合肥工业大学电磁场与电磁波(孙玉发版)第4章答案

1、合肥工业大学电磁场与电磁波（孙玉发版）第4章答案本页仅作为文档封面，使用时可以删除This document is for reference only-rar21 year.Marchx第四章习題解答【】如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零.上边盖扳的电位为 “0,求槽内的电位函数。解根据题慰.电位0(x,y)满足的边界条件为0(0,刃=(pa. y)=0：(a0) = 0：ksinh()sin(?)由条件，有 ZiaUq = A,sinh( ) sin(匕丄)-Iaannx,zc/n r mx、，两边同乘以sin(),并从o到a对x积分

2、，得到厲= 一sin()dx =atzsinh( n7rb： a) J a4/2U(1 cos,?jt)=7?-Tsinh( n7rb/a),/, z 1 = 1,3,5，/irsinn( n7rb/a)0 t刃=2,4,6，z 、4()匸1 | nny nnx故得到槽内的电位分布0(圮刃=- Y sinh()sin()7t . n sinh(7?7r/?/6/) aa两平行无限大导体平面.距离为其间有一极薄的导体片由y = d到y = b(svxvs)。上板和薄片保持电位()，下板 保持零电位.求板间电位的解。设在薄片平而上.从y = 0到y = d 电位线性变化，(0, y) = U()y

3、/d .理，设板何的电位为刃=% (x, y)+卩2 (忑 y)存在薄片的平行无限大导体平而间(电斥为f/0)的电位.即 5(x, y) =: a，y)是两个电位为零的平行导体板间有导边界条件为：卩(兀 0) = 02(兀)=0 8) 02(O,y) = 0(O,y)-(O,y) = (0 yd):根据条件和，可设(p2(x. y)的通解为(d y b)n/cy0 (x, y) = Y 4, sin( )e：由条件有 乞 A” sin(二二)= b/.-Ib(OSyS )(d y 0(y-oo)(p(x = U0电位0和xvO两个区域.则这两个区域中的电位%(九刃和02(匕刃都满足拉普拉斯方程

4、。而在x = 0的分界面上，可利用5函数将线电荷如表示成电荷面密度 b(y) = qQ(y-)b)。电位的边界条件为mnp由式(2).得8戻(帧)0y丄a题图0(X,O)=0(X,G)= O ,卩(儿)=02(X，d)=(p(X, y) t 0 (x - oo) f (p2(x. y) - 0 (x t -s)0i(ay) = 02()3x(1)由条件和，可设电位函数的通解为0心,刃= A启一 sin（空）角Q由条件，有(x 0) (x，y) = Y B严w sin(-)(x0）矶 nl fl aCl0 （x,y） =丄血（旦）严眺 sin（空）（x 0）叭 Ti n aa如题图所示的矩形导休

5、槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。求槽内的电位函数。解由于在C5，y（）处有一与z轴平行的线电荷g八以x = x0为界将场空间分割为0 x x0和兀v x v a两个区域.则这两个区域中的电位（p、（X, y）和（p2（x.刃都满足拉普拉斯 方程。而在x = x0的分界面上.可利用5函数将线电荷表示成电荷而密度 b（y） = aQ（y-）b）电位的边界条件为 01（0”）=0, 02（，刃=0, 0i（x,O）二 0（x,Z?） = O, （x,0）=（xe）= 0 （勺，）=02（如，）（詈一讐）L- =学/（一凡） 由条件和，可设电位函数的通解为01 （俎y）= XAr sin（-r

6、-）smh（-）（0xx0）bb0，（x，y）= B”sin（）sinh?（-_） （x0 x）X4 sin（牛药sinh（耳= 耳 sin（牛丄）sinh牛（a-x。） 铝bb 粽bb兀x（、二 c 口兀.川兀y、. nn,“、）一 丫场sin（j）cosh（a-x。） = 一6（丁一儿）（2）结 b bbs（）由式，可得 A sinh（n；rX） - B sinh （a-xo） = Obb将式（2）两边同乘以sin（冬竺），并从0到b对积分，有b二 nn ii7ryS4TS1n()cosh(w-1从剧（罟）+恥两#（“-心）=誥匸恥-北）血（罟）2=誥血（乎）由式(3)和(4)解得4 =色

