二次根式化简和运算

1、二次根式化简和运算儘本周内容：二次根式的化简和运算本周重点、难点：二次根式的化简和运算。盘本周重点、难点分析：壷1.最简二次根式W.i(1)最简二次根式的概念 辰我们已经知道，根据二次根式的性质可以把二次根式化简, 简单的形式那么，什么是最简二次根式呢？满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式.(1) 被开方数的因数是整数，因式是整式；(2) 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.对应上面两个条件，最简二次根式可以这样理解：(1) 被开方数不含分母；(2) 被开方数中的每一个因式或因数都开不尽方.就是把一个二次根式化成最i 下列式子哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？儘応、乐2了必十/,退g

2、+朋S P 2J2分析：根据最简二次根式的条件来判断，不满足其一个条件的,解：因数；工二被开方数含有能开得尽方的因数;都不是最简二次根式.1 .的被开方数不是整数;肿(屛+1)被开方数含有能开得尽方的因式;不是整数.(2)将二次根式化为最简二次根式的方法步骤蠢把一个二次根式化成最简二次根式，有以下两种情况：(1) 如果被开方数是分式或分数(包括小数),先利用商的算术平方根的性质把它写成分式 的形式，然后再分母有理化化简.(2) 如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解质因数，然后把开得尽方的因 式或因数开出来，从而将式子化简.化二次根式为最简二次根式的步骤：(1) 把被开方数(式)分解质

3、因数(式)，化为积的形式；把根号内能开得尽方的因数 (或式) 移到根号外；(3)化去根号内的分母.若被开方数的因数中有带分数要化成假分数，小数化 成分数.2 .把下列各式化成最简二次根式： 血（硝分析：根据化简二次根式的方法步骤，进行化简. 解法：22加y（1）岭/(5)=+ 1 年竿丄运环戏J住如 a(4) 8(aV + a%3)=Vioa a2b2 (a+ b) =ab3(a+b) = | abXa+（3）分母有理化时有理化因式的选择 甬对于分母中含有根号的二次根式，把分母中的根号化去，叫做分母有理化.根据分式的基本性质，把一个分式的分子、分母同乘以一个不等于零的整式，分式的值不变因此化去

4、分母中的根号的关键是选择一个适当的数（或代数式），用这个数（或代数式）去乘分式的分子和分母，可以使分母不含根号如如果它们的积不含二次根式，我们就说这一般地，两个含有二次根式的代数式相乘时，两个代数式互为有理化因式.例如，.二二,廿-、J二芋 七二：.二h.常用有互为有理化因式有以下几种：（1）J占需互为有理化因式（这里7蛊諭二次根式），因为需-/a = a（a0）.注：分母有理化的因式不是惟一的.3 .把下列各式分母有理化：唱也 + Qy2Vs -m x- 2 +- 4“ (2),兀+ 2 +J宀4分析：第(1)题分母是、丨，先化简，再分母有理化；第(2)题分母；丨.的有理化因式仍是一：-I

5、;第题分母 卫-的有理化因式是 J ;第题分子x y可以分(5)题若直接分母有理化解成_ lr _ 后，直接与分母约分，从而化去分母；第比较麻烦，根据本题特点，分子、分母分别分解因式，然后约分. 解：払* 也123 75 36.A 33 4+2 3ja+ 2(2) = =?= Ja + 2 7a + 2 + 2 a + 22.2苗+祠j5-3+2(5 + 间=2+屈=石十击2冲x-y (血)2-防严(丘+血)(血-角厂仁 =辰布切蛊-2 + J/ -4 _ (強2) + 2)仗2)x + 24- 一 4(应+ 2)2 + 丿(叢 + 2)仗 一 2)(J孟-2+ Jx + 22 Jx _ 2

