近代数学的兴起

1、近代数学的兴起近代数学的兴起 主讲人：周思波主讲人：周思波 一、中世纪的欧洲一、中世纪的欧洲 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 时代背景时代背景 z 中世纪前期约从中世纪前期约从400年起到年起到1100年左右为止。数学是这个时年左右为止。数学是这个时 期受到最大排斥的学科之一。期受到最大排斥的学科之一。 y如罗马皇帝狄奥多西的法典就规定：如罗马皇帝狄奥多西的法典就规定：“任何人不得向占卜人与数学任何人不得向占卜人与数学 家请教。家请教。” y6世纪时查士丁尼的法典则更直截了当地称：世纪时查士丁尼的法典则更直截了当地称：“彻底禁止应受到谴彻底禁止应受到谴 责的数学技艺。责的数学技艺。”

2、y奥古斯丁（奥古斯丁（354-430年）说：年）说：“从圣经以外获得的任何知识，如果从圣经以外获得的任何知识，如果 它是有害的，理应加以排斥；如果它是有益的，那它是会包含在圣它是有害的，理应加以排斥；如果它是有益的，那它是会包含在圣 经里的。经里的。” z 这一时期的欧洲在基督教统治下，一切学术思想屈从于宗这一时期的欧洲在基督教统治下，一切学术思想屈从于宗 教教义，当时欧洲的中心学科只剩下与理性格格不入的神教教义，当时欧洲的中心学科只剩下与理性格格不入的神 学，欧洲文明不可避免地裹足不前甚至萎缩倒退。许多史学，欧洲文明不可避免地裹足不前甚至萎缩倒退。许多史 学家称之为欧洲的黑暗时代。学家称之为

3、欧洲的黑暗时代。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 数学的停滞数学的停滞 z博伊西斯（约博伊西斯（约480-524）根据希腊材料选编成）根据希腊材料选编成几何几何、 算术算术被作为欧洲教会学校的标准课本沿用了近千被作为欧洲教会学校的标准课本沿用了近千 年。年。 z中世纪欧洲的大学，仅仅开设算术、几何和主要是包中世纪欧洲的大学，仅仅开设算术、几何和主要是包 括简单计算和迷信十分浓厚的术算（理论算术）。几括简单计算和迷信十分浓厚的术算（理论算术）。几 何差不多仅限于欧几里得的前三卷，连硕士学位考试何差不多仅限于欧几里得的前三卷，连硕士学位考试 所需要的知识也不过如此。在某些大学，所能达到的所

4、需要的知识也不过如此。在某些大学，所能达到的 最高水平也就是非常初等的等腰三角形底角相等定理。最高水平也就是非常初等的等腰三角形底角相等定理。 z总体来说，总体来说，1000多年前，一位学识渊博的欧洲数学家多年前，一位学识渊博的欧洲数学家 所拥有的知识，比今天任何一名中学毕业生要少得多。所拥有的知识，比今天任何一名中学毕业生要少得多。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 欧洲数学的翻译时代欧洲数学的翻译时代 z直到直到12世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏世纪，欧洲数学才出现复苏的迹象。这种复苏 开始由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作的刺激。开始由于受翻译、传播阿拉伯著作和希腊著作

5、的刺激。 y贸易和旅游贸易和旅游 y十字军东征十字军东征 可以说可以说1212世纪是欧洲数学的翻译时代。世纪是欧洲数学的翻译时代。9090多部阿拉伯文著多部阿拉伯文著 翻译成拉丁文，其中包括托勒密的翻译成拉丁文，其中包括托勒密的大成大成、欧几里得的、欧几里得的 原本原本、阿波罗尼奥斯的、阿波罗尼奥斯的圆锥曲线论圆锥曲线论、花拉子米的、花拉子米的 代数学代数学、天文学天文学以及阿基米德的以及阿基米德的圆的度量圆的度量。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 古代学术传播西欧的路线图古代学术传播西欧的路线图 波斯波斯 希腊希腊 印度印度 中国唐汉中国唐汉 中国宋元中国宋元 巴格达巴格达北非北非

