分治法之汉诺塔实验报告

1、陕西师范大学实验报告课题名称 算法分析与设计项目名称 分治法 汉诺塔问题学 院 计算机科学学院专 业 计算机科学与技术指导老师 王小明 小组人员 刘永军 高富雷 武子超 报告时间 2013/11/28 2013/11/28分治法之汉诺塔问题目录一、设计目的3二、设计内容31任务描述3i.汉诺塔问题简介3ii.设计任务简介32分治法算法的实现过程4三、流程图6四、测试结果7五、总结7附：程序源代码7一、 设计目的1、掌握分治法的思想；2、掌握分治法的典型问题，如汉诺塔问题以及其他问题；3、进一步多级调度的基本思想和算法设计方法；4、提高分析与解决问题的能力。二、 设计内容1 任务描述i. 汉诺塔

2、问题简介在世界中心贝拿勒斯（在印度北部）的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神大梵天在创造世界的时候，在其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓的汉诺塔。不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。僧侣们预言，当所有的金片都从大梵天穿好的那根针上移到另外一根针上时，世界就将在一声霹雳中消灭，而梵塔、庙宇和众生也都将同归于尽。ii. 设计任务简介其实算法非常简单，当盘子的个数为n时，移动的次数应等于2n - 1（有兴趣的可以自己证明试试看）。后来一位美国学者发现一种出人意料的简单方法，只要轮流进行两步

3、操作就可以了。首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子a上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 a b c； 若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 a c b。 （1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子a，则把它移动到b；若圆盘1在柱子b，则把它移动到c；若圆盘1在柱子c，则把它移动到a。 （2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施

4、的行动是唯一的。 （3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。 所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片： 如3阶汉诺塔的移动：ac,ab,cb,ac,ba,bc,ac。2 分治法算法的实现过程首先把三根柱子按顺序排成品字型，把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子a上，根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序：若n为偶数，按顺时针方向依次摆放 a b c； 若n为奇数，按顺时针方向依次摆放 a c b。 （1）按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子，即当n为偶数时，若圆盘1在柱子a，则把它移动到b；若圆盘1在柱子b，则把它移动到c；若圆盘1在柱子c，则把它移动到

5、a。 （2）接着，把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上，当两根柱子都非空时，移动较小的圆盘。这一步没有明确规定移动哪个圆盘，你可能以为会有多种可能性，其实不然，可实施的行动是唯一的。 （3）反复进行（1）（2）操作，最后就能按规定完成汉诺塔的移动。 所以结果非常简单，就是按照移动规则向一个方向移动金片：如是解决，我们就可以将n个盘分治成1个，2个，3个盘来讨论，如1阶汉诺塔的移动： ac；如2阶汉诺塔的移动：ab, ac, bc;如3阶汉诺塔的移动：ac,ab,cb,ac,ba,bc,ac。通过最简单的，最少阶数汉诺塔的移动，我们更具上面的讲解，联

6、想到更多的阶数，不难看出其中的规律！因此，我们通过将多阶汉诺塔分解成少数像3阶一样的汉诺塔，从繁化简，分而治之。解决汉诺塔问题。算法如下：void move(char a,int n,char c)printf(%c-%cn,a,c);void hanoi(int n, char a, char b, char c, int &time) if (n=0) return; if (n=1) move(a,1,c); time+; else hanoi(n-1,a,c,b, time); move(a,n,c);time+; hanoi(n-1,b,a,c, time); int main()

7、int n; printf(请输入汉诺塔的盘数: ); scanf(%d,&n); int time = 0; printf(%d个盘的汉诺塔移动方法是n：,n);hanoi(n,a,b,c,time); printf(移动了%d次n, time);getchar();getchar();return 0;算法分析：我们通过递归调用，主函数main()调用hanoi()函数，hanoi（）函数在调用move()函数，以及hanoi()函数对自身的调用，在hanoi()函数自身调用中参数a,b的交换，实现了品字形排列，顺序逆序的实现，从而解决问题。通过time参数的计算，我可可以知道该函数的时间

8、复杂度是o(2n)。其实我们通过数学归纳法就可以知道n阶汉诺塔需要移动的次数为2n-1。三、 流程图四、 测试结果五、 总结这次的设计的主要内容是分治算法，汉诺塔问题不难，但却是典型的分治算法中递归调用案例之一。因此通过这次练习，让我们小组更加深刻的认识到分治法的优越性以及优中求优，对算法加以修正，做到最好。附：程序源代码/ 汉罗塔.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。/#includestdafx.h#include #include void move(char a,int n,char c)printf(%c-%cn,a,c);void hanoi(int n, char a, char b, char c, int &time) if (n=0) return; if (n=1) move(a,1,c); time+; else hanoi(n-1,a,c,b, time); move(a,n,c);time+; hanoi(n-1,b,a,c, time); int main() int n; printf(请输入汉诺