax 5 y x ax 5 消去 y得 x2 2x 5 b 0 ，由 4 4(5 b) 0解的 b 6 y (a 2)x b 所以切线为 （a 2）x y 6 0又因为该直线与圆 5x2 5y2 36 相切， 可得 2 （a 2）2 1 5，解得 a 4或 a 0（舍去）， 则抛

20、物线方程为 22 y x2 4x 5 （x 2）2 9 ，顶点坐标为 （ 2， 9） ，故选： A 22 36若点 O和点 F 分别为椭圆 xy3 1的中心和左焦点，点 P为椭圆上的任意一点，则 OP FP 的最大值为（ A2 B 3C6 D8 解析】由题意， F（ 1，0） ，设点 P（x0， 因为 FP （x0 1，y0 ） ，OP （x0 ， 2 22 y0） ，则有 x y 1 ，截得 y0 3（1 x ） 4 34 y0） ，所以 OP FPx0（x01） y02x0 x03 0 0 040 此二次函数的对称轴为 x0 2 ， 因为 2 x0 2， 所以当 x0 2时， OP FP

21、取得最大值 6 ， 故选： C 37直线 3x 4y 4 0与抛物线 x2 4y 和 圆 x2 （y 1）2 1从左到 右的交 点依次为 A，B， C， D， A16 B 则 | AB| 的值为（ |CD| 1 16 C4 O， A，C 分别是双曲线虚轴的上、下端点， B 是双曲 解析】设双曲线方程为 22 xy 2 2 1（a 0，b 0） ， ab 答案： B 38如图，双曲线的中心在坐标原点 线的左顶点， F 是双曲线的左焦点， 直线 AB与 FC相交于点 D 若双曲线的离心率为 2， 则 BDF 的余弦是（ ） 7 A 7 B 57 7 C 7 14 D 57 14 所以离心率 e c

22、 2 ，所以 c 2a ，b c2 a2 3a a A（0 ， 3a），C（0 ， 3a），B（ a ，0） ，F（ 2a ，0） ， 所以 BA （a， 3a），CF （ 2a， 3a） a 7 故选： C 所以 cos BDF cos BA ，CFBA CF |BA| |CF | 2a 7a 14 22 39设双曲线 C : 2 2 1（a 0，b 0） 的左、右焦点分别为 F1，F2 ，若在双曲线的右支上 ab A （1，2 B （ 2，2C （ 2，2） D （1，2） 存在一点 P，使得 |PF1| 3|PF2 |，则双曲线 C的离心率 e的取值范围为（ 22 x4 y3 1上的一个

23、动 l 的取值范围为 （） 解析】由双曲线定义知 |PF1| |PF2 | 2a，所以 |PF1| 3a，|PF2| a c 因为| PF1 | |PF2 | F1F2 | ，即4a 2c ，所以e 2 ，又因为 e 1，故选： A a 40已知 A（ x1 ，y1）是抛物线 y2 4x上的一个动点， B（x2，y2） 是椭圆 点，N （1，0）是一个定点，若AB x轴，且x1 x2 ，则NAB的周长 A（130，5） B（83，4） C （130 ，4） D（131，5） 22 y 4x x 解析】由 x2 y2 解得 3 ， x y 1 2 6 4 3 y 3 2 由 AB x 轴，且 x

24、1 x2 ，得x2 2 ， 3 |AB| x2 x1 2 又由 N （1，0） 是抛物线 y2 4x 的焦点，得 | AN | x1 1 ， 而|BN | （x2 1）2 y22（x2 1）2 3（1 x42） 2 12x2 1 故 NAB 的周长 l |AN | |AB| |BN | 3 1 x2 ， 又 2 x2 2 ，于是 10 l 4 3 2 3 3 22 41设双曲线 x2 y2 1（a 0，b 0）的离心率 e 2，右焦点 F（c，0） ，方程 ax2 bx c 0 ab 的两个根分别为 x1， x2 ，则点 P（x1 ，x2） 在（ A圆 x2 y2 10 内 B圆 x2 y2