6、西西里西西里 西班牙西班牙 西欧西欧 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 斐波那契斐波那契 z 斐波那契是中世纪最具影响力的数学斐波那契是中世纪最具影响力的数学 家。他早年就随其父亲在北非从师阿家。他早年就随其父亲在北非从师阿 拉伯人学习算学，后又游历地中海沿拉伯人学习算学，后又游历地中海沿 岸诸国，回意大利写成岸诸国，回意大利写成算盘书算盘书。 z 算盘书算盘书主要是古代中国、印度和主要是古代中国、印度和 希腊数学著作的内容，包括印度希腊数学著作的内容，包括印度-阿拉阿拉 伯数码，分数算法，开方法，二次和伯数码，分数算法，开方法，二次和 三次方程，不定方程，以及三次方程，不定方程，以及几

7、何原几何原 本本和希腊三角学的大部分内容。特和希腊三角学的大部分内容。特 别是，书中系统介绍了印度数码，影别是，书中系统介绍了印度数码，影 响了欧洲数学面貌。响了欧洲数学面貌。 fibonacci(11701250) 算盘书算盘书可以看作是欧洲数学经历了漫长的黑夜之后可以看作是欧洲数学经历了漫长的黑夜之后 走向复苏的号角走向复苏的号角。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 黎明前的黑暗黎明前的黑暗 z欧洲数学复苏的过程十分曲折，从欧洲数学复苏的过程十分曲折，从12世纪到世纪到15世世 纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希纪中叶，教会中的经院哲学派利用重新传入的希 腊著作中的消极成分来

8、阻抗科学的进步。特别是腊著作中的消极成分来阻抗科学的进步。特别是 他们把亚里士多德、托勒密的一些学术奉为绝对他们把亚里士多德、托勒密的一些学术奉为绝对 正确的教条，妄图用这种新的权威主义来继续束正确的教条，妄图用这种新的权威主义来继续束 缚人们的思想。缚人们的思想。 z欧洲数学真正的复苏，要到欧洲数学真正的复苏，要到15、16世纪。在文艺世纪。在文艺 复兴的高潮中，数学的发展与科学的革新紧密结复兴的高潮中，数学的发展与科学的革新紧密结 合在一起，数学在认识自然和探索真理方面的意合在一起，数学在认识自然和探索真理方面的意 义被文艺复兴的代表人物高度强调。义被文艺复兴的代表人物高度强调。 二、向近

9、代数学的过渡二、向近代数学的过渡 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 代数学的进步代数学的进步 z欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的，欧洲人在数学上的推进是从代数学开始的， 它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远它是文艺复兴时期成果最突出、影响最深远 的领域，拉开了近代数学的序幕。的领域，拉开了近代数学的序幕。 z代数学上有两个伟大的进步：一是得到了一代数学上有两个伟大的进步：一是得到了一 般三次方程和四次方程的解；二是发明了现般三次方程和四次方程的解；二是发明了现 代符号体系，即用字母表示数的体系。代符号体系，即用字母表示数的体系。 y第一个进步是由意大利北部的数学家在大约第一个进步是

10、由意大利北部的数学家在大约1520 年到年到1540年间完成的；年间完成的； y第二个进步主要是两名法国人的研究成果：韦达第二个进步主要是两名法国人的研究成果：韦达 和笛卡尔。和笛卡尔。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 三次、四次方程求解三次、四次方程求解 费罗费罗(1465-1526) x3+px=q(1515) 塔尔塔利亚塔尔塔利亚 (1499-1557) x3+px2=q(1535) 菲俄菲俄 卡尔达诺卡尔达诺(1501-1576) 费拉里费拉里(1522-1565) 塔尔塔利亚 费拉里费拉里 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 符号代数的引入符号代数的引入 z代数上的进步还