6、(Jx_ 2 4-+ 2)= =(屉 + 2尸 + Jx + 2 Jsc2 a/x+ 2 (Vx + 2 + Jh _ 2) a/x -1y/x2_4a/k+ 2 Jx + 2 - Vx+2 x + 2点评：分母有理化是化简二次根式的一种重要方法分母有理化时，应结合题目的具体特点，选择适当的方法如上面第(1)题若使分母、分子都乘以，虽然可以达到分母有理化的目的，但计算比较繁所以，当分子、分母中二次根式可以化简时应选将其化简再如 第(4)、(5)两题分子或分母可以分解因式，并且分解后的因式能够约分的，最好不要直接分 母有理化.注:的式子，分母有理化时，不宜采用分子、分母都乘以因为有可能等于零此题

7、也可以这样解:当丫打时加讥则(x_ y)(丘-(x _ y)(旅-的)(長+历(你-应)y当氏耐石-乔7则2.二次根式的加减乘除混合运算 耿(1) 二次根式的加减运算 &二次根式的加减，首先要化简二次根式，化简之后，就类似整式的加减运算了.整式的加减实质就是去括号和合并同类项.二次根式的加减也是如此.合并同类二次根式与合并同类项类似如:合并同类项3x- 2y+ x+ y、冬二?(3 + l)x+ (-2 4- l)y = 4z- y炉2屁恥超竪妾虬了 + 1)3 4-(亠2 + 1)J2 = 43 - V2.4 .计算：商分析：解coy- V xy先化简二次根式，再合并同类二次根式.+ J45

8、-J40521顶亦22575-1+75 + 37?-J5 2(1+1+ 3-|)5 1-1 2 294l43-42 + -3-j2353218 _ _ _ _=& + *+(丄丄)近=压二近一h 3，6 T3亦 + JJb _+ J) = 7b + a/ah - b Vb - VbV abab=(1 - b)Vb + (a -y孟-x ypy +yy* V -yJW 7(x+y) ya 4y7/7-y尹刁一右产7(2) 二次根式的混合运算&除法及加减法的二次根式的混合运算是本章学习的落脚点，是前面学过的二次根乘法、综合运用学习二次根式的混合运算应注意以下几点：(1) 二次根式的混合运算顺序与实

9、数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有 括号先算括号里面的.(2) 对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用.(3) 在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当 的解题途径，往往能事半功倍.05计算：商(1)|(3715-56);(7? - 3硏+阳卜亦(2历2)(372 - 3);(4)12+ 分析：这里可以把二次根式看成是一个“单项式”或者“多项式”利用整式乘法或除法 法则进行运算.解：u= 3 56 = 10x15 Vl 0 x 52 2 2 222u 3穷+卜历=-历対-历虏+历Jxy Jxy Jxy Jxy(3) (

10、273 - 2)(32 - 3)=23x372-23x3-2x32+ 6= 66-63-642+6.(4) 12-/3-(2 +J3) = 12-V3 _ 2箱_ 語(2-廳)2 + 馆 (2 + 血(2-*)=2厉-厉(A前)=2馆-2命+3 = 3点评第、题都与整式运算类似第 题，因为除法不满足分配律，可先转 化成分数形式，再分母有理化.6 .计算：志(1)(1 + 73)(1 - 75)(1 + 72)(1- 73);萌+耐(炉；(3)(血+ 3班-血占-3爲-局分析：这三道题都可以利用平方差公式或完全平方公式.解：(1)(! + 厉)(1 -历)(1 + 2) = P(丘)二(1 -3

11、)卜 2) = 2.(点 + 忑丫 (羽-观 =(石+ 松舖-QF =(J3)J -(QF (32)，1(箱 + 3-唐)(希-32 - 7) = (V3 6)+ 3逅(若-局-3逅=語Vs)2 - (?小)=(-丘丫 2 羽 “ & + (&丫 -(孑逅)=3芯逅 + G 18= -?-eV2.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerz

12、iellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to员bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 员 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 贝 ex.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werde