25、10 上 C圆 x2 y2 10 外 D以上三种情况都有可能 bc （x1 x2）2 2x1x2 （ b）2 2c 解析】因为 x12 x22 b2 2ac 2 aaa c 又因为 e c 2 ，a a b2 c2，所以 c 2a ，b3a 2 2 2 可得 x12 x22 (x1 x2)2 2x1x2 7 10 ，故选： A 2 42过双曲线 x2 a P， 交 y 轴于点 2 y2 1(a b 若 M 为线段 FP 的中点 , 则双曲线的离心率是( 22 0，b 0)的右焦点 F 作圆 x2 y2 a 的切线 FM 切点为 M)， C2 答案： A 43若双曲线 线的中心) x2 a2 b

26、 的对称点在 2 y22 1 (a 0,b 0) 上不存在点 P 使得右焦点 y 轴上 , 则该双曲线离心率的取值范围为( F 关于直线 OP(O 为双曲 A ( 2, ) B 2, ) C (1, 2 D (1, 2) 答案： C 44已知以椭圆 2 x 2 a 2 y2 b2 1(a b 0)的右焦点 F为圆心， a 为半径的圆与椭圆的右准线 交于不同的两点，则该椭圆的离心率的取值范围是( A (0， B 31 ( 32 1 ，1) ，1) 答案： C 22 45椭圆 C1: x4 y3 1的左准线 l ，左右焦点分别为 F1 F2，抛物线 D C2 点是 F2，C1与 C2 的一个交点为

27、 4 A 3 答案： B P，则 |PF2|的值等于( 46已知 角形 8 B 3 C4 D8 F1、F2 是双曲线 2 x 2 a 2 y b2 1(a0，b 0)的两焦点， 以线段 F1F2 为边作正三 MF1F2，若边 MF1 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 A4+2 3 3 +1 3 1 31 2 答案： B 47已知双 2 曲线 x2 a2 2 y b2 1(a 0,b 0) 的左顶点、右焦点分别为 A、 F， 点 B ( 0，b)，若 BA BF BA BF ，则该双曲线离心率 e 的值为( A 31 2 B 51 2 C 5 答案： B 22 48直线 l 是双曲线 x2

28、y2 1(a 0,b 0) 的右准线，以原点 O 为圆心且过双曲线焦点 a2 b2 的圆被直线 l 分成弧长为 2:1 的两段，则双曲线的离心率为 ( ) A 5B 3CD 2 2 答案： D 22 49从双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0)的左焦点 F 引圆 x2 y2 a2的切线，切点为 T ， ab 延 长 FT 交 双 曲 线 右 支 于 P 点 ， 若 M 为 线 段 FP 的 中 点 ， O 为 坐 标 原 点 ， 则 MO MT 与 b a 的大小关系为 A MO MT b aB MO MT b a C MO MT b aD不确定 答案： B 22 50点 P为双曲线 C1：

29、x2 y2 1a 0,b 0 和圆 C2：x2 y2 a2 b 2的一个交点， ab 且 2 PF1F2PF2 F1 ，其中 F1, F2为双曲线 C1的两个焦点， 则双曲线 C1的离心率为 ( ) A 3B1 2C 3 1D 2 答案： C 51 设 圆锥 曲 线 r 的 两个 焦 点 分别 为 F1，F2 ， 若 曲 线 r 上 存 在 点 P 满 足 PF1 : F 1F 2: PF =24:3:2 ，则曲线 r 的离心率等于 22 解析】当曲线为椭圆时 2 B 或 2 3 eF1F2 e PF1 PF2 2 31 4 2 2 当曲线为双曲线时 F1F2 e PF1 PF2 33 3 3