11、在于引用了较好的符号体系，这对代数上的进步还在于引用了较好的符号体系，这对 于代数学本身的发展以及分析学的发展来说，至为于代数学本身的发展以及分析学的发展来说，至为 重要。正是由于符号化体系的建立，才使代数有可重要。正是由于符号化体系的建立，才使代数有可 能成为一门科学。能成为一门科学。 近现代数学最为明显的标志之一，就是近现代数学最为明显的标志之一，就是普遍使用了普遍使用了 数学符号数学符号，它体现了数学学科的高度抽象与简练。，它体现了数学学科的高度抽象与简练。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 z 数学符号系统化首先归功于法国数数学符号系统化首先归功于法国数 学家韦达，由于他的符号体

12、系的引学家韦达，由于他的符号体系的引 入导致代数性质上产生最重大变革。入导致代数性质上产生最重大变革。 z 对韦达所使用的代数法的改进工作对韦达所使用的代数法的改进工作 是由笛卡尔完成的，他首先用拉丁是由笛卡尔完成的，他首先用拉丁 字母的前几个（字母的前几个（a, b, c, d, ）表示）表示 已知量，后几个（已知量，后几个（x, y, z, w, ）表）表 示未知量，成为今天的习惯。韦达示未知量，成为今天的习惯。韦达 的符号代数保留着齐性原则，要求的符号代数保留着齐性原则，要求 方程中各项都是方程中各项都是“齐性齐性”的，即体的，即体 积与体积相加，面积与面积相加。积与体积相加，面积与面积

13、相加。 这一障碍随着笛卡尔解析几何的诞这一障碍随着笛卡尔解析几何的诞 生也得到消除。生也得到消除。 viete (1540-1603) 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 三角学三角学 z 航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发航海、历法推算以及天文观测的需要，推动了三角学的发 展，早期三角学总是与天文学密不可分，这样在展，早期三角学总是与天文学密不可分，这样在1450年以年以 前，三角学主要是球面三角，前，三角学主要是球面三角， z 在欧洲，第一部脱离天文学的三角学专著是雷格蒙塔努斯在欧洲，第一部脱离天文学的三角学专著是雷格蒙塔努斯 (regiomontanus, 14361

14、476)的的论各种三角形论各种三角形。 z 随后，维勒随后，维勒(werner,14681528)著著论球面三角论球面三角（1514），）， 改进并发表了将雷格蒙塔努斯的思想。改进并发表了将雷格蒙塔努斯的思想。 z 三角学的进一步发展，是法国数学家韦达所做的平面三角三角学的进一步发展，是法国数学家韦达所做的平面三角 与球面三角系统化工作。与球面三角系统化工作。 在在1616世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立世纪，三角学已从天文学中分离出来，成为一个独立 的数学分支。的数学分支。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 几何学的复兴几何学的复兴 z 文艺复兴时期几何创造其动力来自于艺

15、术。文艺复兴时期几何创造其动力来自于艺术。 正是由于绘画、制图的刺激而导致了富有正是由于绘画、制图的刺激而导致了富有 文艺复兴特色的学科文艺复兴特色的学科透视学的兴起，透视学的兴起， 从而诞生了投影几何学。从而诞生了投影几何学。 z 中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性，中世纪宗教绘画具有象征性和超现实性， 而文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画而文艺复兴时期，描绘现实世界成为绘画 的重要目标，这就使画家们在将三维现实的重要目标，这就使画家们在将三维现实 世界绘制到二维的画布上时，面临许多问世界绘制到二维的画布上时，面临许多问 题：题： y（1）一个物体的同一投影的两个截影有什么）一个物体的同一投

