用因式分解法解一元二次方程(知识点-经典例题-综合练习)

1、用因式分解法解一元二次方程 【主体知识归纳】 1.因式分解法若一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式时，例如，X2 9= 0, 这个方程可变形为(x+ 3)( X 3) = 0,要(x + 3)( x 3)等于0,必须并且只需(x+ 3)等于0或(x 3)等于0, 因此，解方程(x + 3)( x 3) = 0就相当于解方程 x+ 3= 0或x 3 = 0 了，通过解这两个一次方程就可得到 原方程的解这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 2因式分解法其解法的关键是将一元二次方程分解降次为一元一次方程其理论根据是：若A- B=吐A =0 或 B= 0. 【基础知识讲解】 1

2、只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二 次方程分解因式时，要根据情况灵活运用学过的因式分解的几种方法. 2 在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次 方程但对某些特殊形式的一元二次方程，有的用直接开平方法简便，有的用因式分解法简便因此，在 遇到一道题时，应选择适当的方法去解.配方法解一元二次方程是比较麻烦的，在实际解一元二次方程时， 一般不用配方法而在以后的学习中，会常常用到因式分解法，所以要掌握这个重要的数学方法. 【例题精讲】 例1 :用因式分解法解下列方程： 2 (1) y + 7y + 6 =

3、 0;(2) t (2 t 1) = 3(2 t 1);(2 x 1)( x 1) = 1. 解：(1)方程可变形为(y+ 1)( y+ 6) = 0, y+ 1 = 0 或 y + 6 = 0,. y1 = 1, y2= 6. 1 (2) 方程可变形为 t(2t 1) 3(21 1) = 0, (2t 1)( t 3) = 0, 2t 1 = 0 或 t 3= 0,二 t1= , t2 2 =3. (3) 方程可变形为 2x2 3x = 0. x(2x 3) = 0, x= 0 或 2x 3 = 0. 3 -X1 = 0, X2 = 2 说明：(1)在用因式分解法解一元二次方程时，一般地要把

4、方程整理为一般式，如果左边的代数式能够 分解为两个一次因式的乘积，而右边为零时，则可令每一个一次因式为零，得到两个一元一次方程，解出 这两个一元一次方程的解就是原方程的两个解了. (2)应用因式分解法解形如(x a)(x b) = c的方程，其左边是两个一次因式之积，但右边不是零，所 以应转化为形如(x e)( x f) = 0的形式，这时才有 X1= e, %= f,否则会产生错误，如(3)可能产生如下 的错解: 原方程变形为：2x 1 = 1 或 x 1 = 1 . xi = 1, X2= 2. (3)在方程(2)中，为什么方程两边不能同除以(2t 1)，请同学们思考？ 例2 :用适当方法

5、解下列方程： 2 2 2 2 (1) .3(1 x) = .27 ; (2) x 6x 19= 0; (3)3 x = 4x+ 1; (4) y 15= 2y； (5)5 x(x 3) (x 3)( x + 1) = 0 ； 2 2 (6)4(3 x + 1) = 25(x 2). 剖析：方程(1)用直接开平方法，方程(2)用配方法，方程(3)用公式法，方程(4)化成一般式后用因式 分解法，而方程(5)、(6)不用化成一般式，而直接用因式分解法就可以了. 解：(1)(1 x)2= , 9 , (x 1) 2= 3, x 1 = , 3 , X1 = 1 + . 3 , X2= 1 .、3 .