30、 ，答案选 A 4 2 2 22 52已知点 P 为双曲线 x2 y2 1(a 0，b 0) 右支上一点， F1 ，F2分别为双曲线的左、右 a2 b2 交点， I为PF2F2的内心，若 SIPF1 S IPF2SIF1F2 成立，则 的值为( ) 22 A a2 b2 2a B a2a b2 C b a D ab 答案： B 二、填空题： 22 F1 的直线交椭圆于 A ，B 两点若 53已知 F1，F2 为椭圆 2x5 y9 1的两个焦点，过 |F2A| |F2B| 12，则 |AB| 解析】由椭圆定义可知： |F1A| |F2A| 2a 10 ，| F1B | |F2B| 2a 10，

31、所以 | AB| |F1A| |F1B| 20 |F2A| |F2B| 8 54中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 解析】设椭圆方程为 22 xy 2 2 1(a b 0) ， ab 1 4，离心率为 1 的椭圆的方程为 2 2a 4 由题意得 c 1 a2 a2 ，解得 a 2 ， c1 则 b2 a2 2 x 3，故椭圆方程为 x1 43 55 9已知双曲线 2 2y x 1 的一条渐近线与直线 x 2y 3 0 垂直，则 a a 答案： 4 22 xy 56已知 P为椭圆1上的点， F1，F2是椭圆的两个焦点， 且 F1PF2 60 ，则F1PF2 94 的面积是 解析】由 SF1

32、PF2 b tan30 3 2222 57已知双曲线 x2 y2 1（a 0，b 0） 和椭圆 x y 1有相同的焦点， 且双曲线的离心率 a2 b216 9 是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 解析】焦点 （ 7 ，0） ，即 c 7，e 2 77 4 222 ，所以 a 2 ，b2 c2 a2 3 2 22 所以双曲线方程为 x y 1 43 22 58若双曲线 x2 y2 a2 b2 恰为该椭圆的焦点，则双曲线的离心率为 2 1（a 0，b 0） 的一条渐近线与椭圆 x4 y3 1的焦点在 x轴上的射影 2 解析】由题意可知渐近线方程为 y b x 3 x ，所以可知 b2 9 ， a

33、 2 a 4 所以双曲线的离心率 e ca a b a 1 b22 13 a2 2 a 22 2b2 b2 故| PF1| |PF2 | aa 所以该双曲线的渐近线方程为 y 2x 22 59已知双曲线 x2 y2 1（a 0，b 0） 的左、右焦点分别为 F1 ，F2 ，过点 F2 做与 x 轴垂直 ab 的直线与双曲线一个焦点 P ，且 PF1F2 30 ，则双曲线的渐近线方程为 2 2 2 解析】根据已知得点 P(c， b2)，则 |PF2| b ，又 PF1F2 30 ，则 |PF1| 2b aa b2b 2a ，所以 2 2 ， 2 ， aa 22 60已知 F1、F2分别为椭圆 2

34、x5 y9 1的左、右焦点， P 为椭圆上一点， Q是 y轴上的一个 动点，若 |PF1 | |PF2 | 4，则 PQ (PF1 PF2) 答案： 20 2 2 2 61已知圆 C:x2 y2 6x 8y 21 0，抛物线 y2 8x 的准线为 l ，设抛物线上任意一点 P 到直线 l 的距离为 m ，则 m | PC| 的最小值为 答案： 41 22 62设双曲线 x y 1 的右顶点为 A ，右焦点为 F 过点 F 平行双曲线的一条渐近线的 9 16 直线与双曲线交于点 B ，则 AFB 的面积为 22 【解析】双曲线 x y 1的右焦点 A（3 ，0） ，右焦点 F （5，0） ，过点

