多元函数求极值(拉格朗日乘数法)

1、第八节 多元函数的极值及其求法教学目的： 了解多元函数极值的定义， 熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法， 并能够解决实际问题。 熟练使用拉格朗日乘数法 求条件极值。教学重点： 多元函数极值的求法。教学难点： 利用拉格朗日乘数法求条件极值。教学内容：一、 多元函数的极值及最大值、最小值定义 设函数z f （x, y）在点（X。, y。）的某个邻域内有定义，对于该邻域内异于（X。，yo）的点，如果都适合不等式f （X, y） f（Xo,y。）则称函数f（X，y）在点（X0，y。）有极大值f（X0，y。）。如果都适合不等式f （X, y） f（X。 ,y。） ，则称函数f（X，y

2、）在点（X0,y。）有极小值f（X0,y。）.极大值、极小值统称为极值。使函数取得极值的点称为极值点。22例 1 函数 z 3X 4y 在点（。，。）处有极小值。因为对于点（ 。，。）的任 一邻域内异于 （。，。）的点，函数值都为正，而在点（ 。，。）处的函数值为零。从 22 几何上看这是显然的， 因为点（。，。，。）是开口朝上的椭圆抛物面 z 3X2 4y2 的顶点。例2函数z x y在点（0, 0）处有极大值。因为在点（0, 0）处函 数值为零，而对于点（0, 0）的任一邻域内异于（0, 0）的点，函数值都为负，点（0, 0, 0）是位于xOy平面下方的锥面z: x2 y2的顶点。例3 函

3、数z xy在点（0, 0）处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点（0, 0）处的函数值为零，而在点（0, 0）的任一邻域内，总有使函数值为正 的点，也有使函数值为负的点。定理1 （必要条件）设函数z f（x，y）在点（X0，y。）具有偏导数，且在点（Xo, yo）处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：fx（Xo,y）0, fy（xo,y）0证 不妨设z f（x，y）在点（x0，y0）处有极大值。依极大值的定义，在点（X。，y。）的某邻域内异于（X。，y。）的点都适合不等式f （x, y） f（x,yo）特殊地，在该邻域内取y y0，而x X0的点，也应适合不等式f（x, y） f（Xo,y）

4、这表明一元函数f（x，yo）在X Xo处取得极大值，因此必有fx（Xo,yo）0类似地可证fy(Xo,yo)0从几何上看，这时如果曲面z f(x，y)在点(xo,y0,zo)处有切平面，则切平 面z z0 fx(x0,y0)(x x0) fy(x0,y0)(y y0)成为平行于 xOy 坐标面的平面 z z00 。仿照一元函数，凡是能使fx(x，y) O,fy(x,y) 0同时成立的点(X0,y。)称为 函数z f (x, y)的驻点，从定理1可知，具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。 但是函数的驻点不一定是极值点，例如，点(0，0)是函数z xy的驻点，但是 函数在该点并无极值。怎样判定一个

5、驻点是否是极值点呢 ？下面的定理回答了这个问题。定理2 (充分条件)设函数z f(x，y)在点(xo，yo)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 fx(x0,y0)0,fy(x0,y0)0，令fxx(x0,y0) A,fxy(x0,y0) B,fyy(x0,y0) C则f(x,y)在(xo,yo)处是否取得极值的条件如下：2(1) AC B0时具有极值，且当A 0时有极大值，当A 0时有极小值;2(2) AC B20时没有极值;2(3) AC B20时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论。这个定理现在不证。利用定理 1、2，我们把具有二阶连续偏导数的函数z f (x, y) 的极值的

6、求法叙述如下：第一步 解方程组fx（x,y） 0, fy（x,y） 0求得一切实数解，即可以得到一切驻点。第二步 对于每一个驻点（X0，y0），求出二阶偏导数的值A , B和C。第三步 定出AC B2的符号，按定理2的结论判定f（x0，y0）是否是极值、 是极大值还是极小值。3 3 2 2例1求函数f（x,y） x y 3x 3y9x的极值。解 先解方程组2fx(x, y) 3x 6x 9 0,fy(x,y) 3y2 6y 0,求得驻点为（1,0 ）、（ 1,2 ）、（ -3,0 ）、（ -3,2 ）。再求出二阶偏导数fxx(x,y)6x 6, fxy(x,y)0, fyy(x,y)6y 6在

7、点(1,0)处， ACB212 6 0又 A0，所以函数在 （1,0）处有极小值f(1,0)5 ；在点(1,2)处， ACB212 ( 6) 0 ，所以 f （1,2） 不是极值；在点(-3,0)处， ACB212 6 0 ，所以 f （-3,0） 不是极值；2在点(-3,2)处，AC B 12 ( 6)0又A 0所以函数在(-3,2)处有极大值 f (-3,2)=31。例2某厂要用铁板作成一个体积为2mi的有盖长方体水箱。问当长、宽、 高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省。2 m解设水箱的长为xm，宽为ym，则其高应为xy ，此水箱所用材料的面积22A 2(xyyx)xyxy，A 2(xy2-

8、)即xy(x 0，y0)可见材料面积A是x和y的二元函数，这就是目标函数，下面求使这函数取得最 小值的点(X，y)Ax2(yx0Ay2(x22)y0解这方程组，得：x V2，y V2从这个例子还可看出，在体积一定的长方体中，以立方体的表面积为最小。、条件极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数 z f (x,y) 在附加条件 (x, y) 0下的可能极值点，可以先构成辅助函数F(x, y) f (x,y) (x,y)其中为某一常数求其对X与y的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程(2)联fx(x,y)x(x,y) 0,fy(x, y)y(x,y) 0,(x,y) 0.(1)由这方程组解出x，y

9、及，则其中x，y 就是函数 f (x,y) 在附加条件下(x, y) 0的可能极值点的坐标。这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如，要求函数u f (x,y,z,t)在附加条件(x,y,z,t) 0， (x, y,z,t) 0下的极值，可以先构成辅助函数F(x, y,z,t) f(x,y,z,t) 1 (x,y,z,t) 2 (x,y,z,t)(2)其中 1， 2 均为常数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与 (2) 中的两个方程 联立起来求解，这样得出的X、y、z、t就是函数f(x,y, z,t)在附加条件下的 可能极值点的坐标。至于如何确定所求得的点是否极值点， 在实际

10、问题中往往可根据问题本身的 性质来判定。2例 3 求表面积为 a2 而体积为最大的长方体的体积。解 设长方体的三棱长为 x,y,z ， 则问题就是在条件(x, y,z,t)22xy 2yz 2xz a2 0(3)下，求函数V xyz(x0，y 0， z 0)的最大值。构成辅助函数F(x, y,z)xyz2(2xy 2yz 2xz a 2)求其对X、y、z的偏导数,并使之为零，得到yz2(yz)0xz2(xz)0xy2(yz)0再与 (10) 联立求解。因x、y、z都不等于零，所以由(11)可得y x y y = y z , z = x z .由以上两式解得将此代入式（10），便得-,6az= 6这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在， 所以最大值就在2 _ 这个可能的极值点处取得。也就是说，表面积为a的长方体中，以棱长为,6a