分类加法计数原理知识整理教师

1、 第十章 计数原理与概率 第一节 分类加法计数原理和 分步乘法计数原理 知识回顾 两个计数原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条 件 完成一件事，可以有 .在第一类办法中有 m1 种方法，在第二类办法 中有 m2 种方法 , ,在第 n 类办法中有 mn 种方法 完成一件事需要经过 ，缺一不可，做第一 步有 m1 种方法，做第二步 有 m2 种方法 ,做第 n 步有 mn 种方法 结 论 完成这件事共有 N= 种方法 完成这件事共有 N= 种方法 依 据 能否 完成整个事件 能否完成整个事件 分度，分的国度 Tel思考辨析： 判断下面结论是否正确 (请在括号中

2、打“”或“” ). (1) 在分类加法计数原理中，每类不同办法中的方法可以相同.( ) (2) 在分类加法计数原理中，每类办法中的方法都能直接完成这件事.( ) (3) 如果完成一件事情有 n 类不同办法，在每一类中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3, ,n), 那么完成这件事共有 m1+m2+m3+ +mn 种方法 .() (4) 在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的.( ) (5) 在分步乘法计数原理中，事情如果是分两步完成的，则其中任何一个单独的步骤都不能完成这件事，只有 两个步骤都完成后，这件事情才算完成 .( ) (6) 如果完成一件事情有 n 个不同

3、步骤，在每一步中都有若干种不同的方法mi(i=1,2,3, ,n),那么完成这件事共 有 m1m2m3 mn 种方法 .() 【解析】 (1)错误.在分类加法计数原理中，每类不同办法中的方法互不相同，即第一类办法中的m1 种方法和 第二类办法中的 m2 种方法没有相同的 . (2) 正确 .在分类加法计数原理中，每类办法中的每一种方法都能完成这件事. (3) 正确 .这是分类加法计数原理的推广 . (4) 正确 .在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法如果相同，则可认为是相同的步骤 (5) 正确 . 在分步乘法计数原理中，如果事情是分两步完成的，则它的任何一个单独的步骤都不能完成这

4、件事 . (6) 正确 .这是分步乘法计数原理的推广 . 答案： (1) (2) (3) (4) (5) (6) 考点练习： 1从 10 名任课教师， 50名同学中，选 1 人参加元旦文艺演出，共有选法种数为( ) (A)50 (B)10 (C)60 (D)500 【解析】选 C.分类完成此事，一类是选教师，有10 种选法，另一类是选学生，有 50 种选法，由分类加法计 数原理可知，共有 10+50=60 种选法 . 2某城市的电话号码，由六位升为七位(首位数字均不为零 )，则该城市可增加的电话部数是 ( ) (A)9 876543(B)8 96(C)9 106(D)81 105 【解析】选

5、D. 电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9105 部，同理升为七位时，可安装电话9 106 分度，分的国度 Tel部，所以可增加的电话部数是 9106-9105=81 105 3.从 3名女同学和 2 名男同学中选 1人主持本班的某次主题班会，则不同的选法有 种. 【解析】分类完成此事，如果选女生，有 3 种选法；如果选男生，有 2 种选法 .由分类加法计数原理可知，共 有 3+2=5 种选法 . 答案： 5 4将 4 封信投入 3 个邮箱，有 种不同的投法，将 3 封信投入 4 个邮箱，有 种不同的投法 . 【解析】分四步：每一封信都有 3 种不同的投法，由分

6、步乘法计数原理，共有3 33381(种)；分三步： 每一封信都有 4 种不同的投法，由分步乘法计数原理，共有 43=64( 种 ). 答案： 81 64 5已知集合 M=1 ，-2,3 ，N= 4,5,6 ， 7 ，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标(一个为横坐标，一 个为纵坐标 )，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第一、二象限内不同的点的个数是 . 【解析】令 M 中的元素作为点的横坐标， N 中的元素作为点的纵坐标，在第一象限的点共有22 个，在第 二象限的点共有 1 2 个令 N 中的元素作为点的横坐标， M 中的元素作为点的纵坐标，在第一象限的点共 有 22 个，在第二象限的点共有