35、 F 平行双曲线的一条渐 9 16 44173232 近线 y4x的直线y4（x5）与双曲线交于点B（17，32） ， AFB的面积为32 335515 2 63已知直线 l1 :4x 3y 6 0和直线 l2 :x 0，抛物线 y2 的距离之和的最小值是 解析】由抛物线定义知 |PD| |PF | 1， 则|PD| |PQ| |PQ| |PF | 1， 故当Q ，P，F三点共线时， |PQ| |PF |最小， 所以|PD| |PQ| |4 1 23 02 6| 1 1 32 42 三、解答题： 22 64已知椭圆 C:x2 y2 1（a b 0）的两个焦点为 F1 ，F2 ，点P在椭圆 C上

36、，且PF1 PF2， ab 4 14 |PF1| 34 ，|PF2| 134 ）求椭圆 C 的方程； ）若直线 l过点 M （ 2，1） ，交椭圆 C于 A，B两点，且点 M恰是线段 AB的中点，求直 线l 的方程 解：（）因为点 P在椭圆 C上，所以 2a |PF1 | | PF2| 6，a 3 在 RtPF1F2中， |F1F2 | | PF2 |2 |PF1 |2 2 5 故椭圆的半焦距 c 5 ，从而 b2 a2 c2 4 22 所以椭圆 C 的方程为 x y 1 94 ）解法一：设 A，B 两点的坐标分别为 （ x1 ，y1） ，（ x2 ，y2 ） 若直线 l 斜率不存在，显然不和

37、题意 从而可设过点 M （ 2，1）的直线 l 的方程为 y k （x 2） 1， 将直线 l 的方程代入椭圆 C 的方程得， 2 2 2 2 （4 9k2） x2 （36k2 18k）x 36k2 36k 27 0 22 所以 x1 36k2 18k 36k 2 36k 27 x22 ，x1 x2 2 4 9k 2 2 4 9k 21 2 又因为点 M 是线段 AB 的中点， 2 2 4 9k 所以 x1 x2 18k2 92k 2 2 y 8 (x 2) 1 9 8 解得 k 8 ，所以直线 l 的方程为 9 即 8x 9y 25 0 （经检验，所求直线方程符合题意） 解法二：设 A，B

38、两点的坐标分别为 （ x1 ，y1） ，（ x2 ，y2 ） 22 由题意知 x1 x2 ，且 x1 y1 1 94 22 x22 y22 1 94 由 得 y1y24 x1x28，即直线 l 的斜率k 8 x1x29 y1y29 9 8 又直线 l 过点 M（ 2，1），所以直线 l的方程为 y 1 8（x 2），即 8x 9y 25 0 9 2 65已知抛物线 C:y2 2px（p 0）过点 A（1， 2） （）求抛物线 C 的方程，并求其准线方程； （）是否存在平行于 OA（ O为坐标原点）的直线 l ，使得直线 l 与抛物线 C 有公共点，且 直线 OA与L的距离等于 5 ？若存在，求

39、直线 l的方程；若不存在，请说明理由 5 解：（）将 A（1， 2）代入 y2 2px，得 （ 2）2 2p ，解得 p 2， 故所求抛物线方程为 y2 4x ，其准线方程为 x 1 ）假设存在符合题意的直线 l ，设其方程方程为 y 2x t ， y 2x t 2 由 2，得 y2 2 y 2t 0， y2 4x 因为直线与抛物线有公共点，所以 4 8t0，得 t 1 2 又两平行线的距离 d |t | 5 ，解得 t 1，舍去 t 1 ， 55 所以符合题意的直线 l 存在，其方程为 2x y 1 0 2 66已知抛物线 x2 2py（p 0） （）已知 P点为抛物线上的动点，点 P在x轴

40、上的射影是点 M，点 A的坐标是 （4， 2）， 且 | PA | | PM | 的最小值是 4 AO ，BO 并延长分别交抛 （）求抛物线的方程； （）设抛物线的准线与 y轴的交点为点 E，过点 E作抛物线的切线， 求此切线方程； （）设过抛物线焦点 F 的动直线 l 交抛物线于 A，B 两点，连接 物线的准线于 C，D 两点，求证：以 CD为直径的圆过焦点 解：（）（）如图，有抛物线定义可知 |PM | |PF | p， 2 所以 | PA | |PM | | PA| |PF | p| AF | p 22 因为 A 在抛物线外，且当 P，A，F 三点共线时， |PA| |PM |取得最小值