6、(2) 移项，得 x2 6x = 19,配方，得 x2 6x+ ( 3)2= 19+ ( 3)2, (x 3)2= 28, x 3 = 2 ,7 , - X1 = 3+ 2 . 7 , X2= 3 2 7 . 移项，得3x 4x 1= 0, a= 3, b= 4, c = 1, x ( 4) V( 4)24 3 ( 1)2 7 -x = 2 33 2 2 (3) x = 7x； A. 1 B. 2 C. 4 D. 4 已知三角形两边长为 4和7,第三边的长是方程 x 方程(2y + 1) + 3(2 y + 1) + 2 = 0 的解为. 关于x的方程x + (n卄n)x + mr= 0的解为

7、 方程x(x 5) =75 x的解为 16X + 55= 0的一个根，则第三边长是 ( ) A. 5 B. 5 或 11 C. 6 D. 11 (8) 方程 x2 3|x 1| = 1的不同解的个数是() A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2 .填空题 (1)方程t(t + 3) = 28的解为. 2 2 x 4x 21 = 0; (5)( X 1)( x + 3) = 12; 2 (6)3 x + 2x 1= 0; 方程(2x + 1) + 3(2 x + 1) = 0的解为. 2 (7)10 x x 3= 0; 2 (8)( x 1) 4( x 1) 21 = 0. 4 .用适当方法

8、解下列方程: 2 (1) x 4x + 3 = 0; (4) x2 2x 3 = 0; 2 (2)( x 2) = 256; 2 (3) x 3x + 1 = 0; (2 t + 3) 2= 3(21 + 3); 2 2 (6)(3 y) + y = 9； (1 + , 2)x 2 2 2 (3) x 2mx- 8m= 0； (4) x + (2 耐 1)x+ m+ m= 0. (1 , 2)x = 0； 2 (9)2 x 8x= 7(精确到 0. (8) . 5 x2 (5 2 + 1)x + ,10 = 0; 2 01) ; (10)( x+ 5) 2( x + 5) 8 = 0. 5 .

9、解关于x的方程： (1) x2 4ax+ 3a2= 1 2a； (2) x2 + 5x + k2 = 2kx + 5k+ 6 ； 6 .已知 x2+ 3xy 4y2= 0( y 0)，试求的值. x y 222222 7 .已知(x + y)( x 1 + y ) 12= 0 .求 x + y 的值. (2) X1= , X2 =; (3) X1 =0 , X2 = 7; (4) X1 = =7 , X2= 3; (5) X1 = 5 , X2 = 3; (6) X1 = 1 , 【同步达纲练习】 参考答案 2 2 1 X2 = 3 31 (7) xi=, X2 = _ ； (8)xi= 8,

10、 X2= 2 . 52 3535 4. (1)xi=1 ,X2=3;(2)xi= 18,X2= 14; xi=,X2 =; (4)xi =3,X2= 1; 2 2 (5) t1= 0, t2= 3 ; (6) y1= 0, y2 = 3; (7) X1 = 0, X2= 22 3; 2 5 (8) X1=, X2 =、10 ; (9) X12 7.24 , X2= 3.24 ; (10) X1 = 1 , X2 = 7. 5 5. (1) x2 4ax+4a2=a2 2a + 1, (x 2a)2= (a 1)2, 二 x 2a= (a1), 二 X1= 3a 1, X2= a+ 1. (2)

11、 x2+ (5 2k)x + k2 5k 6 = 0, x2 + (5 2k)x + (k+ 1)( k 6) = 0, :x (k + 1) x (k 6)= 0 , 二 X1= k +1 , X2 = ( k 6). (3) x2 2mx m = 9用，(x m)2= (3 m)2 二 X1= 4m X2= 2m 2 (4) x + (2 m 1) x + m m 1) = 0 , (x + m x+ ( m 1) = 0, 二 X1= m X2 = m-1 6. (x+ 4y)( x y) =0, x= 4y 或 x=y 当 x= 4y 时，=5 ； x y 4y y 3 当 x= y 时，=3 = 0 . x y y y 7. (x2 + y2)( X2+ y2 1) 12 = 0, 2 2 2 2 2 (x + y) (x +y) 12 = 0, (x2 + y2 4)( x2+ y2 +3) = 0, x2 + y2= 4 或 x2 + y2= 3(舍去) 8. X1= 36, X2= 24 9. ： X + 3x + 5= 9, . x?+ 3x= 4 , / 3x2+ 9x-2= 3(