7、sinh(-x0)sin(-)sinh(ii7ra/b) h7T() bhB”=- sinh(竺勺)sin(竺蜀sinh(n/rq )nrrsbb故 也匕,)，)= sinh牛一勺) sin(气巴)sinh(罕3sin(罕 J, (0 x nsinh(n7ra/b) bbbb(忑刃二玉工 sinh(4 sin()sinh字(一x)sin(乎),(xQ x a)碣 H sinhQzw b)bbbb若以y =)b为界将场空间分割为o v y 弘和)b y v方两个区域，则可类似地得到 （圮刃=工T： smh（b 儿）1 sin（） sinh（ ） sin（）（0 y 儿）碣=“ sinh（/?7r

8、p/ a）aaaa（兀 刃=y-smh（）sm（ ）sinh（b- y）sm（）（y0 y 一耳/cos0 + C （r oo）由此可设 卩（几。）=-E0rcos +Ajr1 cos0 + C由条件，有-C）acos0 +cos0 + C = C于是得到4 =aE（）,故圆柱外的电位为（p（i（/） = （-r + a2rl ）E0 cos+ C 若选择导体圆柱表面为电位参考点，即0（d） = 0.则C = 0。导体圆柱外的电场则为d(p1 d(pa1a2E卞0(儿。)er 亦 % 厂诃-S(l + =)oCos0 + s(-l + =)EoSin0导体圆柱表面的电荷面密度为b = 一5严、

9、=20E0cosdr*如题图所示.一无限长介质圆柱的半径为介电常数为，在距离轴线a ）处有一与圆柱平行的线电荷才，il算空 间各部分的电位。解在线电荷g作用下，介质圆柱产生极化，介质圆柱内外的电位卩（匚0）均为线电荷如的电位口（人0）与极化电荷的电位冷（几0）的叠加.即卩（几0） = （几0） +殊（匚0）。线电荷的电位为而极化电荷的电位禺（匚0）满足拉普拉斯方程，且是0的偶函数。介质恻柱内外的电位0（几0）和 卩（匚0）满足的边界条件为分别为（0,砒为有限值：02（人。）一as） r = a时，（p=（p、丝= dr dr(0 r a)由条件和可知，5（人0）和（八0）的通解为01 (匚 0

10、)=冯(八。)+ 工 AnrH cos Mn-l02(匚 0)= 5(匚 0)+cos n(/) (a r oo)(3)71-1将式（1）（3）带入条件.可得到(4)f (恥加+3,剛厂 n=l二 1)cosM = D 0 dinRr=u(5)当rH-)/l-lAnnal! +耳弘（厂心（一窃）/（/严2知 a 4（ （）1G（ 勺）d，由此解得 九=一 一 ,色=一 :故得到圆柱内.外的电位分别为2兀（）（ + （）A）2/（）（ + （） M）(8)（p （几0）=In Jr + ?;； - 2rr（） cos（/）- （*V- （）r, cos询2矶2碣（ +匂）的“）% （r, 0）

11、= In Jr，+斥-2ncos0 - 色“二包）y 1 （）n cos n（/2矶2碣（ +匂）粽舁讨论：利用式（6）,可将式（8）和（9）中得第二项分别写成为-色心二包）V-（-）1 cosM =恥一）（in 尺一h“）2碣（ + （）帥 r02矶（ + o）_恥-6） 丄（尤）,0财=心一可（M一 1）2兀勺）（ + （） n-i 戸人/2九（ + ）其中R = yjr2+（a2/r（）2 -2r（2/）cos。因此可将（几砒和（匚）分别写成为 %（“） = 产泌 In/?尔:-%）严2碣 + （）2碣（ + ）卩心0）=_厶讪_1一（7皿1叔_1 （一勺皿1”2 矶 +2 叭 + 旬由