41、，所以此时 |AF | p 4 2 因为 A（4， 2）， F（0，p），所以 42 （ p 2）2 p 4，所以 p 2 故抛物线的方程为 x2 4 y （）由（）知，抛物线焦点为F （0，1） ，抛物线准线与 y 轴交点为 E（0， 1） 显然过点 E 的抛物线的切线的斜率存在，设为k，则切线方程为 y kx 1 x 4 y2 2 由，消去 y得， x2 4kx 4 0 ，由 16 k2 16 0 ，解得 k 1 y kx 1 所以，切线方程为 y x 1 ）由题意知，直线 l 的斜率显然存在，设直线 l 的方程为 y k0 x p ， 2 设 A（x1，y1），B（x2，y2） x2 2

42、 py 由 p ，消去 y得， x2 2pk0y p2 0，且4 p 2k02 4p2 0 y k0 x 02 所以 x1 x2 2 pk0 ，x1 x2p2 因为 A（ x1 ，y1） ，所以直线 OA的方程为 y y1 与 yp 联立可得 C（ px1 ， p） x1x2 2 y12 同理可得 D（ px2， p） 2 y22 因为，焦点 F(0，p)，所以 FC ( px1， p)， FD ( px2， p) 22y12 y2 44 2 p 2 p 2 2 p p 2 p 0 x2x1x2p 2y1 所以， FC FD px1 px2 p2 p2x1x2 p2 2y1 2 y24 y1y

43、2 2 p x1x2 2 x1 4 2 p 2 p 所以，以 CD 为直径的圆过焦点 F 22 xy 67如图所示，已知椭圆 C : 2 2 1（a b 0） ， ab A1，A2分别为椭圆 C 的左、右顶点 ）设 F1 ，F2分别为椭圆 C 的左、右焦点，证明：当且仅当椭圆C 上的点 P在椭圆的左、 右顶点时， |PF1| 取得最小值与最大值； ）若椭圆 C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为 1，求椭圆 C 的标准方程； ）若直线 l :y kx m与（）中所述椭圆 C相交于 A，B两点（ A，B不是左、右顶点）， 且满足 AA2 BA2 ，证明：直线 l 过定点，并求出该定点的坐标

44、解：（）设点 P 的坐标为 （x，y） ，令 f（x） |PF1|2 （x c）2 y2 22 又点 P 在椭圆 C 上，故满足 x 2 y2 1，则 y ab 代入 f (x) ，得 f ( x) (x c) b b2 x a y P A1F1O x F2A2 x 2 2 2 b 2 b 2 x a 2 则其对称轴方程为 x a ，由题意，知 c 所以 f （x） 在区间 a，a 上单调递增 2 c 2 2 2 x 2cx a a 2 aa 恒成立， c 所以当且仅当椭圆 C 上的点 P 在椭圆的左、右顶点时 |PF1 |取得最小值与最大值 ）由已知与（ 1），得 a c 3 ， a c 1 ，所以 a 2，c 1 所以 b2 a2 c2 3 22 所以椭圆 C 的标准方程为 x y 1 43 ）如图所示，设 A（x1，y1）、 B（x2 ，y2）， y kx m 联立 x2 y2 ，得 (3 4k2 )x2 8mkx 4(m 4 3 1 则64m2k2 16(3 4k2)(m2 3) 0即 3 4k2 2 8km4( m2 3) x1 x2 2 ，x1x2 2 123 4k2 1 2 3 4k 2 3(m 4k ) 3 4k 2 22 又 y1y2 (kx1 m)(kx2 m