7、22 个故所求不同的点的个数是 2 2122222 14 答案： 14 考向 1 分类加法计数原理 【典例 1】 (1)若 x，yN*,且 x+y 6,则有序自然数对 (x,y)共有 个. (2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数为 . 【思路点拨】 (1)根据题意，用列举法分别求得当 x=1,2,3,4,5 时， y 值的数目情况，进而由分类加法计数原理， 计算可得答案 . (2)对十位数字进行分类或对个位数字进行分类. 【规范解答】 (1)当 x=1时， y可取的值为 5,4,3,2,1,共 5个； 当 x=2 时， y 可取的值为 4，3，2，1，共 4 个； 当 x=

8、3 时， y 可取的值为 3， 2， 1，共 3 个； 当 x=4 时， y 可取的值为 2， 1，共 2 个； 当 x=5 时， y 可取的值为 1，共 1 个； 即当 x=1,2,3,4,5 时， y值依次有 5，4，3，2，1 个， 由分类加法计数原理，得不同的数对 (x,y) 共有 5+4+3+2+1=15( 个). 分度，分的国度 Tel答案： 15 (2)方法一：根据题意，将十位上的数字按1，2，3， 4，5，6，7，8 的情况分成 8 类，在每一类中满足题目 条件的两位数分别是 8个，7个，6 个，5个，4个，3 个，2个，1 个.由分类加法计数原理知

9、，符合条件的两 位数共有 8+7+6+5+4+3+2+1=36( 个 ). 故共有 36 个 . 方法二：分析个位数字，可分以下几类： 个位是 9，则十位可以是 1， 2， 3， 8中的一个，故共有 8个； 个位是 8，则十位可以是 1， 2， 3， 7 中的一个，故共有 7个； 同理个位是 7 的有 6 个； 个位是 2 的有 1 个. 由分类加法计数原理知，符合条件的两位数共有8+7+6+5+4+3+2+1=36( 个 ).故共有 36 个 . 答案： 36 【互动探究】本例题 (2) 中条件不变，求个位数字小于十位数字的两位数且为偶数的个数. 【解析】当个位数字是 8 时，十位数字取 9

10、，只有 1 个. 当个位数字是 6 时， 十位数字可取 7，8，9， 共3个 当个位数字是 4 时， 十位数字可取 5,6,7,8,9， 共5个 同理可知， 当个位数字是 2 时， 共 7 个， 当个位数字是 0 时， 共 9 个. 由分类加法计数原理知，符合条件的数共有1+3+5+7+9=25( 个 ). 【拓展提升】 1.分类加法计数原理的特点 (1)根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准. (2)完成这件事的任何一种方法必须属于某一类. 2.使用分类加法计数原理遵循的原则 有时分类的划分标准有多个，但不论是以哪一个为标准，都应遵循“标准要明确，不重不漏”的原则 分度，分的国度 Tel

11、变式备选】某同学有同样的画册 2本，同样的集邮册 3本，从中取出 4 本赠送给 4 位朋友，每位朋友 1本， 则不同的赠送方法共有 ( ) (A)4 种 (B)10 种 (C)18 种 (D)20 种 【解析】选 B依题意，就所剩余的一本进行分类计数：第一 类，剩余的是一本画册，此时满足题意的赠送方法共有 4 种； 第二类，剩余的是一本集邮册，此时满足题意的赠送方法共有 6(种)因此，满足题意的赠送方法共有 4610(种 ) 考向 2 分步乘法计数原理 【典例 2】(1)(2013 南昌模拟 )如图，在 A,B 间有四个焊接点，若焊接点脱落，则可能导致电路不通，如今

12、 发现 A，B 之间线路不通，则焊接点脱落的不同情况有( ) (A)10 种 (B)12 种 (C)13 种 (D)15 种 (2)用 5 种不同的颜色给图中 A,B,C,D 四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，求共 有多少种不同的涂色方法？ 【思路点拨】 (1)根据题意，用排除法，首先由分步计数原理计算可得 A，B 间的 4 个焊接点脱落与否的情况 总数目，进而由电路知识分析当A， B 之间线路通畅时的情况数目；由总数目减去通畅的情况数目即可得答 案. (2)逐步给 A,B,C,D 四个区域涂色即可 . 【规范解答】 (1)选 C.根据题意，在 A，B 间有四个焊接点，