12、所得结果可知.介质圆柱内的电位与位于（G，0）的线电荷 G的电位相同，而介质恻柱外的电位相为干三根线电荷所产 + 生，它们分别为：位于（仏，0）的线电荷如：位于（.0）的线电荷一位于厂=0的线电荷仝4。心 +*在均匀外电场E（）=ezE）中放入半径为“的导体球设（1）导体充电至（2）导体上充有电荷0。试分别讣算两种情况 下球外的电位分布。解（1）这里导体充电至“应理解为未加外电场E（）时导休球相对于无限远处的电位为”,此时导体球面上的电荷密度 cr = pja，总电荷q = 47r“iUQ将导体球放入均匀外电场中后，在E（）的作用下.产生感应电荷.使球面上的电荷密度发 生变化.但总电荷9仍保持

13、不变，导体球仍为等位体。设卩（八&） = %（/） + %（/）,其中（pQ（r.0） = -Eoz = -Eorcos01是均匀外电场E（）的电位.（匚&）是导体球上的电荷0（,0） = C（）, _（）g 乔dS = g产生的电位。电位卩（几&）满足的边界条件为厂 t S时.-E0rcos : r = a 时,其中C为常数，若适、“|选择0（匚&）的参考点，可使Cq=U。由条件，可设（p（r,O） = -EQrcos0 + Ar2 cos0 + G 代入条件.可得到 A = ayE（）. = aU（） 9 C = C（） -U若使G = U）.可得到 p（r%0） = -EQrcos0 +

14、 ayEor2 cos0 + aUQr（2）导体上充电荷Q时.令Q = 40i/0,有i/0 =利用（1）的结果，得到（P（ 0） = -Eor cos 0 + uEr2 cos）为有限值：02（A&）tO （r - oo）:t = Pcos “）2, 2 知 T）系数。内、外的电位分别为（匚0）和卩（几&）,则边界条件为: （0,0）为有限值：2（A&）t0 （r - oo）解以细导线恻环所在的球ifii r = a把场区分为两部分，分别写出两个场域的通解并利用5函数将细导线恻环上的线电荷0表示 成球面r = a上的电荷面密度再根据边界条件确定设球面r = aX (%) = 02 坨巒-勢L

15、广島泌根据条件和.可得0|(八&)和(厂,0)的通解为(r,&) = /W(cos&)(1) .(p2(r,6) = 2Plt(cos0) (2)“()口代入条件，有 Anan = Bn(r1 (3) &加1+优( + 1)八7 比(cos&)= _ J(cos) (.4)n=02 隔X将式（4）两端同乘以匕（cos&）sin&,并从0到兀对6进行积分，得:+ 呼J（cos0）Pn（cos0）sin060 =：+ 撃 E(0)47T()cr(5)n = 1,3,5,0（_1）/2 1 32 4 6畀由式（3）和，解得An=/；r（0）t耳=纟一代（0），代入式和（2）,即得到4碣。4矶1 一秒 G ） P, （COS 6） 4-其中 (0)=n = 2,4,6,3巳(COS&) +中=亠4疋（Z2 = 4（【】如题图所示，一个点电荷g放在60的接地导体角域内的点（1, i,o）处。求：（1）所有镜像电荷的位宜和大小：（2）点 x = 2.y = 1处的电位。解（1）这是一个篡重镜像的问题，共有5个像电荷，分布在以点电荷g到角域顶点的距离为半径的圆周上并且关于导体平面对 其大小和位宜分别为x： = V2cos75 =0.366,6,厂02=6y； = V2sin 75 = 1.366x； = V2cosl95 =-1.366 丄=sin 195 =0.366 Jx； =