16、影的两个截影有什么 共同的性质？共同的性质？ y（2）从两个光源分别对两个物体投影到同一）从两个光源分别对两个物体投影到同一 个物影上，那么两个物体间具有什么关系？个物影上，那么两个物体间具有什么关系？ 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 从透视学到射影几何从透视学到射影几何 z 第一个认真从事透视几何研究的意大利画家是第一个认真从事透视几何研究的意大利画家是布努雷契布努雷契 （f.brunelleschi, 13771446）。）。 z 阿尔贝蒂阿尔贝蒂(l.b.alberti, 14041472)于于1435年写成了第一本透年写成了第一本透 视学

17、著作，名为视学著作，名为论绘画论绘画 。 z 第一个在真正意义上对于透视法所产生的问题从数学上直第一个在真正意义上对于透视法所产生的问题从数学上直 接给予解答的是接给予解答的是笛沙格笛沙格（g.desargues, 15911661）。）。1639 年发表著作年发表著作试论锥面截一平面所得结果的初稿试论锥面截一平面所得结果的初稿，充满，充满 了创造性的思想。了创造性的思想。 z 法国另一位数学家法国另一位数学家帕斯卡帕斯卡（blaisepascal, 16231662）十六）十六 岁时就开始也研究投射与取景法，岁时就开始也研究投射与取景法，1640年完成著作年完成著作略论略论 圆锥曲线圆锥曲线

18、。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 计算技术与对数计算技术与对数 z 十六世纪前半叶，欧洲人象印度、阿拉伯人一样，把实用十六世纪前半叶，欧洲人象印度、阿拉伯人一样，把实用 的算术计算放在数学的首位，科学成果在工程技术上的应的算术计算放在数学的首位，科学成果在工程技术上的应 用以及实践上的需要，要求得出数量上的结果，对计算技用以及实践上的需要，要求得出数量上的结果，对计算技 术提出了前所未有的要求。术提出了前所未有的要求。 z 苏格兰贵族、业余数学家纳皮尔苏格兰贵族、业余数学家纳皮尔(j.napier，1550-1617)发发 表了世界上第一张对数表，简化了计算过程。表了世界上第一张对数

19、表，简化了计算过程。1614年他在年他在 题为题为奇妙的对数定理说明书奇妙的对数定理说明书的小书中，阐述了他的对的小书中，阐述了他的对 数方法。数方法。 z 对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，所以对数的发明大大减轻了计算工作量，很快风靡欧洲，所以 拉普拉斯（拉普拉斯（laplace, 17491827）曾赞誉道：）曾赞誉道：“对数的发明对数的发明 以其节省劳力而延长了天文学家的寿命以其节省劳力而延长了天文学家的寿命”。 到十六世纪末、十七世纪初，整个初等数学的主要内容基本到十六世纪末、十七世纪初，整个初等数学的主要内容基本 定型，文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴定型，

20、文艺复兴促成的东西方数学的融合，为近代数学的兴 起及以后的惊人发展铺平了道路。起及以后的惊人发展铺平了道路。 三、解析几何的诞生三、解析几何的诞生 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 背景背景 z 文艺复兴以来资本主义生产力的兴起，对科学技术提出了文艺复兴以来资本主义生产力的兴起，对科学技术提出了 全新的要求。全新的要求。 y机械的普遍使用引起了对机械运动的研究；机械的普遍使用引起了对机械运动的研究； y航海事业的空前发达要求测定船舶位置，这就需要准确地研究天航海事业的空前发达要求测定船舶位置，这就需要准确地研究天 体运行的规律；体运行的规律； y武器的改进刺激了弹道问题的探讨；武器的改进

21、刺激了弹道问题的探讨； z 总之，到了十六世纪，对运动与变化的研究已变成自然科总之，到了十六世纪，对运动与变化的研究已变成自然科 学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而学的中心问题，这就迫切地需要一种新的数学工具，从而 导致了变量数学亦即近代数学的诞生。导致了变量数学亦即近代数学的诞生。 近代数学本质上可以说是变量数学。近代数学本质上可以说是变量数学。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 变量数学的里程碑变量数学的里程碑 z 变量数学的第一个里程碑是解析变量数学的第一个里程碑是解析 几何的诞生几何的诞生。 z 解析几何的基本思想是在平面上解析几何的基本思想是在平面上 引进所谓引