13、每个焊接点脱落与否有2种情况，则 A，B 间的 4 个焊接点，共有 2222=16 种情况， 其中 A，B 之间线路通畅时，有 1，2，3，4全部没有脱落，只有 2脱落，只有 3脱落，共 3种情况， 则 A， B之间线路不通的焊接点脱落的不同情况有16-3=13种情况 ,故选 C. (2)分 4 步：涂 A 有 5 种方法； 涂 B 有种方法；涂 C 有 3 种方法； 涂 D 有 3 种方法 (D 与 A 可以同色 ). 分度，分的国度 Tel由分步乘法计数原理得，共有 543 3=180(种). 【拓展提升】使用分步乘法计数原理的关注点 (1)明确题目中的“完成这

14、件事”是什么，确定完成这件事需要几个步骤，且每步都是独立的. (2)将完成这件事划分成几个步骤来完成，各步骤之间有一定的连续性，只有当全部步骤完成了，整个事件才 算完成，这是分步的基础，也是关键.从计数上来看，各步的方法数的积就是完成事件的方法总数. 【提醒】解决分步问题时一定要合理设计步骤、顺序，使各步互不干扰、互不影响，还要注意元素是否可以 重复选取 . 【变式训练】用 1，2，3 三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻出现， 这样的四位数有 ( ) (A)6 个 (B)9 个 (C)18 个 (D)36 个 【解析】选 C.由题意知， 1，2，3中必有某一个

15、数字重复使用 2次.第一步确定谁被使用 2 次，有 3种方法； 第二步把这 2 个相等的数放在四位数不相邻的两个位置上，也有3 种方法；第三步将余下的 2 个数放在四位 数余下的 2 个位置上，有 2 种方法，故共可组成 33 2=18 个不同的四位数 . 考向 3 两个计数原理的综合应用 【典例 3】(1)(2013合肥模拟 )如果一个三位正整数如 “ a1a2a3”满足 a1a3，则称这样的三位数为凸数 (如 120, 343,275 等 )，那么所有凸数的个数为 ( ) (A)240 (B)204 (C)729 (D)920 (2)用 5 种不同的颜色给图中所给出的四个区 域涂色，每个区

16、域涂一种颜色，若要求相邻 (有公共边 ) 的区域不同色，那么共有 种不同的涂色方法 . 分度，分的国度 Tel思路点拨】 （1） 由于中间数最大， 可先按中间数进行分类， 再按两边的数分步进行解答 .（2） 本题是解决涂色问 题，要明确涂色要求，严格区分是“分类”还是“分步” 【规范解答】 （1）选 A.分 8 类，当中间数为 2 时，有 122（个）； 当中间数为 3 时，有 23 6（个 ）； 当中间数为 4 时，有 3412（个 ）； 当中间数为 5 时，有 4520（个 ）； 当中间数为 6 时，有 5630（个 ）； 当中间数为 7 时，有 6742（个

17、）； 当中间数为 8 时，有 7856（个 ）； 当中间数为 9 时，有 8972（个 ） 故共有 2 612 2030425672 （2）完成该件事可分步进行 . 涂区域 1，有 5 种颜色可选 . 涂区域 2，有 4 种颜色可选 . 涂区域 3，可先分类：若区域 3 的颜色与 2 相同，则区域 4 有 4 种颜色可选 .若区域 3 的颜色与 2 不同，则区 域 3有 3种颜色可选，此时区域 4有 3种颜色可选 .所以共有 54（14+33）= 260（种 ）涂色方法 . 答案： 260 拓展提升】 1.两个计数原理的区别 原理 区别 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 每类办法都能独立完成

18、 每一步得到的只是中间结果， 这件事 .它是独立的、 一次 任何一步都不能独立完成这 区别一 的，且每次得到的是最后 件事，缺少任何一步也不可， 结果，只需一种方法就可 只有各步骤都完成了才能完 完成这件事 成这件事 分度，分的国度 Tel区别二 各类办法之间是互斥的、 并列的、独立的 各步之间是相互依存的， 并且 既不能重复也不能遗漏 2应用两个计数原理的“两个”注意点 (1)注意在应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步在分步时可能又用到分类加法计数原理. (2)注意对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化. 【变

19、式训练】某小组有 10人，每人至少会英语和法语中的一门，其中 8 人会英语， 5 人会法语， (1)从中任选 一个会外语的人，有多少种选法？ (2) 从中选出会英语与会法语的各 1 人，有多少种不同的选法？ 【解析】由于 85=1310，所以 10 人中必有 3 人既会英语又会法语， 5 人只会英语， 2 人只会法语 (1)可分类完成此事：一类只会英语，一类既会英语也会法语，一类是只会法语，共有5+3+2=10( 种) (2)同样分 3类，共有 N=525323=31(种)方法 . 【创新体验】新定义问题 【典例】 (2012湖北高考 )回文数是指从左到右与从右到左读都一样的正整数,如 22，

20、121,3 443,94 249 等.显 然 2位回文数有 9 个： 11,22,33,， 99.3位回文数有 90个： 101,111,121， ， 191,202， 999.则 (1)4 位回文数有 个； (2)2n1(nN+)位回文数有 个 . 【思路点拨】 找准 创新点 回文数的定义：从左到右与从右到左读都一样的正整数 寻找 突破口 (1)根据回文数的定义得出什么数是回文数 (2)如何得到 4 位回文数，可转化为填 4 个并列的方格 (3)由 2 位、 3 位、 4 位回文数归纳得出 2n+1 位回文数的 求法及个数 【规范解答】 (1)4 位回文数相当于填 4 个方格 ,首尾相同 ,

21、且不为 0,共 9 种填法 ,中间两位一样 ,有 10 种填法 ,共 计 910=90(种)填法，即 4 位回文数有 90个. 分度，分的国度 Tel(2)根据回文数的定义 ,此问题也可以转化成填方格 . 结合计数原理知有 910n种填法 . 答案： (1)90 (2)9 10n 高考模拟 1. (2013蚌埠模拟 )体育场南侧有 4 个大门，北侧有 3个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案 有 () (A)12 种 (B)7 种 (C)24 种 (D)49 种 【解析】选 D.学生进门有 7 种选择，同样出门也有 7 种选择，由分步乘法计数原理，该学生的

22、进出门方案有 77 49(种)，所以应选 D 2. (2012 陕西高考 )两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输 赢局次的不同视为不同情形 )共有 () (A)10 种 (B)15 种 (C)20 种 (D)30 种 【解析】选 C.由题意知，比赛场数最少为 3 场，至多为 5 场.当比赛场数为 3场时，情形为甲或乙连赢 3 场， 共 2种；当比赛场数为 4场时，若甲赢，则前 3 场中甲赢 2 场，最后一场甲赢，共有 =3(种)情形；同理， 若乙赢，则也有 3 种情形，所以共有 6 种情形；当比赛场数为 5 场时，前 4 场，甲乙双方各赢 2 场，最

23、后一场胜出的人赢，所以共有 2 =12(种 )，综上可知，共有 2+6+12=20( 种 ).故选 C. 3. (2012 安徽高考 )6 位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交 换的两位同学互赠一份纪念品 .已知 6位同学之间共进行了 13次交换，则收到 4 份纪念品的同学人数为 ( ) (A)1 或 3(B)1 或 4 (C)2 或 3 (D)2 或 4 【解析】选 D. 设 6 位同学分别用 a,b,c,d,e,f 表示 .若任意两位同学之间都进行交换，共进行=15(次)交换， 现共进行了 13 次交换，说明有 2次交换没有发生，此时可能有两种情况：

24、 (1)由 3 人构成的 2 次交换，如 ab 和 ac 之间的交换没有发生，则收到 4 份纪念品的有 b,c 两人 . (2)由 4 人构成的 2 次交换，如 ab 和 ce 之间的交换没有发生，则收到 4份纪念品的有 a,b,c,e四人故选 D. 4(2013滁州模拟 )用数字 2，3组成四位数， 且数字 2，3 至少都出现一次， 这样的四位数共有 个(用 数字作答 ). 【解析】方法一：数字 2， 3至少都出现一次，可以分为 3类，第一类：一个 2三个 3，有 4个；第二类：两 分度，分的国度 Tel个 2两个 3，有 6 个；第三类：三个 2一个 3，有 4个，共有 14个. 方法二：可以考虑四个位置任排，然后减去 答案： 14 5.用 n 种不同的颜色为下列两块广告牌涂色 不用同一颜色 2 222 和 3 333 这两种情况，个数为 24-2=14. (如图甲、乙 )，要求四个区域中相邻 (有公共的边界 )区域 (1)若 n=6，则为甲图涂色的不同方法共有 种 . (2)若为乙图涂色时共有 120 种不同的方法，则 n= 6 544=480(种). 【解析】 (1) 在甲图中对区域按顺序涂色，由分步乘法计数原理得