22、进所谓“坐标坐标”的概念，并借的概念，并借 助这种坐标在平面上的点和有序助这种坐标在平面上的点和有序 实数对实数对(x, y)之间建立一一对应的之间建立一一对应的 关系。以这种方式可以将一个代关系。以这种方式可以将一个代 数方程数方程f (x, y) = 0与平面上一条曲与平面上一条曲 线对应起来，于是几何问题便可线对应起来，于是几何问题便可 归结为代数问题，并反过来通过归结为代数问题，并反过来通过 代数问题的研究发现新的几何结代数问题的研究发现新的几何结 果。果。 用平面上的一点到两条用平面上的一点到两条 固定直线的距离来确定固定直线的距离来确定 点的位置，用坐标来描点的位置，用坐标来描 述

23、空间上的点。述空间上的点。 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 解析几何的创建者解析几何的创建者 费马费马 fermat 16011665 法国人法国人 笛卡儿笛卡儿 descartes 15961650 法国人法国人 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 z 1637年他发表了最有名的著作年他发表了最有名的著作谈谈 谈正确运用自己的理性在各门学问谈正确运用自己的理性在各门学问 里寻求真理的方法里寻求真理的方法，通常简称为，通常简称为 方法论方法论。 z 在在方法论方法论中附有三篇论文：中附有三篇论文： 折光学折光学、气象学气象学和和几何几何 学学。在这三篇论文中笛卡尔给出。在这三篇论文

24、中笛卡尔给出 了用自己的方法做出发明的例子。了用自己的方法做出发明的例子。 z 谈谈方法谈谈方法： http:/ 42747.html z 笛卡尔几何学笛卡尔几何学： http:/ 5019.html 笛卡尔的解析几何笛卡尔的解析几何 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 z笛卡儿的思想核心是：笛卡儿的思想核心是： 把几何学的问题归把几何学的问题归 结成代数形式的问题，用代数学的方法进结成代数形式的问题，用代数学的方法进 行计算、证明，从而达到最终解决几何问行计算、证明，从而达到最终解决几何问 题的目的。依照这种思想他创立了我们现题的目的。依照这种思想他创立了我们现 在称之为的在称之为的“解

25、析几何学解析几何学”。 z笛卡儿提出了一种大胆的计划，即：笛卡儿提出了一种大胆的计划，即： y任何问题任何问题数学问题数学问题代数问题代数问题方程求解方程求解 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 费马的解析几何费马的解析几何 z 费马工作的出发点是试图恢复失传费马工作的出发点是试图恢复失传 的阿波罗尼奥斯的著作的阿波罗尼奥斯的著作论平面轨论平面轨 迹迹，从而写了一本题为，从而写了一本题为论平面论平面 和立体的轨迹引论和立体的轨迹引论（1629）的书，）的书， 他试图用他所熟悉的代数形式描述他试图用他所熟悉的代数形式描述 阿波罗尼奥斯的结果。阿波罗尼奥斯的结果。 书中清晰地阐述了费马的解析几

26、何原理，指出：书中清晰地阐述了费马的解析几何原理，指出：“只要在只要在 最后的方程中出现两个未知量，就有一条轨迹，这两个量最后的方程中出现两个未知量，就有一条轨迹，这两个量 之一的末端描绘出一条直线或曲线。直线只有一种，之一的末端描绘出一条直线或曲线。直线只有一种， 曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等曲线的种类则是无限的，有圆、抛物线、椭圆等等”。 e1 e2 e a z2z1 m m1 m2 oz 四川师范大学四川师范大学 数学史数学史 笛尔儿与费马的工作对比笛尔儿与费马的工作对比 笛卡尔笛卡尔费马费马 目的目的给出方法论在数学上的给出方法论在数学上的 一个例子一个例子 竭力恢复失传的阿波罗竭力恢复